Sistem Pi

În matematică , un pi sau chiar un sistem $\pi \;$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ -sistem , pe ansamblu $\Omega \;$ ${\ displaystyle \ Omega \;}$ ${\ displaystyle \ Omega \;}$ este o familie P vidă de subseturi de $\Omega \;$ ${\ displaystyle \ Omega \;}$ ${\ displaystyle \ Omega \;}$ (adică $P\subseteq$ ${\ displaystyle P \ subseteq}$ ${\ displaystyle P \ subseteq}$ ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$ ), astfel încât intersecția a două elemente (și, prin urmare, a unui număr finit de elemente) ale lui P este încă în P ; adică P este stabil pentru intersecțiile finite.

Proprietate

Dacă A este o algebră stabilită (în special dacă este o algebră σ ), atunci A este a $\pi \;$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ -sistem.
Dacă A este un $\pi \;$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ -sistem care este și un sistem Dynkin , atunci A este o σ-algebră.

Unicitatea extensiei

O măsură finită este determinată exclusiv de valorile sale pe a $\pi \;$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ -sistem, după cum afirmă următoarea propoziție. Lasa-i sa fie $\mu \;$ ${\ displaystyle \ mu \;}$ ${\ displaystyle \ mu \;}$ Și $\nu \;$ ${\ displaystyle \ nu \;}$ ${\ displaystyle \ nu \;}$ măsurători pe un spațiu măsurabil $(X,\Sigma )\;$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma) \;}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma) \;}$ și fie ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ A $\pi \;$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ ${\ displaystyle \ pi \;}$ -sistem pe care îl generați $\Sigma \;$ ${\ displaystyle \ Sigma \;}$ ${\ displaystyle \ Sigma \;}$ . De sine

$\mu (X)=\nu (X)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (X) = \ nu (X) <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (X) = \ nu (X) <\ infty}$

$\mu |_{\mathcal {I}}=\nu |_{\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle \ mu | _ {\ mathcal {I}} = \ nu | _ {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle \ mu | _ {\ mathcal {I}} = \ nu | _ {\ mathcal {I}}}$

asa de $\mu =\nu \;$ ${\ displaystyle \ mu = \ nu \;}$ ${\ displaystyle \ mu = \ nu \;}$

Elemente conexe

Lema lui Dynkin

Referințe

Allan Gut, Probability: A Graduate Course , New York, Springer, 2005, DOI : 10.1007 / b138932 , ISBN = 0-387-22833-0.
David Williams, Probability with Martingales , Cambridge University Press, 2007, ISBN 0-521-40605-6 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică