Lema lui Dynkin

Lema lui Dynkin , cunoscută și sub numele de teorema monotonă a clasei , este o afirmație importantă în teoria măsurătorilor care are, printre alte consecințe, unicitatea teoremei probabilității. Își datorează numele matematicianului rus Yevgeny Borisovič Dynkin .

Definiții preliminare

A $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ -sistemul este o familie de piese ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ a unui set $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ cu următoarele caracteristici:

${\mathcal {I}}\neq \emptyset$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ neq \ emptyset}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ neq \ emptyset}$
$A,B\in {\mathcal {I}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {I}} \ Rightarrow A \ cap B \ in {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {I}} \ Rightarrow A \ cap B \ in {\ mathcal {I}}}$

O clasă monotonă (numită și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -sistem) este o familie de piese ${\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ $\ mathcal {M}$ a unui set $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ cu următoarele caracteristici:

$\Omega \in {\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ în {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ în {\ mathcal {M}}}$
$A,B\in {\mathcal {M}},A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in {\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {M}}, A \ subset B \ Rightarrow B \ setminus A \ in {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {M}}, A \ subset B \ Rightarrow B \ setminus A \ in {\ mathcal {M}}}$
$\{A_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} \ în {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} \ în {\ mathcal {M}}}$ , $A_{n}\subset A_{n+1}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\in {\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ subset A_ {n + 1} \ Rightarrow \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {A_ {n}} \ in {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ subset A_ {n + 1} \ Rightarrow \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {A_ {n}} \ in {\ mathcal {M}}}$

Se definește pe sine $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebra generată de o familie de părți ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ , în notație $\sigma ({\mathcal {F}})$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {F}})}$ cel mai mic $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebra conținând ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ ; în mod analog și cu notația $\lambda ({\mathcal {F}})$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {F}})}$ clasa monotonă generată de este definită ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ .

Enunțul lemei și dovada

De sine ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ e o $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - sistem care conține $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , atunci avem egalitate $\lambda ({\mathcal {I}})=\sigma ({\mathcal {I}})$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}}) = \ sigma ({\ mathcal {I}})}$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}}) = \ sigma ({\ mathcal {I}})}$ .

De fapt, dacă ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ conține $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ atunci este evident că $\lambda ({\mathcal {I}})$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}})}$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}})}$ este închis pentru trecerea la complementar, deoarece $A^{c}=\Omega \setminus A$ ${\ displaystyle A ^ {c} = \ Omega \ setminus A}$ ${\ displaystyle A ^ {c} = \ Omega \ setminus A}$ iar o clasă monotonă este închisă în raport cu diferența stabilită. Am încercat prima dintre cele două caracteristici cheie ale uneia $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebră.

Acum operăm următorul raționament: dacă o clasă de mulțimi este închisă trecând la complementare și prin intersecții finite, aplicând Legile lui De Morgan , aceasta este închisă prin uniuni finite. Mai mult, dacă o familie de seturi este închisă pentru intersecțiile finite și pentru creșterea uniunilor numărabile (a treia proprietate a clasei monotone din listă), atunci aceasta va fi închisă pentru toate uniunile numărabile (o altă proprietate fundamentală a $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -algebre).

Nu mai rămâne decât să încercăm închiderea $\lambda ({\mathcal {I}})$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}})}$ ${\ displaystyle \ lambda ({\ mathcal {I}})}$ : demonstrația de mai sus este împărțită în două părți.

$A\in {\mathcal {I}},B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}})$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {I}}, B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) \ Rightarrow A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}})}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {I}}, B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) \ Rightarrow A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}})}$
$A\in \lambda ({\mathcal {I}}),B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}})$ ${\ displaystyle A \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) \ Rightarrow A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}} )}}$ ${\ displaystyle A \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) \ Rightarrow A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}} )}}$

Este doar o chestiune de a efectua verificări banale asupra proprietăților $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -sistem pe următoarele clase de seturi:

${\mathcal {M}}:=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in {\mathcal {I}}\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}: = \ {B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) | A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), A \ in {\ mathcal {I}} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}: = \ {B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) | A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), A \ in {\ mathcal {I}} \}}$
${\mathcal {M}}':=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in \lambda ({\mathcal {I}})\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ': = \ {B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) | A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), A \ în \ lambda ({\ mathcal {I}}) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ': = \ {B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}) | A \ cap B \ in \ lambda ({\ mathcal {I}}), A \ în \ lambda ({\ mathcal {I}}) \}}$

Bibliografie

Jean Jacod și Philip E. Protter, Probability Essentials , Berlin, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43871-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică