Spațiul Anti de Sitter

În matematică și fizică , un spațiu n- dimensional anti-de Sitter AdS _n este o varietate Lorentziană simetrică maxim cu o curbură scalară negativă constantă. Este analogul lorenzian al spațiului hiperbolic n- dimensional, la fel cum spațiul Minkowski și spațiul de Sitter sunt analogul spațiului euclidian și respectiv al spațiului eliptic . Este cunoscut mai ales pentru rolul său în corespondența AdS / CFT .

În limbajul relativității generale , anti de spațiu Sitter este maximal simetrică vid soluție a ecuației lui Einstein cu o constantă cosmologică $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ atractivitate (care corespunde unei densități negative de energie a vidului și unei presiuni pozitive).

În matematică, un spațiu anti de Sitter este uneori definit mai general ca un spațiu de semnătură $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . De obicei, în fizică, cazul cu o singură dimensiune de timp este relevant $(n-1,1)$ ${\ displaystyle (n-1,1)}$ $(n-1.1)$ sau $(1,n-1)$ ${\ displaystyle (1, n-1)}$ $(1, n-1)$ (în funcție de convenția semnelor metricei).

Definiție și proprietăți

Așa cum spațiul n- dimensional eliptic și hiperbolic poate fi vizualizat cu o imersiune izometrică într-un spațiu plat cu dimensiunea n +1, spațiul anti de Sitter poate fi vizualizat ca analogul lorentzian al unei sfere într-un spațiu cu o dimensiune suplimentară. Pentru fizicieni dimensiunea suplimentară este de tipul timpului, în timp ce pentru matematicieni este negativă; în acest articol adoptăm convenția că dimensiunile timpului sunt negative, astfel încât aceste două noțiuni să coincidă.

Imagine în spațiul 1 + 1 anti de Sitter analog spațiului dimensional 1 + 2.

Spațiul anti de Sitter al semnăturii $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ poate fi scufundat izometric în $\mathbb {R} ^{p,q+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q + 1}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{p, q + 1}}$ cu coordonate $(x_{1},...,x_{p},t_{1},...,t_{q+1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {p}, t_ {1}, ..., t_ {q + 1})}$ $(x_ {1}, ..., x_ {p}, t_ {1}, ..., t _ {{q + 1}})$ iar pseudometrică

ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} dx_ {i} ^ {2} - \ sum _ {j = 1} ^ {q + 1} dt_ {j} ^ { 2}}

ds ^ {2} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {p} dx_ {i} ^ {2} - \ sum _ {{j = 1}} ^ {{q + 1}} dt_ {j } ^ {2}

ca sfera

\sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} x_ {i} ^ {2} - \ sum _ {j = 1} ^ {q + 1} t_ {j} ^ {2} = - \ alpha ^ {2}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {p} x_ {i} ^ {2} - \ sum _ {{j = 1}} ^ {{q + 1}} t_ {j} ^ {2} = - \ alpha ^ {2}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o constantă diferită de zero cu dimensiunile unei lungimi ( raza de curbură ). Trebuie remarcat faptul că aceasta este o sferă în sensul unui set de puncte la o distanță constantă (în metrica definită mai sus) de origine, dar grafic este un hiperboloid.

Metrica spațiului anti de Sitter este cea indusă de metrica spațiului ambiental. Se verifică faptul că metrica indusă nu este degenerată și are o semnătură lorentziană.

Când q = 0, acest spațiu este redus la spațiul hiperbolic obișnuit. Restul discuției este valabil pentru q ≥1

Curbe închise de tip timp și suprapunere universală

Când q ≥1, scufundarea anterioară are curbe închise de tip timp; de exemplu, calea parametrizată de $t_{1}=\alpha \sin \tau$ ${\ displaystyle t_ {1} = \ alpha \ sin \ tau}$ ${\ displaystyle t_ {1} = \ alpha \ sin \ tau}$ , $t_{2}=\alpha \cos \tau$ ${\ displaystyle t_ {2} = \ alpha \ cos \ tau}$ $t_ {2} = \ alpha \ cos \ tau$ , și toate celelalte coordonate nule este o astfel de curbă. Când q ≥2 aceste curbe sunt specifice geometriei, dar când $q=1$ ${\ displaystyle q = 1}$ $q = 1$ pot fi eliminate prin trecerea la spațiul universal pentru pătură . O situație similară apare pentru pseudosfera care se înfășoară în jurul său, în timp ce planul hiperbolic nu; ca rezultat, conține geodezii auto-interacționate, în timp ce planul hiperbolic nu. Unii autori definesc spațiul anti de Sitter ca echivalent cu imersiunea sferei, în timp ce alții ca echivalent cu acoperirea universală a imersiunii. De obicei, această din urmă definiție este cea a interesului fizic.

Simetriile

Dacă acoperirea universală nu este luată în considerare, spațiul anti de Sitter $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ are ca grup de izometrii $O(p,q+1)$ ${\ displaystyle O (p, q + 1)}$ $O (p, q + 1)$ . Dacă luăm în considerare suprapunerea universală, grupul de izometrii este o suprapunere a $O(p,q+1)$ ${\ displaystyle O (p, q + 1)}$ $O (p, q + 1)$ .

Bibliografie

Ellis, GFR ; Hawking, SW Structura pe scară largă a spațiului-timp. Presa universitară Cambridge (1973). (vezi paginile 131-134).
Matsuda, H. O notă cu privire la o încorporare izometrică a jumătății superioare în spațiul anti de Sitter. Hokkaido Mathematical Journal Vol. 13 (1984) p. 123-132.
Wolf, Joseph A. Spații de curbură constantă. (1967) p. 334.

Elemente conexe

linkuri externe

Frances, C: Limita conformă a spațiului-timp anti-de Sitter . Corespondență AdS / CFT: metrică Einstein și limitele lor conforme, 205-216, IRMA Lect. Matematica. Teoretic. Phys., 8, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005.

Portalul de matematică

Portalul relativității