Spațiu de de Sitter

În matematică și fizică , un spațiu de Sitter este analogul, în spațiul-timp al lui Minkowski, al unei sfere în spațiul euclidian obișnuit. Un spațiu n- dimensional de Sitter , notat dS _n , este varietatea lorentziană similară cu o n-sferă (cu metrica sa canonică Riemanniană); este simetric maxim, are o curbură scalară constantă și pozitivă și este conectat pur și simplu pentru n ≥3. Spațiul de Sitter, ca și spațiul Anti de Sitter, poartă numele lui Willem de Sitter (1872–1934), profesor de astronomie la Universitatea din Leiden și director al Observatorului Leiden . Willem de Sitter și Albert Einstein au lucrat împreună în anii 1920 la Leiden la structura spațiu-timp a universului.

În limbajul relativității generale , spațiul de Sitter este cea mai simetrică soluție a vidului ecuațiilor de câmp ale lui Einstein, având o constantă cosmologică pozitivă (respingătoare) $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ (corespunzător unei densități de energie pozitive pozitive și a unei presiuni negative). În cazul n = 4 (3 dimensiuni spațiale plus timp), acesta este modelul cosmologic al universului fizic; vezi universul lui de Sitter .

Spațiul de Sitter a fost formulat independent și simultan de Willem de Sitter ^[1] ^[2] și Tullio Levi-Civita ^[3] .

Definiție

Spațiul de Sitter poate fi definit ca un submanifold al unui spațiu Minkowski crescut cu o dimensiune . Luați în considerare spațiul Minkowski R ^{1, n} cu metrica standard:

ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}.}

Spațiul de Sitter dS _n este submanifoldul descris de un hiperboloid către un strat

-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},

{\ displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = \ alpha ^ {2},}

{\ displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = \ alpha ^ {2},}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o constantă pozitivă.

Standard metric $ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}}$ a spațiului ambiental R ^{1, n} induce o nedegenerata formă biliniară pe de Sitter submanifold care are încă o semnătură Lorentz. Spațiul de Sitter este deci o varietate pseudo-riemanniană .

Spațiul De Sitter poate fi, de asemenea, definit ca coeficientul topologic O (1, n ) / O (1, n −1) a două grupuri pseudo ortogonale , iar acest lucru arată că este o varietate pseudo-Riemanniană simetrică.

Din punct de vedere topologic , spațiul de Sitter este produsul R × S ^{n −1} (deci dacă n ≥ 3 atunci spațiul de Sitter este pur și simplu conectat).

Proprietate

Grupul de izometrie al spațiului de Sitter este grupul Lorentz O (1, n ). Prin urmare, metrica are n ( n + 1) / 2 vectori independenți de ucidere și este maxim simetrică. Fiecare spațiu maxim simetric are o curbură constantă. Tensorul de curbură Riemann pentru de Sitter este dat de

R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = {1 \ over \ alpha ^ {2}} (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g_ {\ sigma \ mu})}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = {1 \ over \ alpha ^ {2}} (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g_ {\ sigma \ mu})}

Spațiul de Sitter este o varietate Einstein, deoarece tensorul Ricci este proporțional cu metrica:

R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {n-1} {\ alpha ^ {2}}} g _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {n-1} {\ alpha ^ {2}}} g _ {\ mu \ nu}}

Aceasta înseamnă că spațiul de Sitter este o soluție a vidului ecuațiilor de câmp ale lui Einstein, având o constantă cosmologică pozitivă dată de:

\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.

{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {(n-1) (n-2)} {2 \ alpha ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {(n-1) (n-2)} {2 \ alpha ^ {2}}}.}

Curbura scalară a spațiului de Sitter este dată de:

R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .

{\ displaystyle R = {\ frac {n (n-1)} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {2n} {n-2}} \ Lambda.}

{\ displaystyle R = {\ frac {n (n-1)} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {2n} {n-2}} \ Lambda.}

Pentru cazul n = 4, avem Λ = 3 / α ² și R = 4Λ = 12 / α ² .

Coordonate statice

Se pot introduce coordonate statice $(t,r,\ldots )$ ${\ displaystyle (t, r, \ ldots)}$ ${\ displaystyle (t, r, \ ldots)}$ pentru spațiul de Sitter după cum urmează:

x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )

{\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ sinh (t / \ alpha)}

{\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ sinh (t / \ alpha)}

x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )

{\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ cosh (t / \ alpha)}

{\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} -r ^ {2}}} \ cosh (t / \ alpha)}

x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n,

{\ displaystyle x_ {i} = rz_ {i} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 2 \ leq i \ leq n,}

{\ displaystyle x_ {i} = rz_ {i} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 2 \ leq i \ leq n,}

unde coordonatele $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ realizează imersiunea canonică a sferei ( n −2) în R ^{n −1} . În aceste coordonate, metrica de Sitter ia forma:

ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega _ {n-2} ^ {2}. }

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ alpha ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega _ {n-2} ^ {2}. }

Interesant este că există un orizont cosmologic pentru $r=\alpha$ ${\ displaystyle r = \ alpha}$ ${\ displaystyle r = \ alpha}$ .

Tăiere cu coordonate plate

Loc

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) + r ^ {2} e ^ {t / \ alpha} / 2 \ alpha,}

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) + r ^ {2} e ^ {t / \ alpha} / 2 \ alpha,}

x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) -r ^ {2} e ^ {t / \ alpha} / 2 \ alpha,}

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) -r ^ {2} e ^ {t / \ alpha} / 2 \ alpha,}

x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i},\qquad 2\leq i\leq n

{\ displaystyle x_ {i} = e ^ {t / \ alpha} y_ {i}, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}

{\ displaystyle x_ {i} = e ^ {t / \ alpha} y_ {i}, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}

unde este $r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}$ ${\ displaystyle r ^ {2} = \ sum _ {i} y_ {i} ^ {2}}$ ${\ displaystyle r ^ {2} = \ sum _ {i} y_ {i} ^ {2}}$ . Apoi în coordonate metrice $(t,y_{i})$ ${\ displaystyle (t, y_ {i})}$ ${\ displaystyle (t, y_ {i})}$ :

ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }dy^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + e ^ {2t / \ alpha} dy ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + e ^ {2t / \ alpha} dy ^ {2}}

unde este $dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}$ ${\ displaystyle dy ^ {2} = \ sum _ {i} dy_ {i} ^ {2}}$ ${\ displaystyle dy ^ {2} = \ sum _ {i} dy_ {i} ^ {2}}$ este metrica plană $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ .

Deschideți tăierea coordonatelor

Loc

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,}

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,}

x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha),}

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha),}

x_{i}=\alpha z_{i}\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 2 \ leq i \ leq n}

unde este $\sum _{i}z_{i}^{2}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} z_ {i} ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} z_ {i} ^ {2} = 1}$ descrie $S^{n-2}$ ${\ displaystyle S ^ {n-2}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-2}}$ cu valori standard $\sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} dz_ {i} ^ {2} = d \ Omega _ {n-2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} dz_ {i} ^ {2} = d \ Omega _ {n-2} ^ {2}}$ . Apoi, metrica de Sitter citește:

ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-1} ^ {2},}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-1} ^ {2},}

unde este

dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-2}^{2}

{\ displaystyle dH_ {n-1} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {n-2} ^ {2}}

{\ displaystyle dH_ {n-1} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {n-2} ^ {2}}

este metrica unui spațiu euclidian hiperbolic.

Tăiere coordonată închisă

Loc

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ),

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha),}

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sinh (t / \ alpha),}

x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )z_{i},\qquad 1\leq i\leq n

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) z_ {i}, \ qquad 1 \ leq i \ leq n}

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha \ cosh (t / \ alpha) z_ {i}, \ qquad 1 \ leq i \ leq n}

unde este $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ s descrie $S^{n-1}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ . Valoarea indică:

ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )d\Omega _{n-1}^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cosh ^ {2} (t / \ alpha) d \ Omega _ {n-1} ^ {2}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ cosh ^ {2} (t / \ alpha) d \ Omega _ {n-1} ^ {2}.}

Schimbarea timpului variabil în timp conformațional prin $\tan(\eta /2)=\tanh(t/2\alpha )$ ${\ displaystyle \ tan (\ eta / 2) = \ tanh (t / 2 \ alfa)}$ ${\ displaystyle \ tan (\ eta / 2) = \ tanh (t / 2 \ alfa)}$ obținem un echivalent metric cu universul static al lui Einstein:

ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}).

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ eta}} (- d \ eta ^ {2} + d \ Omega _ {n-1} ^ {2}).}

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ eta}} (- d \ eta ^ {2} + d \ Omega _ {n-1} ^ {2}).}

Aceasta este pentru a găsi diagrama Penrose a spațiului de Sitter.

Taierea coordonatelor dS

Loc

x_{0}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,}

{\ displaystyle x_ {0} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ cosh \ xi,}

x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ),

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cos (\ chi / \ alpha),}

{\ displaystyle x_ {1} = \ alpha \ cos (\ chi / \ alpha),}

x_{2}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\cosh(t/\alpha ),

{\ displaystyle x_ {2} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ cosh (t / \ alpha),}

{\ displaystyle x_ {2} = \ alpha \ sin (\ chi / \ alpha) \ cosh (t / \ alpha),}

x_{i}=\alpha z_{i}\sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 3 \ leq i \ leq n}

{\ displaystyle x_ {i} = \ alpha z_ {i} \ sin (\ chi / \ alpha) \ sinh (t / \ alpha) \ sinh \ xi, \ qquad 3 \ leq i \ leq n}

unde este $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ s descrie $S^{n-3}$ ${\ displaystyle S ^ {n-3}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-3}}$ . Valoarea indică:

ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ chi ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ chi / \ alpha) ds_ {dS, \ alpha, n-1} ^ {2},}

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ chi ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ chi / \ alpha) ds_ {dS, \ alpha, n-1} ^ {2},}

unde este

ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}

{\ displaystyle ds_ {dS, \ alpha, n-1} ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-2} ^ {2}}

{\ displaystyle ds_ {dS, \ alpha, n-1} ^ {2} = - dt ^ {2} + \ alpha ^ {2} \ sinh ^ {2} (t / \ alpha) dH_ {n-2} ^ {2}}

este metrica unui spațiu $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ dimensional de Sitter cu raza de curbură $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în coordonate deschise. Metrica hiperbolică este dată de:

dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}.

{\ displaystyle dH_ {n-2} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {n-3} ^ {2}.}

{\ displaystyle dH_ {n-2} ^ {2} = d \ xi ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ xi d \ Omega _ {n-3} ^ {2}.}

Aceasta este continuarea analitică a tăieturii de coordonate deschise de mai jos $(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})$ ${\ displaystyle (t, \ xi, \ theta, \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n-3}) \ to (i \ chi, \ xi, it, \ theta, \ phi _ {1}, \ cdots, \ phi _ {n-4})}$ ${\ displaystyle (t, \ xi, \ theta, \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ cdots, \ phi _ {n-3}) \ to (i \ chi, \ xi, it, \ theta, \ phi _ {1}, \ cdots, \ phi _ {n-4})}$ tot prin comutare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ deoarece își schimbă natura spațio-temporală.

Notă

^ (EN) W. de Sitter Despre relativitatea inerției: Observații referitoare la ultima ipoteză a lui Einstein, în Proc. Kon. Ned. Acad. Umed. , vol. 19, 1917, pp. 1217-1225.
^ (EN) W. de Sitter, Despre curburile spațiului, în Proc. Kon. Ned. Acad. Umed. , vol. 20, 1917, pp. 229–243.
^ Tullio Levi-Civita , Realitatea fizică a unor spații normale de Bianchi , în Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei , vol. 26, 1917, pp. 519–31.

Bibliografie

( EN ) Qing Ming Cheng Cheng, spațiul De Sitter , în Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia Matematicii, Heidelberg-New York, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
( EN ) Katsumi Nomizu , Metrica Lorentz - Poincaré pe jumătatea superioară a spațiului și extensia acestuia , în Hokkaido Mathematical Journal , vol. 11, n. 3, 1982, pp. 253-261.
( EN ) HSM Coxeter , Un fundal geometric pentru lumea lui Sitter , în American Mathematical Monthly , vol. 50, nr. 4, Mathematical Association of America, 1943, pp. 217–228, DOI : 10.2307 / 2303924 , JSTOR 2303924 .
Bang-Yen Chen, Geometrie Pseudo-Riemanniană, [delta] -invariante și aplicații , World Scientific Publisher, 2011, ISBN 978-981-4329-63-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică

Portalul relativității

[1] (EN) W. de Sitter Despre relativitatea inerției: Observații referitoare la ultima ipoteză a lui Einstein, în Proc. Kon. Ned. Acad. Umed. , vol. 19, 1917, pp. 1217-1225.

[2] (EN) W. de Sitter, Despre curburile spațiului, în Proc. Kon. Ned. Acad. Umed. , vol. 20, 1917, pp. 229–243.

[3] Tullio Levi-Civita , Realitatea fizică a unor spații normale de Bianchi , în Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei , vol. 26, 1917, pp. 519–31.

[1]

[2]

[3]