Tabelul adevărului

Tabelele adevărului (sau tabelele logice ) sunt tabele utilizate în logică pentru a determina dacă, date valori de adevăr propozițiilor care o compun, o propoziție dată este adevărată sau falsă. Tabelul adevărului se aplică deci oricărui operator logic adevărat-funcțional, adică în care condițiile adevărului sau falsității oricărei propoziții obținute prin aplicarea acelui operator sunt determinate în întregime și exclusiv de cele din propozițiile mai simple la care se aplică.

Descriere

Utilizate ca reprezentare principală a unei funcții booleene , expresiile pot fi constructe formate din expresii multiple, în care apare o premisă la început și o concluzie la sfârșit. Tabelul adevăr listează în casetele rândurilor corespunzătoare coloanelor variabilelor funcționale toate combinațiile posibile de valori pe care le pot asuma variabilele booleene și rezultatul funcției în casetele rândurilor corespunzătoare ultimei coloane de pe dreapta, pentru această combinație de valori.

Tabelele adevărului au fost introduse de Gottlob Frege , Charles Peirce , Bertrand Russell și alții în jurul anului 1880 și au luat forma actuală în 1922 , cu lucrări independente ale lui Emil Post și Ludwig Wittgenstein . În Tractatus Logico-Philosophicus, Wittgenstein le folosește pentru a încadra funcțiile adevărului într-o serie. Vasta influență exercitată de această lucrare a dus la răspândirea pe scară largă a tabelelor adevărului.

Tabelele adevărului sunt folosite pentru a calcula valoarea expresiilor logico-funcționale. Expresiile logico-funcționale pot fi fie atomice (de exemplu, variabile propoziționale sau substituenți simpli), fie funcții propoziționale constând din formule atomice și operatori logici (precum AND , OR și NOT ). Titlurile coloanelor din tabelele de adevăr arată (i) funcțiile și / sau variabilele propoziționale și (ii) expresiile adevărului rezultate din combinațiile acestor funcții și variabile propoziționale. Rândurile arată toate valorile posibile calculate ale lui V = adevărat sau F = fals atribuit lui (i) și (ii). Cu alte cuvinte: fiecare linie este o interpretare diferită a (i) și (ii).

Tabelele de adevăr aplicate logicii clasice (adică logicii binare ) sunt limitate la logica booleană , unde sunt permise doar două valori, adevărat (de asemenea, indicat cu „1”) și fals (indicat cu „0”).

De exemplu, următorul tabel reprezintă funcția booleană V = XY + XZ + YZ = X ȘI Y SAU X ȘI Z SAU ȘI Z exprimată și ca $v=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\vee (y\wedge z)$ ${\ displaystyle v = (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)}$ $v = (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)$

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	$y$ ${\ displaystyle y}$ $y$	$z$ ${\ displaystyle z}$ $z$	$(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\vee (y\wedge z)$ ${\ displaystyle (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)}$ $(x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)$
F.	F.	F.	F.
F.	F.	V.	F.
F.	V.	F.	F.
F.	V.	V.	V.
V.	F.	F.	F.
V.	F.	V.	V.
V.	V.	F.	V.
V.	V.	V.	V.

Operatori logici

Operator logic negativ NU

Relația de negare NU ( ) este o conectivitate logică , prin care, pornind de la o propoziție A , se formează o nouă propoziție numită negația lui A ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline A$ care este adevărat atunci când A este fals și este fals când A este adevărat. Relația este definită după cum urmează:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline A$
F.	V.
V.	F.

ȘI operator logic de conjuncție

Luăm două variabile propoziționale, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , și operatorul logic ȘI (∧), obținând conjuncția logică „A și B” sau, mai corect, $A\wedge B$ ${\ displaystyle A \ wedge B}$ $A \ wedge B$ . Pur și simplu, dacă atât A cât și B sunt adevărate, atunci conjuncția $A\wedge B$ ${\ displaystyle A \ wedge B}$ $A \ wedge B$ e adevărat; fiecare atribuire diferită a valorilor adevărului dă roade $A\wedge B$ ${\ displaystyle A \ wedge B}$ $A \ wedge B$ fals. Relația este definită după cum urmează:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$A\wedge B$ ${\ displaystyle A \ wedge B}$ $A \ wedge B$
F.	F.	F.
F.	V.	F.
V.	F.	F.
V.	V.	V.

SAU operator logic disjuncție

Luăm două variabile propoziționale, A și B, și operatorul logic OR (V), obținând conjuncția logică „A OR B”, dacă atât A cât și B sunt adevărate, atunci conjuncția AVB este adevărată; dacă sunt false AVB este fals; dacă A este fals și B este adevărat, atunci AVB este adevărat și invers, dacă B este adevărat și A este fals, atunci AVB este adevărat. Relația este definită după cum urmează:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$A\vee B$ ${\ displaystyle A \ vee B}$ $A \ v și B$
F.	F.	F.
F.	V.	V.
V.	F.	V.
V.	V.	V.

Operator NAND (conjuncție negată)

Expresiile compuse pot fi construite folosind paranteze pentru a indica prioritatea în operatori.

Negarea conjuncției ${\overline {A\wedge B}}=A{\overline {\wedge }}B$ ${\ displaystyle {\ overline {A \ wedge B}} = A {\ overline {\ wedge}} B}$ $\ overline {A \ wedge B} = A \ overline {\ wedge} B$ , și disjuncția negației ¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ v ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ rezultă următoarele:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$
F.	F.	F.	V.	V.	V.	V.
F.	V.	F.	V.	V.	F.	V.
V.	F.	F.	V.	F.	V.	V.
V.	V.	V.	F.	F.	F.	F.

NOR operator

Tabelele de adevăr pot fi utilizate pentru a verifica echivalențele logice .

Negarea disjuncției ¬ ( $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ) ≡ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , și unirea conjuncțiilor ¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt astfel echivalente:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$	¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$	¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$
F.	F.	F.	V.	V.	V.	V.
F.	V.	V.	F.	V.	F.	F.
V.	F.	V.	F.	F.	V.	F.
V.	V.	V.	F.	F.	F.	F.

Analizând și comparând cele două tabele de adevăr, din moment ce toate valorile de stare posibile pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ conduc la aceeași stare pentru condiții egale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și ¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ; si pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∨ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și ¬ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ∧ ¬ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , rezultând egale între ele și alternativ utilizabile. Această echivalență este cunoscută sub numele de legea lui De Morgan .

Tabelele de adevăr pentru cei mai comuni operatori logici

Iată tabelele de adevăr pentru cei mai comuni operatori logici:

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$	$Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ∧ $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ∨ $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ∧ $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ∨ $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ → $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$	$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ← $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$
F.	F.	F.	F.	F.	V.	V.	V.
F.	V.	F.	V.	V.	F.	V.	F.
V.	F.	F.	V.	V.	F.	F.	V.
V.	V.	V.	V.	F.	V.	V.	V.

Legendă:

V = adevărat, F = fals

∧ = ȘI (conjuncție logică)

∨ = SAU (disjuncție logică)

∧ = XOR (SAU exclusiv)

∨ = XNOR (NOR exclusiv)

→ = "dacă-atunci" (implicație logică)

← = "(atunci) -se" (contraimplicare logică)

<↔>: dacă și numai dacă este logic echivalent cu < ∨ >: XNOR (exclusiv NOR).

Diagramele Johnston , similare cu diagramele Euler-Venn , oferă o metodă de vizualizare a tabelului adevărului.

Tabelele de adevăr condensate pentru operatorii binari

O formă condensată a tabelului adevărului este utilizată pentru operatorii binari; în aceasta, titlurile rândurilor și coloanelor indică operanzii, iar elementele matricei indică rezultatul. Algebra booleană, de exemplu, folosește această notație condensată a tabelului de adevăr:

∧	F.	V.
F.	F.	F.
V.	F.	V.

∨	F.	V.
F.	F.	V.
V.	V.	V.

Această notație este utilă mai ales dacă operatorii sunt comutativi, deși puteți specifica rânduri ca primul operand și coloane ca al doilea. Notarea prescurtată este deosebit de utilă atunci când se tratează mai multe valori logice, deoarece încetinește numărul crescător de linii care altfel ar trebui utilizate. De asemenea, oferă o formă caracteristică și ușor de recunoscut pentru distribuția valorilor în tabel, permițând jucătorului o înțelegere mai rapidă.

Inferință logică spațială

Wittgenstein (1921) și Pólya (1940) cu lucrările lor au pus bazele noțiunii de spațiu logic și hipercub. Fiecare propoziție atomică (cu negația sa) formează o axă a unui sistem de coordonate cartezian , la un punct al cărui asumă o valoare booleană (+1 dacă este adevărat; -1 dacă este fals, zero fiind deja utilizat pentru originea axelor) în funcție de pe valoarea sa de adevăr. Pentru fiecare punct al unui hipercub, se poate identifica un sub-spațiu logic între acest punct și originea axelor. Operatorii booleni de uniune, intersecție și negație pot opera pe orice spațiu logic.

De exemplu, pentru două propoziții p și q (ale căror negații respective sunt de asemenea luate în considerare) vom avea 2 axe împărțite în patru cadrane capabile să reprezinte toate combinațiile posibile ale valorilor de adevăr ale lui p și q , adică tabelul lor de adevăr cu orice boolean operator. Dacă luăm în considerare operatorul de conjuncție, vom avea un punct (indicând valoarea de adevăr a operatorului) numai în primul cadran la coordonatele ( p = +1; q = +1) ^[1] .

Pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ propuneri legate de operatori multipli, este posibil în acest fel să se stabilească inferențe logice „grafic”, notând relațiile spațiale.

Notă

^ Thierry Morineau. Hypercube algebra: o notație diagramatică și sentențială pentru a susține inferențele în logică. Phil și Susan Turner. Conferința europeană privind ergonomia cognitivă, august 2012, Edinburgh, Regatul Unit. 2012. hal-00722696

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de tabel adevăr

linkuri externe

Generator de mese de adevăr , la turner.faculty.swau.edu . Adus la 13 iulie 2010 (arhivat din original la 17 iunie 2010) .
Logisim - circuite și tabele de adevăr , pe sourceforge.net .
Logisim Fork Italiano , pe logisim.altervista.org . Adus la 19 mai 2017 (arhivat din original la 6 octombrie 2017) .

Controlul autorității	GND ( DE ) 7852448-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Thierry Morineau. Hypercube algebra: o notație diagramatică și sentențială pentru a susține inferențele în logică. Phil și Susan Turner. Conferința europeană privind ergonomia cognitivă, august 2012, Edinburgh, Regatul Unit. 2012. hal-00722696

[1]

V · D · M Conectori logici
Tautologie( $\top$ ${\ displaystyle \ top}$ $\top$ )
Neconjuncție ( $\uparrow$ ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\ Săgeata în sus$ ) · Implicare inversă ( $\leftarrow$ ${\ displaystyle \ leftarrow}$ $\ sageata stanga$ ) · Implicare ( $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ ) · Disjuncție inclusiv ( $\lor$ ${\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$ )
Negare ( $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ ) · Disjuncție exclusivă ( ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ ) · Implicare dublă ( $\leftrightarrow$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ $\ leftrightarrow$ ) · Propunere
Nedisjuncție inclusivă ( $\downarrow$ ${\ displaystyle \ downarrow}$ $\ sageata in jos$ ) · Neimplicare ( $\nrightarrow$ ${\ displaystyle \ nrightarrow}$ $\ nrightarrow$ ) · Implicare non-inversă ( $\nleftarrow$ ${\ displaystyle \ nleftarrow}$ $\ nstânga$ ) · Conjuncție ( $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ )
Contradicție ( $\bot$ ${\ displaystyle \ bot}$ $\ bot$ )

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	$y$ ${\ displaystyle y}$ $y$	$z$ ${\ displaystyle z}$ $z$	$(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\vee (y\wedge z)$ ${\ displaystyle (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)}$ $(x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)$
F.	F.	F.	F.
F.	F.	V.	F.
F.	V.	F.	F.
F.	V.	V.	V.
V.	F.	F.	F.
V.	F.	V.	V.
V.	V.	F.	V.
V.	V.	V.	V.

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	$y$ ${\ displaystyle y}$ $y$	$z$ ${\ displaystyle z}$ $z$	$(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\vee (y\wedge z)$ ${\ displaystyle (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)}$ $(x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)$
F.	F.	F.	F.
F.	F.	V.	F.
F.	V.	F.	F.
F.	V.	V.	V.
V.	F.	F.	F.
V.	F.	V.	V.
V.	V.	F.	V.
V.	V.	V.	V.

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	$y$ ${\ displaystyle y}$ $y$	$z$ ${\ displaystyle z}$ $z$	$(x\wedge y)\vee (x\wedge z)\vee (y\wedge z)$ ${\ displaystyle (x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)}$ $(x \ wedge y) \ vee (x \ wedge z) \ vee (y \ wedge z)$
F.	F.	F.	F.
F.	F.	V.	F.
F.	V.	F.	F.
F.	V.	V.	V.
V.	F.	F.	F.
V.	F.	V.	V.
V.	V.	F.	V.
V.	V.	V.	V.