Funcții Bloch

Un exemplu de funcție Bloch în siliciu

În fizica în stare solidă , funcțiile Bloch sunt funcțiile de undă ale unei singure particule, de obicei un electron , într-un potențial periodic, precum cel definit de un cristal . Au fost introduse în 1928 de către fizicianul Felix Bloch , de la care își iau numele, el a aplicat teoria orbitalilor moleculari solidelor metalice, considerându-le ca o singură particulă cu o cantitate enormă de OM. Interesant este că aceasta a fost una dintre primele aplicații ale OM, chiar înainte de aplicarea sa la molecule în descrierea legăturii covalente.

Descriere

Sunt autofuncții de energie constând din unde plane modulate în spațiu de o funcție periodică u _n _k , cu o perioadă egală cu cea a potențialului sistemului cuantic asociat:

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ).

{\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}).}

{\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}).}

Pe lângă descrierea stărilor proprii hamiltoniene pentru electronii dintr-un cristal , ele pot fi utilizate și pentru alte sisteme periodice, cum ar fi fotonii dintr-un cristal fotonic . Această descriere este garantată de un rezultat general al mecanicii cuantice , cunoscut sub numele de teorema lui Bloch .

Conform teoremei lui Bloch, funcțiile ψ pot fi etichetate, într-un mod unic, prin două numere cuantice: vectorul de undă k care variază, în funcție de condițiile periodice de graniță, în așa-numita primă zonă Brillouin a cristalului. Vectorul ħ k se numește cvasi-impuls sau cvasimoment al electronului (cu funcție de undă ψ _{n k} ) în cristal; al doilea este numărul discret n , numit index de bandă , care este prezent deoarece există multe funcții de undă cu același k , dar care aparțin unor benzi de energie diferite.

Teorema lui Bloch

Un cristal poate fi descris de un sistem cuantic care respectă condițiile periodice ale lui Born-von Karman . În cadrul rețelei de cristal , este posibilă identificarea unei celule fundamentale, care poate fi descrisă de trei vectori de bază, indicați cu $\mathbf {a} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ , $\mathbf {a} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ Și $\mathbf {a} _{3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ .

Aceasta înseamnă că hamiltonienul poate fi exprimat în felul următor:

H={\frac {1}{2m}}p^{2}+V(\mathbf {r} )

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} p ^ {2} + V (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} p ^ {2} + V (\ mathbf {r})}

unde potențialul $V(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle V (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle V (\ mathbf {r})}$ respectați condiția de periodicitate:

V(\mathbf {r+a} _{j})=V(\mathbf {r} )\quad j=1,2,3

{\ displaystyle V (\ mathbf {r + a} _ {j}) = V (\ mathbf {r}) \ quad j = 1,2,3}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r + a} _ {j}) = V (\ mathbf {r}) \ quad j = 1,2,3}

În aceste condiții, hamiltonianul face naveta cu cei trei operatori de traducere

T_{j}=e^{i\mathbf {a} _{j}\cdot \mathbf {p} /\hbar }

{\ displaystyle T_ {j} = e ^ {i \ mathbf {a} _ {j} \ cdot \ mathbf {p} / \ hbar}}

{\ displaystyle T_ {j} = e ^ {i \ mathbf {a} _ {j} \ cdot \ mathbf {p} / \ hbar}}

.

Deoarece operatorii de traducere fac și naveta, aceștia pot fi diagonalizați simultan cu hamiltonienul. Acesta din urmă are deci ca valori proprii energiile stărilor, în timp ce operatorii de traducere au valori proprii ale normei unitare care pot fi exprimate sub forma: $\lambda _{j}=e^{i\mathbf {k\cdot a} _{j}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot a} _ {j}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot a} _ {j}}}$ . Pentru catalogarea stărilor, se folosește vectorul $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ , numit vectorul de undă Bloch:

H\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

{\ displaystyle H \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k}) \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle H \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k}) \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}

.

Stările proprii ale Hamiltonianului formează în general o bază a unui spațiu Hilbert și se presupune că sunt normalizate pe o celulă, adică:

\int _{cella}d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{\star }(\mathbf {r} )\psi _{m\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\delta _{nm}

{\ displaystyle \ int _ {cell} d \ mathbf {r} \ psi _ {n \ mathbf {k}} ^ {\ star} (\ mathbf {r}) \ psi _ {m \ mathbf {k}} ( \ mathbf {r}) = \ delta _ {nm}}

{\ displaystyle \ int _ {cell} d \ mathbf {r} \ psi _ {n \ mathbf {k}} ^ {\ star} (\ mathbf {r}) \ psi _ {m \ mathbf {k}} ( \ mathbf {r}) = \ delta _ {nm}}

.

În notația Dirac , funcțiile Bloch sunt indicate cu notația $|\psi _{n\mathbf {k} }\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ rangle}$ , unde ecuația anterioară este concepută ca un produs punct și este pur și simplu scrisă

\langle \psi _{n\mathbf {k} }|\psi _{m\mathbf {k} }\rangle =\delta _{nm}

{\ displaystyle \ langle \ psi _ {n \ mathbf {k}} | \ psi _ {m \ mathbf {k}} \ rangle = \ delta _ {nm}}

{\ displaystyle \ langle \ psi _ {n \ mathbf {k}} | \ psi _ {m \ mathbf {k}} \ rangle = \ delta _ {nm}}

Stările sunt tocmai funcțiile lui Bloch. Sunt unde plane a căror structură este modulată în spațiu printr-o funcție periodică. Prin urmare, ele pot fi scrise în următoarea formă:

\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

{\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r} )}}

{\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r} )}}

sau, în notație Dirac:

|\psi _{n\mathbf {k} }\rangle =e^{i\mathbf {k\cdot r} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle

{\ displaystyle | \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ rangle = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} | u_ {n \ mathbf {k}} \ rangle}

{\ displaystyle | \ psi _ {n \ mathbf {k}} \ rangle = e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} | u_ {n \ mathbf {k}} \ rangle}

în care apare un factor de fază, o funcție $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ , sau $|u_{n\mathbf {k} }\rangle$ ${\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}} \ rangle}$ ${\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}} \ rangle}$ , periodic pe rețea, numărul cuantic al benzii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și vectorul de undă cristalină $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ .

Vectorul undei $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ se găsește în așa-numitul spațiu reciproc , tot periodic, care are la bază vectori

\mathbf {G} _{1}={\frac {2\pi }{V_{c}}}\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3},\quad \mathbf {G} _{2}={\frac {2\pi }{V_{c}}}\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1},\quad \mathbf {G} _{3}={\frac {2\pi }{V_{c}}}\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {G} _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}, \ quad \ mathbf {G} _ {2} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {3} \ times \ mathbf {a} _ {1}, \ quad \ mathbf {G} _ {3} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {1} \ times \ mathbf {a} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {G} _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}, \ quad \ mathbf {G} _ {2} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {3} \ times \ mathbf {a} _ {1}, \ quad \ mathbf {G} _ {3} = {\ frac {2 \ pi} {V_ {c}}} \ mathbf {a} _ {1} \ times \ mathbf {a} _ {2}}

unde este $V_{c}$ ${\ displaystyle V_ {c}}$ ${\ displaystyle V_ {c}}$ este volumul celulei. Indexarea funcțiilor de undă este unică dacă vectorul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este limitat la prima zonă din Brillouin .

Bibliografie

( EN ) Charles Kittel, Introducere în fizica statelor solide , Wiley, New York 1996.
( EN ) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics , Harcourt, Orlando 1976.
( EN ) D. Chruściński, A. Jamiołkiwski, Faze geometrice în mecanica clasică și cuantică , Birkhäuser, Boston 2004.

Elemente conexe

Funcția Wannier

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică