Teorema lui Ehrenfest

În mecanica cuantică , teorema lui Ehrenfest o observabil este o afirmație importantă , care stabilește o legătură între mecanicii clasice și cuantice, afirmând că legile mișcării pentru valorile medii ale operatorilor sunt aceleași ca și legile clasice ale mișcării.
Teorema se datorează fizician și matematician Paul Ehrenfest .

Teorema

Având în vedere un A observabilă, teorema lui Ehrenfest afirmă că:

{\frac {\operatorname {d} \langle {\hat {A}}\rangle }{\operatorname {d} t}}=\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]\right\rangle

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial {\ hat {A} }} {\ t parțial}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial {\ hat {A} }} {\ t parțial}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle}

Importanța teorema este pe deplin înțeleasă în formularea sa mai calitative:

«Evoluția valorilor asteptate (fiecare) observabile descrise de mecanica cuantică coincide fizice cu evoluția descrisă de mecanica clasică (cf. formularea Hamiltoniene a mecanicii clasice )».

Ipotezele teoremei sunt destul de generale.

Derivare

Pentru orice fizice observabile, valoarea medie într - un stat generic reprezentat de funcția de undă ψ (r) este dată de integrala :

\langle {\hat {A}}\rangle =\int \psi ^{(*)}({\vec {r}}){\hat {A}}\psi ({\vec {r}})\operatorname {d} ^{3}r

{\ Displaystyle \ Langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int \ psi ^ {(*)} ({\ vec {r}}) {\ hat {A}} \ psi ({\ vec {r} }) \ operatorname {d} ^ {3} r}

{\ Displaystyle \ Langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int \ psi ^ {(*)} ({\ vec {r}}) {\ hat {A}} \ psi ({\ vec {r} }) \ operatorname {d} ^ {3} r}

Provenind acest lucru cu privire la timp , obținem:

{\frac {\operatorname {d} \langle {\hat {A}}\rangle }{\operatorname {d} t}}=\langle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}|\psi (t)\rangle +\langle \psi (t)|{\hat {A}}|{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)\rangle

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ Langle {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ psi (t) | {\ hat {A}} | \ psi (t) \ rangle + \ Langle \ psi (t) | {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ hat {A}} | \ psi (t) \ rangle + \ Langle \ psi (t) | {\ hat {A}} | {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ psi (t) \ rangle}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ Langle {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ psi (t) | {\ hat {A}} | \ psi (t) \ rangle + \ Langle \ psi (t) | {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ hat {A}} | \ psi (t) \ rangle + \ Langle \ psi (t) | {\ hat {A}} | {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ psi (t) \ rangle}

Dacă aplicăm ecuația Schrödinger obținem:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}\psi

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ psi} {\ t parțial}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ hat {H}} \ psi}

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ psi} {\ t parțial}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ hat {H}} \ psi}

Și având în vedere conjugat complex :

{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\psi ^{*}{\hat {H}}^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\psi ^{*}{\hat {H}}.

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ psi ^ {*}} {\ t parțial}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ psi ^ {*} {\ hat {H}} ^ {*} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ psi ^ {*} {\ hat {H}}}.

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ psi ^ {*}} {\ t parțial}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ psi ^ {*} {\ hat {H}} ^ {*} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ psi ^ {*} {\ hat {H}}}.

Unde este ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ Hat {H}}$ este operatorul hamiltonian . Am notat asta ${\hat {H}}^{*}={\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}} ^ {*} = {\ hat {H}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}} ^ {*} = {\ hat {H}}}$ ca hamiltonianul este un operator de Hermitian . Substituind expresiile găsite în ecuația anterioară:

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \psi ^{*}({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\psi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}},{\hat {H}}]\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle .

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ Langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ psi ^ {*} ({\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A}}) \ psi ~ dx ^ {3} + \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial {\ hat {A}}} {\ parțial t}} \ dreapta \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ rangle + \ stângă \ Langle {\ frac { \ parțială {\ hat {A}}} {\ t parțial}} \ dreapta \ rangle.}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ Langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ psi ^ {*} ({\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A}}) \ psi ~ dx ^ {3} + \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial {\ hat {A}}} {\ parțial t}} \ dreapta \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ rangle + \ stângă \ Langle {\ frac { \ parțială {\ hat {A}}} {\ t parțial}} \ dreapta \ rangle.}

De multe ori operatorul ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ este independentă de timp și, în acest caz, ultimul termen al expresiei de mai sus este nulă.

Aplicarea operatorilor momentul și în poziția

pentru Hamiltonian $H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)$ ${\ Displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x)}$ ${\ Displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x)}$ nu depinde de timp, teorema ne permite să afirmăm că ecuațiile clasice ale mișcării se obțin în valoare medie în mecanica cuantică.

În cazul în care alegeți ${\hat {A}}={\hat {x}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {x}}}$ , Teorema ia forma:

{\frac {\operatorname {d} \langle {\hat {x}}\rangle }{\operatorname {d} t}}=\left\langle {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {x}},{\hat {H}}]\right\rangle =\left\langle {\frac {\hat {p}}{m}}\right\rangle

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {x}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle {\ frac {\ hat {p}} {m}} \ dreapta \ rangle}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {x}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle {\ frac {\ hat {p}} {m}} \ dreapta \ rangle}

În mod similar, în cazul în care apare ${\hat {A}}={\hat {p}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {p}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {p}}}$ , noi obținem:

{\frac {\operatorname {d} \langle {\hat {p}}\rangle }{\operatorname {d} t}}=\left\langle {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {p}},{\hat {H}}]\right\rangle =-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {p}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle = - \ stângă \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial parțială}} \ dreapta \ rangle}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ Langle {\ hat {p}} \ rangle} {\ operatorname {d} t}} = \ stângă \ Langle {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ dreapta \ rangle = - \ stângă \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial parțială}} \ dreapta \ rangle}

Combinând cele două rezultate, în cele din urmă obținem:

m{\frac {\operatorname {d} ^{2}\langle {\hat {x}}\rangle }{\operatorname {d} t^{2}}}=-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle

{\ Displaystyle m {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ Langle {\ hat {x}} \ rangle} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - \ left \ Langle {\ frac {\ V parțial (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle}

{\ Displaystyle m {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ Langle {\ hat {x}} \ rangle} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - \ left \ Langle {\ frac {\ V parțial (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle}

Menționăm că teorema lui Ehrenfest nu deține, în general, că valorile așteptările operatorilor cuantice evolueze ca omologii lor clasice fac. ^[1] De fapt, ar exista o corespondență cu mecanicii clasice numai dacă valoarea așteptată a forței a coincis cu faptul că în centrul pachetului, care este $\langle {\vec {F}}\rangle =-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle =-{\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial x}}$ ${\ Displaystyle \ Langle {\ vec {F}} \ rangle = - \ stângă \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle = parțial - {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}}}$ ${\ Displaystyle \ Langle {\ vec {F}} \ rangle = - \ stângă \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle = parțial - {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}}}$ care este, în general falsă deoarece particula nu este localizată.

Dezvoltam elementul mâna dreaptă a ecuației anterioare în baza de coordonate:

\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle =\int \psi ^{*}(x)\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\rangle \psi (x)\operatorname {d} x=\int \langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\rangle |\psi (x)|^{2}\operatorname {d} x

{\ Displaystyle \

din

stânga \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle = \ int \ psi ^ {*} (x) \ Langle {\ frac {\ V parțial parțială ( x)} {\ x parțial}} \ rangle \ psi (x) \ operatorname {d} x = \ int \ Langle {\ frac {\ V parțial (x)} {\ x parțial}} \ rangle | \ psi ( x) | ^ {2} \ operatorname {d} x}

{\ Displaystyle \ din stânga \ Langle {\ frac {\ V (x)} {\ x parțial}} \ dreapta \ rangle = \ int \ psi ^ {*} (x) \ Langle {\ frac {\ V parțial parțială ( x)} {\ x parțial}} \ rangle \ psi (x) \ operatorname {d} x = \ int \ Langle {\ frac {\ V parțial (x)} {\ x parțial}} \ rangle | \ psi ( x) | ^ {2} \ operatorname {d} x}

Pentru a obține o corespondență cu cazul clasic, trebuie să presupunem că $\ V(x)$ ${\ Displaystyle \ V (x)}$ ${\ Displaystyle \ V (x)}$ este aproximativ constantă în cazul în care funcția de undă are un vârf:

\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle ={\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial x}}\int |\psi (x)|^{2}\operatorname {d} x={\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial x}}

{\ Displaystyle \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial V (x)} {\ parțial x}} \ dreapta \ rangle = {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}} \ int | \ psi (x) | ^ {2} \ operatorname {d} x = {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}}}

{\ Displaystyle \ stângă \ Langle {\ frac {\ parțial V (x)} {\ parțial x}} \ dreapta \ rangle = {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}} \ int | \ psi (x) | ^ {2} \ operatorname {d} x = {\ frac {\ V parțial (\ Langle x \ rangle)} {\ x parțial}}}

Prin urmare, putem concluziona afirmând că relațiile mecanicii clasice se găsesc pentru mici variații ale potențialului.

În reprezentarea Heisenberg

Teorema ia o formă mai simplă în reprezentarea Heisenberg :

{\frac {\operatorname {d} {\hat {A}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {A}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ parțial {\ hat {A}}} {\ t parțial}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}]}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {A}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ parțial {\ hat {A}}} {\ t parțial}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}]}

Din aceasta este evident că, dacă ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ aceasta nu depinde de timp, atunci se comută cu Hamiltonianul, descriind o magnitudine conservatoare sau constantă a mișcării. Această interpretare se datorează Heisenberg.

O aplicare imediată a acestui fapt este calculul vitezei unei particule . În cazul în care viteza este derivata în raport cu timpul a poziției sale în planul cartezian, este imediat pentru a verifica dacă:

{\hat {v}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {r}}]={\frac {\hat {p}}{m}}

{\ Displaystyle {\ hat {v}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {r}}] = {\ frac {\ hat {p} } {m}}}

{\ Displaystyle {\ hat {v}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {r}}] = {\ frac {\ hat {p} } {m}}}

Notă

^ R. Shankar , p. 184 .

Bibliografie

(RO) R. Shankar, Principiile mecanicii cuantice a doua ediție, Springer, 1994, ISBN 0-306-44790-8 .

Elemente conexe

Energia medie a unui sistem cuantic

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe teorema lui Ehrenfest

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] R. Shankar , p. 184 .

[1]