Teorema lui Poynting

În fizică , teorema lui Poynting este o relație integrală la care trebuie să fie supusă fiecare soluție a ecuațiilor lui Maxwell , este o consecință directă a acestor ecuații și nu reprezintă o legătură suplimentară între vectorii câmpului electromagnetic. Publicată de fizicianul englez John Henry Poynting în 1884 , este o teoremă de importanță fundamentală pentru interpretarea energiei sale, deoarece exprimă principiul conservării energiei pentru câmpul electromagnetic .

Afirmație

Același subiect în detaliu: Energia câmpului electromagnetic .

Puterea s-a risipit $d P.$ ${\ displaystyle dP}$ $dP$ din câmpuri $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ cu privire la acuzații $dq=\rho \,dV$ ${\ displaystyle dq = \ rho \, dV}$ ${\ displaystyle dq = \ rho \, dV}$ prezent într-un volum infinitesimal $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ călătorind cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este valabil:

dP=\mathbf {dF} \cdot \mathbf {v} =dq\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {v} =\rho \left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} +\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {v} \right)\,dV=\rho \mathbf {E} \cdot \mathbf {v} \,dV=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} \,dV

{\ displaystyle dP = \ mathbf {dF} \ cdot \ mathbf {v} = dq \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf {v} = \ rho \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} + \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf {v} \ right) \, dV = \ rho \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} \, dV = \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \, dV}

{\ displaystyle dP = \ mathbf {dF} \ cdot \ mathbf {v} = dq \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf {v} = \ rho \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} + \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf {v} \ right) \, dV = \ rho \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} \, dV = \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \, dV}

unde este $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ este densitatea curentului .

Teorema lui Poynting exprimă conservarea energiei câmpului electromagnetic în cazul în care câmpurile $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ sunt cuplate, ceea ce nu este în general cazul în cazul staționar. Teorema afirmă că densitatea energiei electromagnetice scade în timp $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ într-un punct din spațiu se datorează divergenței vectorului Poynting $\mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ mathbf {S}}$ și / sau puterea disipată pe tarifele pe unitate de volum $\mathbf {E} \cdot \mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J}}$ în acel moment (de exemplu datorită efectului Joule ): ^[1]

\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} = - {\ frac {\ partial u} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} = - {\ frac {\ partial u} {\ partial t}}}

Densitatea energiei este:

u={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ mathbf { B} ^ {2}}

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ mathbf { B} ^ {2}}

în timp ce vectorul Poynting :

\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}}

\ mathbf S = \ mathbf E \ times \ mathbf H

Energia poate fi schimbată între sarcini și câmpuri, cea care nu este transferată la sarcini se poate deplasa în continuare acolo unde indică vectorul Poynting. Unde este $\mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ mathbf {S}}$ converge va exista o creștere a densității energiei, în timp ce acolo unde divergă va exista o scădere. Abilitatea de a scrie bilanțul energetic pentru fiecare punct înseamnă că conservarea este atât locală, cât și globală, energia nu poate să dispară și să apară în alt punct, ci poate curge doar. Prin urmare, bilanțul poate fi scris în formă completă pentru un volum arbitrar $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ relaționând energia conținută cu cea care curge prin suprafața volumului:

\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} \ dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {d}{dt}}\int _{V}u\ dV

{\ displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \ dV + \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {S} \ cdot d \ mathbf {A} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} u \ dV}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \ dV + \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {S} \ cdot d \ mathbf {A} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} u \ dV}

Generalizare

Energia mecanică a sarcinilor electrice este, echivalentă cu formularea anterioară a teoremei și în conformitate cu ecuația de continuitate pentru energie:

{\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\rho _{E}\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} u_ {m} (\ mathbf {r}, t) + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ rho _ {E} \ mathbf {v} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} u_ {m} (\ mathbf {r}, t) + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ rho _ {E} \ mathbf {v} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}

unde este $u_{m}$ ${\ displaystyle u_ {m}}$ ${\ displaystyle u_ {m}}$ reprezintă densitatea energiei cinetice, suma energiilor particulelor individuale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , a cărui traiectorie este dată de $\mathbf {r} _{\alpha }(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)}$ :

u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t))

{\ displaystyle u_ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r}} _ {\ alpha } ^ {2} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t))}

{\ displaystyle u_ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r}} _ {\ alpha } ^ {2} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t))}

Fluxul de energie mecanică, echivalent cu vectorul Poynting pentru energia electromagnetică, este definit ca:

\mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).

{\ displaystyle \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r} } _ {\ alpha} ^ {2} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {\ alpha} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)). }

{\ displaystyle \ mathbf {S} _ {m} (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {\ alpha} {\ frac {m _ {\ alpha}} {2}} {\ dot {r} } _ {\ alpha} ^ {2} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {\ alpha} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {\ alpha} (t)). }

Cele două expresii ale teoremei sunt legate de forța lorentziană pe care câmpul o exercită asupra particulelor încărcate în mișcare, iar prin impunerea conservării energiei obținem generalizarea: ^[2]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (u_ {e} + u_ {m} \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {S} _ {e} + \ mathbf {S} _ {m} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (u_ {e} + u_ {m} \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {S} _ {e} + \ mathbf {S} _ {m} \ right) = 0}

care acoperă ambele tipuri de energie în joc. În formă integrală, teorema devine:

\oint _{\partial V}\mathbf {E} \times \mathbf {H} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} ^{2}+\int _{V}\rho _{E}\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} \,\operatorname {d} r^{3}+\int _{V}\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,\operatorname {d} r^{3}=-\int _{V}(\rho _{E}\mathbf {v} _{mi}\cdot \mathbf {H} +\rho _{E}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {E} )\,\operatorname {d} r^{3}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} ^ {2} + \ int _ {V} \ rho _ { E} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ left (\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right) \, \ operatorname {d} r ^ { 3} = - \ int _ {V} (\ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {E}) \, \ operatorname {d} r ^ {3}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} ^ {2} + \ int _ {V} \ rho _ { E} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ left (\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right) \, \ operatorname {d} r ^ { 3} = - \ int _ {V} (\ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {E}) \, \ operatorname {d} r ^ {3}}

Demonstrație

Afirmația este obținută pornind de la cele două ecuații ale rotorului Maxwell, legea Faraday-Neumann-Lenz și legea Ampère-Maxwell :

{\begin{cases}\nabla \times \mathbf {E} =-\rho _{E}\mathbf {v} _{mi}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {H} =\rho _{E}\mathbf {v} _{i}+\rho _{E}\mathbf {v} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ end {cases}}}

Înmulțind cu scalar $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ prima ecuație este pentru $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ al doilea, și ulterior scăzând membru cu membru, obținem:

\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} =-\rho _{E}\mathbf {v} _{mi}\cdot \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\rho _{E}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {E} -\rho _{E}\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H} = - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} - \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ { i} \ cdot \ mathbf {E} - \ rho _ {E} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ parțial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H} = - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} - \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} - \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ { i} \ cdot \ mathbf {E} - \ rho _ {E} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ parțial t}}}

Pentru o proprietate a operatorului nabla :

\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \nabla \times \mathbf {B}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {A} - \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {B}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {A} - \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {B}}

primul membru este egal cu:

\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )

{\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}

{\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}

Integrarea pe un volum arbitrar $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , închisă de o suprafață închisă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , pe care este $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ vectorul normalului îndreptat spre exterior, avem:

\int _{\tau }\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\,d\tau +\int _{\tau }\rho _{E}\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} \,d\tau +\int _{\tau }\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,d\tau =-\int _{\tau }(\rho _{E}\mathbf {v} _{mi}\cdot \mathbf {H} +\rho _{E}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {E} )\,d\tau

{\ displaystyle \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau + \ int _ {\ tau} \ rho _ {E} \ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {E} \, d \ tau + \ int _ {\ tau} \ left (\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right) \, d \ tau = - \ int _ {\ tau} (\ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {E}) \, d \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau + \ int _ {\ tau} \ rho _ {E} \ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {E} \, d \ tau + \ int _ {\ tau} \ left (\ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right) \, d \ tau = - \ int _ {\ tau} (\ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {mi} \ cdot \ mathbf {H} + \ rho _ {E} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {E}) \, d \ tau}

Aplicarea teoremei divergenței la primul termen al primului membru urmează teorema lui Poynting.

Analiza energiei

Având o taxă punctuală $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ care se mișcă cu viteză $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ într-o regiune care găzduiește un câmp electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ și o inducție magnetică $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , va fi supus forței Lorentz :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} )

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B})}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B})}

Prin urmare, câmpul electric îi conferă o putere egală cu:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} =q\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} +q\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \times \mathbf {B}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {F} = q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} }

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {F} = q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} }

Pentru proprietățile produsului mixt între vectori, avem:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \times \mathbf {B} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} = \ mathbf {u} \ times \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {B} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} = \ mathbf {u} \ times \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {B} = 0}

fiind produsul vector al unui vector în sine identic zero.

Prin urmare, puterea este:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} =q\mathbf {u} \cdot \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {F} = q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {F} = q \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E}}

Luând în considerare în schimb o densitate de încărcare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ veți obține o densitate de forță

\mathbf {f} =\rho (\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} )

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B})}

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B})}

și o densitate de putere

\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} =\rho \mathbf {u} \cdot \mathbf {E} =\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}

fiind $\rho \mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ rho \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ rho \ mathbf {u}}$ o densitate de sarcină în mișcare și, prin urmare, o densitate de curent $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ .

De aici și termenul $p_{c}=\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ ${\ displaystyle p_ {c} = \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle p_ {c} = \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}$ reprezintă densitatea de putere furnizată de câmpul electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ la densitatea curentului electric $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ , adică densitatea de putere disipată de efectul Joule .

Densitatea de putere schimbată cu câmpul magnetic și electric este:

p_{H}=\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mu \mathbf {H} }{\partial t}}=\mu \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=\mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\mathbf {H} \cdot \mathbf {H} \right)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} \right)={\frac {\partial w_{H}}{\partial t}}

{\ displaystyle p_ {H} = \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mu \ mathbf {H}} {\ partial t}} = \ mu \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {H}} {\ partial t}} = \ mu {\ frac {\ partial} { \ partial t}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {H} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ( {\ frac {1} {2}} \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B} \ right) = {\ frac {\ partial w_ {H}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle p_ {H} = \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mu \ mathbf {H}} {\ partial t}} = \ mu \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {H}} {\ partial t}} = \ mu {\ frac {\ partial} { \ partial t}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {H} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ( {\ frac {1} {2}} \ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B} \ right) = {\ frac {\ partial w_ {H}} {\ partial t}}}

unde este $w_{H}$ ${\ displaystyle w_ {H}}$ ${\ displaystyle w_ {H}}$ este densitatea de energie asociată câmpului magnetic.
În mod similar pentru câmpul electric avem:

p_{E}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} \right)={\frac {\partial w_{E}}{\partial t}}

{\ displaystyle p_ {E} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D} \ right) = {\ frac {\ partial w_ {E}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle p_ {E} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D} \ right) = {\ frac {\ partial w_ {E}} {\ partial t}}}

Densitatea puterii radiate

Puterea a radiat prin suprafața închisă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este fluxul vectorului Poynting prin $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , a cărei densitate de suprafață este exprimată prin termen $\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\Pi }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}}}$ .

Este important de reținut că termenului de mai sus nu este posibil să se atribuie semnificația puterii care trece prin unitatea de suprafață (de exemplu, puterea pe unitate de suprafață perpendiculară pe direcția de propagare a unei unde electromagnetice).
De fapt, considerat un câmp generat de sarcini electrostatice și magneți permanenți, în general $\mathbf {E} \times \mathbf {H} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \ neq 0}$ și astfel fluxul de ${\boldsymbol {\Pi }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$ pe o suprafață deschisă ar fi diferită de zero. Cu toate acestea, nu poate fi o putere radiată, deoarece sursele câmpului electromagnetic sunt statice. De fapt, pentru sursele domeniului considerat avem:

{\begin{cases}\nabla \times \mathbf {E} =0\\\nabla \times \mathbf {H} =0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = 0 \ end {cases}}}

Așadar:

\oint _{S}\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,dS=\int _{\tau }\nabla \cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,d\tau =\int _{\tau }\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\,d\tau =\int _{\tau }(\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} )\,d\tau =0

{\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, dS = \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, d \ tau = \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau = \ int _ {\ tau} (\ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau = 0}

{\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, dS = \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, d \ tau = \ int _ {\ tau} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau = \ int _ {\ tau} (\ mathbf {H} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {H}) \, d \ tau = 0}

din care se poate deduce că fluxul vectorului Poynting printr-o suprafață închisă este de fapt zero.

Notă

^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 491 .
^ Richter, E., Florian, M; Henneberger, K., Teorema lui Poynting și conservarea energiei în propagarea luminii în medii delimitate , în Europhys. Lit. , vol. 81, 2008, p. 67005, DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 81/67005 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Gerosa, Lampariello, Lecții în câmpuri electromagnetice , Ediții inginerești 2000.

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh2010008391

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[teorema-1] Mencuccini, Silvestrini , pagina 491 .

[richter-2] Richter, E., Florian, M; Henneberger, K., Teorema lui Poynting și conservarea energiei în propagarea luminii în medii delimitate , în Europhys. Lit. , vol. 81, 2008, p. 67005, DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 81/67005 .

[1]

[2]