Teorema lui Fubini

În analiza matematică , teorema lui Fubini , numită în cinstea matematicianului italian Guido Fubini , oferă o condiție suficientă pentru a putea inversa ordinea integrării . Una dintre cele mai cunoscute aplicații ale teoremei este evaluarea integralei Gaussiene , un rezultat fundamental pentru teoria probabilității .

Teorema

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {G}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {G}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {G}}, \ mu)}$ Și $(Y,{\mathfrak {F}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {F}}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {F}}, \ lambda)}$ două spații de măsură σ-finită. La fiecare funcție $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ acesta este ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ - măsurabil pe $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ și la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ puteți asocia o funcție $f_{x}$ ${\ displaystyle f_ {x}}$ $f_ {x}$ definit în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ În felul următor:

f_{x}(y)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {x} (y) = f (x, y) \}

f_ {x} (y) = f (x, y) \

În mod similar, este definit pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ functia $f_{y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ $f_ {y}$ astfel încât:

f_{y}(x)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y) \}

f_ {y} (x) = f (x, y) \

Ambele funcții sunt respectiv ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil. ^[1]

Afirmație

Teorema afirmă că: ^[2]

Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este pozitiv și dacă:

\phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu

{\ displaystyle \ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu}

\ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu

asa de

\phi

{\ displaystyle \ phi}

\ phi

Și

{\mathfrak {F}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}

{\ mathfrak {F}}

-măsurabil e

\psi

{\ displaystyle \ psi}

\ psi

Și

{\mathfrak {G}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}

{\ mathfrak {G}}

-măsurabil, în plus:

\int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {X \ times Y} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda}

\ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {{X \ times Y}} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda

unde este

d(\mu \times \lambda )

{\ displaystyle d (\ mu \ times \ lambda)}

d (\ mu \ times \ lambda)

este măsura produsului celor două măsuri

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

Și

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

.

Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este complex și dacă:

\phi ^{*}(x)=\int _{Y}|f_{x}|d\lambda \qquad \int _{X}\phi ^{*}d\mu <\infty

{\ displaystyle \ phi ^ {*} (x) = \ int _ {Y} | f_ {x} | d \ lambda \ qquad \ int _ {X} \ phi ^ {*} d \ mu <\ infty}

\ phi ^ {*} (x) = \ int _ {Y} | f_ {x} | d \ lambda \ qquad \ int _ {X} \ phi ^ {*} d \ mu <\ infty

asa de

f\in L^{1}(\mu \times \lambda )

{\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu \ times \ lambda)}

f \ în L ^ {1} (\ mu \ times \ lambda)

.

Dacă funcția $f\in L^{1}(\mu \times \lambda )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu \ times \ lambda)}$ $f \ în L ^ {1} (\ mu \ times \ lambda)$ asa de $f_{x}\in L^{1}(\lambda )$ ${\ displaystyle f_ {x} \ în L ^ {1} (\ lambda)}$ $f_ {x} \ în L ^ {1} (\ lambda)$ pentru aproape toți $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $f_{y}\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f_ {y} \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $f_ {y} \ în L ^ {1} (\ mu)$ pentru aproape toți $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ . De asemenea, pentru funcțiile definite mai sus aproape oriunde aveți acest lucru $\phi (x)\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle \ phi (x) \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $\ phi (x) \ în L ^ {1} (\ mu)$ Și $\psi (y)\in L^{1}(\lambda )$ ${\ displaystyle \ psi (y) \ în L ^ {1} (\ lambda)}$ $\ psi (y) \ în L ^ {1} (\ lambda)$ .

Urmări

Primul punct al teoremei poate fi scris echivalent în felul următor:

\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\

{\ displaystyle \ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ { X} f (x, y) d \ mu (x) \}

\ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ {X} f (x, y) d \ mu (x) \

în timp ce celelalte două afirmații implică faptul că dacă $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ este o funcție ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ - măsurabilă și dacă:

\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}|f(x,y)|d\lambda (y)<\infty

{\ displaystyle \ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} | f (x, y) | d \ lambda (y) <\ infty}

\ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} | f (x, y) | d \ lambda (y) <\ infty

atunci integranzii din relația anterioară sunt finiți și egali. ^[3]

Corolar

Dacă funcția:

f(x,y)=h(x)g(y)\

{\ displaystyle f (x, y) = h (x) g (y) \}

f (x, y) = h (x) g (y) \

îndeplinește condițiile teoremei lui Fubini, apoi:

\left(\int _{A}h(x)\,dx\right)\left(\int _{B}g(y)\,dy\right)=\int _{A\times B}h(x)g(y)\,d(x,y)

{\ displaystyle \ left (\ int _ {A} h (x) \, dx \ right) \ left (\ int _ {B} g (y) \, dy \ right) = \ int _ {A \ times B } h (x) g (y) \, d (x, y)}

\ left (\ int _ {A} h (x) \, dx \ right) \ left (\ int _ {B} g (y) \, dy \ right) = \ int _ {{A \ times B}} h (x) g (y) \, d (x, y)

prin urmare integrala dublă se datorează produsului a două integrale simple.

Teorema lui Tonelli

Teorema lui Tonelli , numită în cinstea matematicianului italian Leonida Tonelli , este o teoremă foarte asemănătoare cu cea a lui Fubini. Concluzia celor două teoreme este aceeași, dar ipotezele sunt diferite. Afirmația teoremei lui Tonelli afirmă că integralul unei funcții non-negative asupra produsului a două spații sigma-finite (în raport cu măsura produsului ) coincide cu integrala iterată în raport cu cele două măsuri. În special, dacă integrala iterată are valoare finită, se poate aplica teorema lui Fubini și, în consecință, valoarea integralei este independentă de ordinea integrării.

Notă

^ W. Rudin , pagina 138 .
^ W. Rudin , pagina 140 .
^ W. Rudin , pagina 141 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 138 .

[2] W. Rudin , pagina 140 .

[3] W. Rudin , pagina 141 .

[1]

[2]

[3]