Teoria ariei în geometrie hiperbolică

Teoria zonei în geometria hiperbolică este o teorie în contextul geometriei hiperbolice .

Definiție

Puteți crea o paralelă între aria unui poligon definit în planul euclidian și aria unui poligon definit în planul hiperbolic .

În geometria euclidiană este definită o funcție de zonă care îndeplinește proprietăți, astfel încât să o considere o măsură corectă a unei suprafețe .

Mai mult, în planul euclidian poligoanele se bucură de proprietatea echiscomponibilității .

În special, sunt valabile următoarele teoreme :

Dacă două regiuni triunghiulare au aceeași zonă, atunci ele sunt divizibile în mod egal;

Dacă două regiuni poligonale au aceeași zonă, atunci acestea sunt echizomponibile.

Observăm că în planul euclidian nu toate regiunile plane sunt echiscomponibile.

În mod similar, de asemenea, în spațiul euclidian nu toate solidele se bucură de proprietatea echizomposabilității : de fapt, prismele de același volum sunt echisomponabile, în timp ce prismele și piramidele de același volum nu sunt echisomponabile.

În geometria hiperbolică este posibilă definirea unei funcții care îndeplinește condițiile funcției de zonă . Este funcția de defect unghiular.

Această funcție îndeplinește axiomele 1 - 4 definite pentru funcția de zonă (observăm că în geometria hiperbolică nu există dreptunghiuri, prin urmare axioma 4 nu poate fi falsă) și proprietatea de echiscomponibilitate .

În special, urmează următoarea teoremă :

Teorema 1: Dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o funcție definită de set ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ a tuturor regiunilor poligonale din setul numerelor reale (deci $A\colon {\mathcal {P}}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle A \ colon {\ mathcal {P}} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A \ colon {\ mathcal {P}} \ to \ mathbb {R}}$ ) care se bucură de proprietățile A1 și A3 ale funcției zonei și proprietatea de echiscomponibilitate , atunci există un număr $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ astfel încât pentru fiecare regiune poligonală $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ merita

A(P)=h\cdot d(P),

{\ displaystyle A (P) = h \ cdot d (P),}

{\ displaystyle A (P) = h \ cdot d (P),}

unde este $d(P)$ ${\ displaystyle d (P)}$ ${\ displaystyle d (P)}$ este defectul unghiular al regiunii $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Teorema asigură faptul că defectul unghiular este singura funcție posibilă de zonă care, cu excepția cazului în care este o constantă arbitrară, protejează proprietățile specifice măsurării suprafețelor în planul hiperbolic.

Se aplică următoarele teoreme referitoare la echiscomponibilitate , analog cazului euclidian:

Teorema 2: Dacă două regiuni triunghiulare au același defect unghiular (și, prin urmare, aceeași zonă), atunci acestea sunt echiscomponibile;

Teorema 3: Dacă două regiuni poligonale au același defect unghiular (și, prin urmare, aceeași zonă), atunci acestea sunt echiscomponibile.

Teorema anterioară arată că în geometria hiperbolică aria unui triunghi și aria unui poligon rămân sub o valoare constantă, în special:

A({\text{triangolo}})<h\pi ;

{\ displaystyle A ({\ text {triunghi}}) <h \ pi;}

{\ displaystyle A ({\ text {triunghi}}) <h \ pi;}

A({\text{poligono}})<nh\pi ,

{\ displaystyle A ({\ text {polygon}}) <nh \ pi,}

{\ displaystyle A ({\ text {polygon}}) <nh \ pi,}

(unde este

n

{\ displaystyle n}

n

este numărul laturilor poligonului).

Observăm că în planul hiperbolic funcția de zonă este definită până la o constantă arbitrară $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , prin urmare este posibil să se exploateze arbitrariul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ să alegem funcția de defect unghiular astfel încât să avem identitatea numerică între aria definită în planul hiperbolic și în planul euclidian.

Bibliografie

Richard Trudeau, Revoluția non-euclidiană (Bollati Boringhieri).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică