Coincidență matematică

În matematică , termenul coincidență matematică este utilizat atunci când două expresii numerice fără legătură au o valoare foarte similară.

Având în vedere numărul mare de moduri de combinare a expresiilor matematice, s-ar putea aștepta să apară un număr mare de coincidențe; acesta este un aspect al așa-numitei legi a numărului mare . Deși unele coincidențe matematice pot fi utile ca aproximări în viața de zi cu zi, interesul lor are în principal un caracter de curiozitate atunci când se referă la numere întregi, fracții cu un numărător și numitor mic sau constante matematice uzuale. Uneori unele coincidențe matematice depind de baza de numerotare adoptată sau de sistemul de măsurare în care sunt exprimate constantele.

Cateva exemple

$e^{\pi }\simeq \pi ^{e}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi} \ simeq \ pi ^ {e}}$ $e ^ {\ pi} \ simeq \ pi ^ {e}$ ; corectat la aproximativ 3%
$\pi \simeq 22/7$ ${\ displaystyle \ pi \ simeq 22/7}$ $\ pi \ simeq 22/7$ ; corectat la aproximativ 0,03%; $\pi \simeq 355/113$ ${\ displaystyle \ pi \ simeq 355/113}$ $\ pi \ simeq 355/113$ , corectat la a șasea zecimală sau 0,000008%.
$\pi ^{2}\simeq 10$ ${\ displaystyle \ pi ^ {2} \ simeq 10}$ $\ pi ^ {2} \ simeq 10$ ; corectat la aproximativ 3%. Această coincidență a fost utilizată la proiectarea regulilor de glisare , unde scările pliabile se pliază $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ mai degrabă decât pe ${\sqrt {10}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}}}$ ${\ sqrt {10}}$ , deoarece este un număr mai util și are ca efect îndoirea scărilor cam în același loc;
$\pi ^{2}\simeq 227/23$ ${\ displaystyle \ pi ^ {2} \ simeq 227/23}$ $\ pi ^ {2} \ simeq 227/23$ ; corectat la 0,0004%.
$\pi ^{3}\simeq 31$ ${\ displaystyle \ pi ^ {3} \ simeq 31}$ $\ pi ^ {3} \ simeq 31$ ; corectat la aproximativ 0,02%.
$\pi ^{4}\simeq 2143/22$ ${\ displaystyle \ pi ^ {4} \ simeq 2143/22}$ $\ pi ^ {4} \ simeq 2143/22$ ; precis pentru o parte în sus $10^{10}$ ${\ displaystyle 10 ^ {10}}$ $10 ^ {{10}}$ aproximativ; descoperirea matematicianului indian Ramanujan , care trebuie să fi realizat că reprezentarea în fracțiune continuă a $\pi ^{4}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {4}}$ $\ pi ^ {4}$ incepe cu $[97;2,2,3,1,16539,1,1,\ldots ]$ ${\ displaystyle [97; 2,2,3,1,16539,1,1, \ ldots]}$ $[97; 2,2,3,1,16539,1,1, \ ldots]$ .
$\pi ^{5}\simeq 306$ ${\ displaystyle \ pi ^ {5} \ simeq 306}$ $\ pi ^ {5} \ simeq 306$ ; corectat la aproximativ 0,006%.

(Teoria fracțiilor continue oferă un tratament sistematic al acestui tip de coincidență și, de asemenea, al unor coincidențe, cum ar fi $2\times 12^{2}\simeq 17^{2}$ ${\ displaystyle 2 \ times 12 ^ {2} \ simeq 17 ^ {2}}$ $2 \ times 12 ^ {2} \ simeq 17 ^ {2}$ (adică ${\sqrt {2}}\simeq 17/12$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ simeq 17/12}$ ${\ sqrt {2}} \ simeq 17/12$ ). În mod curios, fracțiunile continue ale primelor puteri ale $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ajunge la un număr mare (> 50) suficient de devreme, în cazul $\pi ^{3}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {3}}$ $\ pi ^ {3}$ Și $\pi ^{5}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {5}}$ $\ pi ^ {5}$ imediat ce primul numitor.)

$1+1/\log(10)\simeq 1/\log(2)$ ${\ displaystyle 1 + 1 / \ log (10) \ simeq 1 / \ log (2)}$ $1 + 1 / \ log (10) \ simeq 1 / \ log (2)$ ; din observația lui Donald Knuth că, la mai puțin de 5%, $\log _{2}(x)=\log(x)+\log _{10}(x)$ ${\ displaystyle \ log _ {2} (x) = \ log (x) + \ log _ {10} (x)}$ $\ log _ {2} (x) = \ log (x) + \ log _ {{10}} (x)$ .
$2$ $10$ $≃$ $10$ $3$ {\ displaystyle 2 ^ {10} \ simeq 10 ^ {3}} $2 ^ {{10}} \ simeq 10 ^ {3}$ ; corectat la 2,4%, vezi Prefixe pentru multipli binari ; presupune că $Buturuga$ $10$ $2$ $=$ $0$ $,$ $3$ {\ displaystyle \ log _ {10} 2 = 0,3} ${\ displaystyle \ log _ {10} 2 = 0,3}$ ; valoare efectivă aproximativ 0,30103; inginerii folosesc pe larg aproximarea că 3 dB este egal cu dublarea nivelului de putere. Folosind această valoare aproximativă de $Buturuga$ $10$ $2$ {\ displaystyle \ log _ {10} 2} $\ log _ {{10}} 2$ , următoarele aproximări pot fi derivate pentru logaritmii altor numere:
- $3^{4}\simeq 10\cdot 2^{3}$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} \ simeq 10 \ cdot 2 ^ {3}}$ $3 ^ {4} \ simeq 10 \ cdot 2 ^ {3}$ , de la care $\log _{10}3=(1+3\log _{10})/4\simeq 0,475$ ${\ displaystyle \ log _ {10} 3 = (1 + 3 \ log _ {10}) / 4 \ simeq 0.475}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} 3 = (1 + 3 \ log _ {10}) / 4 \ simeq 0.475}$ ; valoarea reală este de aproximativ 0,4771.
- $7^{2}\simeq 10^{2}/2$ ${\ displaystyle 7 ^ {2} \ simeq 10 ^ {2} / 2}$ $7 ^ {2} \ simeq 10 ^ {2} / 2$ , de la care $\log _{10}7\simeq 1-\log _{10}2/2$ ${\ displaystyle \ log _ {10} 7 \ simeq 1- \ log _ {10} 2/2}$ $\ log _ {{10}} 7 \ simeq 1- \ log _ {{10}} 2/2$ sau aproximativ 0,85 (valoarea reală 0,8451).
$e^{\pi }\simeq \pi +20$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi} \ simeq \ pi +20}$ $și ^ {\ pi} \ simeq \ pi +20$ ; corectat la aproximativ 0,004%.
$e^{\pi {\sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {n}}}}$ $e ^ {{\ pi {\ sqrt {n}}}}$ este aproape de un număr întreg pentru multe valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , in special pentru $n=163$ ${\ displaystyle n = 163}$ $n = 163$ ; aceasta își are rădăcinile în teoria algebrică a numerelor .
$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ secunde este un nanoseclu (adică $10^{-7}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 7}}$ $10 ^ {{- 7}}$ ani ); corectat aproximativ 0,5%.
$1anno\approx \pi \cdot 10^{7}$ ${\ displaystyle 1year \ approx \ pi \ cdot 10 ^ {7}}$ ${\ displaystyle 1year \ approx \ pi \ cdot 10 ^ {7}}$ , corectat la 0,38%;
un attoparsec pe microfortnight este aproximativ egal cu 1 inch pe secundă (valoarea reală este de aproximativ 1,0043 inch pe secundă).
o milă este de aprox $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ kilometri (corectat la aproximativ 0,5%), unde $\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$ ${\ displaystyle \ phi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}$ $\ phi = {1 + {\ sqrt 5} \ peste 2}$ este secțiunea aurie . Deoarece aceasta este limita raportului dintre doi termeni succesivi ai secvenței Fibonacci , aceasta oferă o succesiune de aproximări $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ i = $F_{n+1}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1}}$ $F _ {{n + 1}}$ km, de exemplu 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
$2^{7/12}\simeq 3/2$ ${\ displaystyle 2 ^ {7/12} \ simeq 3/2}$ $2 ^ {{7/12}} \ simeq 3/2$ ; corectat la aproximativ 0,1%. În muzică, această coincidență înseamnă că în scara cromatică a doisprezece semitonuri cu temperament egal șapte semitonuri sunt foarte apropiate de intervalul muzical al unei cincimi perfecte , ceea ce a favorizat trecerea de la temperamentul pitagoric și temperamentul natural la temperamentul egal.
$\pi \simeq {\frac {63}{25}}\left({\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}\right)$ ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {63} {25}} \ left ({\ frac {17 + 15 {\ sqrt {5}}} {7 + 15 {\ sqrt {5}}}} \ right )}}$ $\ pi \ simeq {\ frac {63} {25}} \ left ({\ frac {17 + 15 {\ sqrt {5}}} {7 + 15 {\ sqrt {5}}}} \ right)$ ; rotunjit la a noua zecimală (descoperirea lui Ramanujan ).
N _A ≈ 2 ⁷⁹ , unde N este numărul lui Avogadro ; corectat la aproximativ 0,4%. Aceasta înseamnă că un yobibyte este puțin mai mare decât doi moli de octeți.
Viteza luminii este de aproximativ un picior pe nanosecundă (corectată la 2%).

Coincidențe între matematică și lumea fizică

Viteza luminii

Viteza luminii este, prin definiție, exact 299 792 458 m / s , foarte aproape de 300 000 000 m / s . Aceasta este o pură coincidență, deoarece metrul a fost inițial definit ca 1/10 000 000 din distanța dintre polul nord al Pământului și ecuatorul de-a lungul suprafeței la nivelul mării și că circumferința pământului este de aproximativ 2/15 dintr-o secundă ușoară.

Diametre unghiulare ale Soarelui și Lunii

Văzute de pe Pământ, diametrele unghiulare ale Soarelui variază între 31′27 ″ și 32′32 ″, în timp ce cele ale Lunii între 29′20 ″ și 34′6 ″. Faptul că intervalele se suprapun este o coincidență care are implicații speciale pentru tipurile de eclipse care sunt vizibile de pe Pământ.

Accelerația gravitațională

Deși nu este constantă și variază în funcție de longitudine și latitudine, valoarea numerică a accelerației cauzate de gravitația Pământului la suprafață variază între 9,74 și 9,87, care este un număr apropiat de 10. Aceasta înseamnă că, conform celei de-a doua legi a Newton, greutatea unui kilogram pe suprafața pământului corespunde forței de aproximativ 10 Newton exercitate asupra unui obiect.

Acest fapt este legat de coincidența că pătratul lui pi este aproape de 10. De fapt, una dintre primele definiții ale unui metru a fost lungimea unui pendul a cărui jumătate de perioadă a fost egală cu o secundă. Deoarece perioada unui pendul este aproximativ egală cu ecuația prezentată mai jos, algebra ne arată că, dacă definiția de mai sus ar fi fost menținută, accelerația gravitației exprimată în metri pe secundă pătrat ar fi fost egală cu pătratul lui pi:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ ${\ displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}}$ ${\ displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}}$

Când s-a descoperit că circumferința pământului era foarte aproape de o patruzeci de milionimi din această valoare, contorul a fost redefinit pentru a adera la acel raport, care era un standard mai obiectiv, deoarece accelerația gravitației pe pământ variază în funcție de locul măsurare.

Acest lucru a avut ca efect creșterea lungimii contorului cu mai puțin de 1%, ceea ce a fost în cadrul erorii de timp experimentale.

Elemente conexe

Pentru o listă de coincidențe în fizică , a se vedea principiul antropic .
Paradoxul zilei de naștere

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică