Conjectura lui Schanuel

În matematică , conjectura Schanuel afirmă următoarele:

Având în vedere un set de

n

{\ displaystyle n}

n

numere complexe

(z_{1},...,z_{n})

{\ displaystyle (z_ {1}, ..., z_ {n})}

{\ displaystyle (z_ {1}, ..., z_ {n})}

liniar independent de ansamblul raționalelor

\mathbb {Q}

{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

apoi extinderea sa de câmpuri

Q(z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})

{\ displaystyle Q (z_ {1}, ..., z_ {n}, e ^ {z_ {1}}, ..., e ^ {z_ {n}})}

{\ displaystyle Q (z_ {1}, ..., z_ {n}, e ^ {z_ {1}}, ..., e ^ {z_ {n}})}

are cel puțin grad de transcendență

n

{\ displaystyle n}

n

pe

\mathbb {Q}

{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

.

Conjectura a fost formulată de Stephen Schanuel la începutul anilor șaizeci, dar până în prezent nu numai că nu există o dovadă, dar se pare că aceasta nu este la îndemână ^[1] .

Conjectura, dacă ar fi dovedită, ar implica teorema Lindemann-Weierstrass și teorema Gelfond-Schneider , precum și alte rezultate privind proprietățile transcendente ale funcției exponențiale , inclusiv independența algebrică neprobată a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ .

Afirmația inversă a Conjecturii lui Schanuel este după cum urmează:

Lasa-i sa fie $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ un câmp numărabil cu caracteristică nulă și $e:F\rightarrow F$ ${\ displaystyle e: F \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle e: F \ rightarrow F}$ un homomorfism din grupul aditiv $(F,+)$ ${\ displaystyle (F, +)}$ ${\ displaystyle (F, +)}$ la grupul multiplicativ $(F,\cdot )$ ${\ displaystyle (F, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (F, \ cdot)}$ al cărui nucleu este ciclic . Să presupunem, de asemenea, că pentru fiecare set de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente $(x_{1},...,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ liniar independent pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , extensia câmpurilor $Q(x_{1},...,x_{n},e(x_{1}),...,e(x_{n}))$ ${\ displaystyle Q (x_ {1}, ..., x_ {n}, e (x_ {1}), ..., e (x_ {n}))}$ ${\ displaystyle Q (x_ {1}, ..., x_ {n}, e (x_ {1}), ..., e (x_ {n}))}$ are cel puțin un grad de transcendență $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . Apoi, în astfel de condiții, există un omomorfism de câmp $h:F\rightarrow C$ ${\ displaystyle h: F \ rightarrow C}$ ${\ displaystyle h: F \ rightarrow C}$ astfel încât $h(e(x))=e^{h(x)}$ ${\ displaystyle h (e (x)) = e ^ {h (x)}}$ ${\ displaystyle h (e (x)) = e ^ {h (x)}}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .