Distribuția Kumaraswamy

În teoria probabilității , distribuția Kumaraswamy este o distribuție continuă a probabilității , definită pe intervalul [0,1] și dependentă de doi parametri. Este similar cu variabila aleatorie beta , dar este mai ușor de utilizat datorită expresiilor închise simple ale funcției densității probabilității și frecvenței cumulative . Poartă numele lui Poondi Kumaraswamy, care a descris-o prima dată. ^[1]

Funcția densității probabilității variabilei aleatoare Kumaraswamy pentru unele valori ale parametrilor.

Comparație între variabilele aleatoare beta și Kumaraswamy pentru alegerea parametrilor.

Caracteristici

Funcția densității probabilității este definită de

f(x|a;b)=abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}

{\ displaystyle f (x | a; b) = abx ^ {a-1} (1-x ^ {a}) ^ {b-1}}

{\ displaystyle f (x | a; b) = abx ^ {a-1} (1-x ^ {a}) ^ {b-1}}

, unde a și b sunt cei doi parametri și

x\in [0,1]

{\ displaystyle x \ in [0,1]}

{\ displaystyle x \ in [0,1]}

se obține astfel că cumulativ este

F(x|a;b)=[1-(1-x^{a})^{b}]

{\ displaystyle F (x | a; b) = [1- (1-x ^ {a}) ^ {b}]}

{\ displaystyle F (x | a; b) = [1- (1-x ^ {a}) ^ {b}]}

iar valoarea scontată devine

\mu ={\frac {b\Gamma (1+1/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+1/a+b)}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {b \ Gamma (1 + 1 / a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (1 + 1 / a + b)}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {b \ Gamma (1 + 1 / a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (1 + 1 / a + b)}}}

în timp ce mediana este

\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{1/b}\right)^{1/a}

{\ displaystyle \ left (1- \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {1 / b} \ right) ^ {1 / a}}

{\ displaystyle \ left (1- \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {1 / b} \ right) ^ {1 / a}}

și modă

\left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a-1} {ab-1}} \ right) ^ {1 / a}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a-1} {ab-1}} \ right) ^ {1 / a}.}

Momentele de ordine n pot fi calculate cu

m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b).

{\ displaystyle m_ {n} = {\ frac {b \ Gamma (1 + n / a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (1 + b + n / a)}} = bB (1 + n / a , b).}

{\ displaystyle m_ {n} = {\ frac {b \ Gamma (1 + n / a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (1 + b + n / a)}} = bB (1 + n / a , b).}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt respectiv funcția gamma și funcția beta Euler .

Relația cu alte distribuții

De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1,1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1,1) \,}$ asa de $X\sim U(0,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim U (0,1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim U (0,1) \,}$
De sine $X\sim U(0,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim U (0,1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim U (0,1) \,}$ ( distribuție continuă uniformă ) atunci ${\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$ ${\ displaystyle {\ left (1 - {\ left (1-X \ right)} ^ {\ tfrac {1} {b}} \ right)} ^ {\ tfrac {1} {a}} \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, b) \,}$ ${\ displaystyle {\ left (1 - {\ left (1-X \ right)} ^ {\ tfrac {1} {b}} \ right)} ^ {\ tfrac {1} {a}} \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, b) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Beta}} (1, b) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Beta}} (1, b) \,}$ ( variabila beta aleatorie ) atunci $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, b) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, b) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Beta}} (a, 1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Beta}} (a, 1) \,}$ ( variabila beta aleatorie ) atunci $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ asa de $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$ ${\ displaystyle (1-X) \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, a) \,}$ ${\ displaystyle (1-X) \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, a) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, a) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, a) \,}$ asa de $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ ${\ displaystyle (1-X) \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ ${\ displaystyle (1-X) \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) \,}$ asa de $-ln(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,$ ${\ displaystyle -ln (X) \ sim {\ textrm {Exponential}} (a) \,}$ ${\ displaystyle -ln (X) \ sim {\ textrm {Exponential}} (a) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, b) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (1, b) \,}$ asa de $-ln(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,$ ${\ displaystyle -ln (1-X) \ sim {\ textrm {Exponential}} (b) \,}$ ${\ displaystyle -ln (1-X) \ sim {\ textrm {Exponential}} (b) \,}$
De sine $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, b) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Kumaraswamy}} (a, b) \,}$ asa de $X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {GB1}} (a, 1,1, b) \,}$ ${\ displaystyle X \ sim {\ textrm {GB1}} (a, 1,1, b) \,}$ , distribuția beta generalizată de prim ordin.

Implementări software

În R prin pachetul extraDistr sunt disponibile următoarele funcții ^[2]

 dkumar (x, a = 1, b = 1, log = FALS)
pkumar (q, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qkumar (p, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rkumar (n, a = 1, b = 1)

densitatea , probabilitatea , funcția cuantilă și respectiv generatorul de numere aleatorii .

Bibliografie

Kumaraswamy, P., O funcție de densitate a probabilității generalizată pentru procese aleatoare dublate , în Journal of Hydrology , vol. 46, nr. 1-2, 1980, pp. 79–88, DOI : 10.1016 / 0022-1694 (80) 90036-0 .
Fletcher, SG și Ponnambalam, K., Estimarea randamentului rezervorului și distribuția stocării utilizând analiza momentelor , în Journal of Hydrology , vol. 182, nr. 1-4, 1996, pp. 259-275, DOI : 10.1016 / 0022-1694 (95) 02946-X .
Jones, MC, distribuția lui Kumaraswamy: O distribuție de tip beta cu unele avantaje de tractabilitate , în Metodologia statistică , vol. 6, nr. 1, 2009, pp. 70–81, DOI : 10.1016 / j.stamet.2008.04.001 .
Lemonte, AJ, Estimare punctuală îmbunătățită pentru distribuția Kumaraswamy , în Journal of Statistical Computation and Simulation , vol. 81, nr. 12, 2011, pp. 1971–1982, DOI : 10.1080 / 00949655.2010.511621 .

^ "O funcție de densitate a probabilității generalizată pentru procese aleatoare dublate". Jurnalul de hidrologie, 1980
^ https://cran.r-project.org/web/packages/extraDistr/

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] "O funcție de densitate a probabilității generalizată pentru procese aleatoare dublate". Jurnalul de hidrologie, 1980

[2] ttps://cran.r-project.org/web/packages/extraDistr/

[1]

[2]