Etaje

În matematică și inginerie , planul s este planul complex pe care sunt definite transformările Laplace . Reprezintă un set în care, în loc să vadă procesele domeniului timp modelate cu funcții bazate pe timp, sunt văzute ca ecuații domeniu frecvență . Este folosit ca instrument de analiză grafică în inginerie și fizică.

O funcție reală $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ vreme $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ se transformă într-o funcție pe planul s considerând integralul

F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,

{\ displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt,}

{\ displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt,}

unde s este un număr complex în formă $s=\sigma +i\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ ${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ . Această transformare din domeniul t în domeniul s este cunoscută sub numele de transformată Laplace și funcția $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ se numește transformata Laplace a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Transformata Laplace este analogă procesului de analiză Fourier ; de fapt, seria Fourier este un caz particular al transformatei Laplace. În analiza Fourier , în expresia semnalului undele sinusoidale și cosinus corespunzătoare armonicilor sunt înmulțite cu coeficienții seriei, care sunt obținuți printr-o integrare corespunzătoare care oferă indicația semnalului prezent la frecvența considerată (adică puterea semnalului într-un punct din domeniul frecvenței). Transformarea Laplace face același lucru, dar mai general. Termenul $e^{-st}$ ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ nu numai că ia în considerare răspunsul în frecvență prin intermediul componentei sale imaginare $e^{-i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$ , dar ia în considerare și efectele de atenuare prin componenta sa reală $e^{-\sigma t}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ sigma t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ sigma t}}$ . De exemplu, o undă sinusoidală amortizată poate fi modelată corect folosind transformata Laplace.

O funcție în planul s poate fi transformată înapoi într-o funcție a timpului folosind transformata Laplace inversă :

f(t)={1 \over 2\pi i}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}F(s)e^{st}\,ds,

{\ displaystyle f (t) = {1 \ over 2 \ pi i} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} F (s) e ^ { st} \, ds,}

{\ displaystyle f (t) = {1 \ over 2 \ pi i} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} F (s) e ^ { st} \, ds,}

unde numărul real $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este ales în așa fel încât calea de integrare să fie în regiunea de convergență a $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ . Cu toate acestea, mai degrabă decât utilizarea acestei integrale dificile, majoritatea funcțiilor de interes sunt transformate folosind tabele de perechi de transformate Laplace și teorema reziduală a lui Cauchy .

Analiza rădăcinilor complexe ale unei ecuații în planul s și apoi graficarea acestora într-o diagramă Argand poate dezvălui informații despre răspunsul în frecvență și stabilitatea unui sistem în timp real. Acest proces se numește analiza site-ului rădăcină .

Elemente conexe

linkuri externe

Ilustrarea unei mapări de la planul s la planul z
Kevin Brown (2015) Laplace se transformă la Math Pages.

Portal de verificări automate

Portalul de matematică