Lagrangianul lui Darwin

Lagrangianul lui Darwin descrie interacțiunea cu ordinea ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ între două particule încărcate în vid. Își datorează numele lui Charles Galton Darwin , nepot al naturalistului Charles Darwin . Lagrangianul este dat de ^[1]

L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},

{\ displaystyle L = L _ {\ text {f}} + L _ {\ text {int}},}

{\ displaystyle L = L _ {\ text {f}} + L _ {\ text {int}},}

unde este particula liberă Lagrangiană

L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},

{\ displaystyle L _ {\ text {f}} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {1} v_ {1} ^ {4} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {2} v_ {2} ^ {4},}

{\ displaystyle L _ {\ text {f}} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {1} v_ {1} ^ {4} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {2} v_ {2} ^ {4},}

în timp ce interacțiunea Lagrangiană este

L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},

{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = L _ {\ text {C}} + L _ {\ text {D}},}

{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = L _ {\ text {C}} + L _ {\ text {D}},}

unde este interacțiunea Coulomb

L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},

{\ displaystyle L _ {\ text {C}} = - {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}},}

{\ displaystyle L _ {\ text {C}} = - {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}},}

iar interacțiunea lui Darwin este

L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.

{\ displaystyle L _ {\ text {D}} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}} {\ frac {1} {2c ^ {2}}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}.}

{\ displaystyle L _ {\ text {D}} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}} {\ frac {1} {2c ^ {2}}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}.}

În formule $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ $q_ {1}$ Și $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ $q_ {2}$ sarcinile particulelor 1 și respectiv 2, $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ sunt masele, $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ Și $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ viteze, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii , $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ este vectorul dintre cele două particule cu ${\hat {\mathbf {r} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ vectorul unitate relativ.

Lagrangianul liber este expansiunea Taylor a Lagrangianului liber a două particule relativiste de ordinul doi în $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ . Termenul de interacțiune al lui Darwin se datorează efectului asupra unei particule a câmpului magnetic generat de cealaltă. Dacă includeți comenzi mai mari de $v/c$ ${\ displaystyle v / c}$ ${\ displaystyle v / c}$ , atunci trebuie luate în considerare și gradele de libertate ale câmpului, iar interacțiunea dintre particule nu mai poate fi considerată instantanee.

Derivarea Lagrangianului în vid

Lagrangianul relativist al interacțiunii pentru o particulă încărcată $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ interacțiunea cu un câmp magnetic este ^[2]

L_{\text{int}}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,

{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = - q \ Phi + {q \ over c} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A},}

{\ displaystyle L _ {\ text {int}} = - q \ Phi + {q \ over c} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A},}

unde este $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ este viteza relativistă a particulei. Primul termen din dreapta generează interacțiunea clasică Coulomb, în timp ce al doilea dă naștere interacțiunii Darwin.

Potențialul vectorial în gabaritul Coulomb este descris de ^[3] (unități gaussiene)

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}=-{4\pi  \over c}\mathbf {J} _{t}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - { 4 \ pi \ over c} \ mathbf {J} _ {t}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - { 4 \ pi \ over c} \ mathbf {J} _ {t}}

unde curentul transversal $\mathbf {J} _{t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t}}$ este curentul solenoidal (vezi descompunerea Helmholtz ) generat de a doua particulă. Divergența curentului transversal este zero.

Curentul generat de a doua particulă este

\mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),

{\ displaystyle \ mathbf {J} = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ delta \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} \ right),}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ delta \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} \ right),}

care are transformată Fourier

\mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).

{\ displaystyle \ mathbf {J} \ left (\ mathbf {k} \ right) \ equiv \ int d ^ {3} r \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} \ right ) \ mathbf {J} \ left (\ mathbf {r} \ right) = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ mathbf {J} \ left (\ mathbf {k} \ right) \ equiv \ int d ^ {3} r \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} \ right ) \ mathbf {J} \ left (\ mathbf {r} \ right) = q_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ dreapta).}

Componenta transversală a curentului este

\mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right) = q_ {2} \ left [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ right).}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right) = q_ {2} \ left [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {2} \ right).}

Se întâmplă cu ușurință că

\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right) = 0,}

ceea ce trebuie să fie adevărat dacă divergența curentului transversal este zero. Vezi asta

\mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {t} \ left (\ mathbf {k} \ right)}

este componenta perpendiculară pe $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ a transformării fourier a curentului.

Din ecuația potențialului vectorial, transformata lui Fourier este

\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi  \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {k} \ right) = {4 \ pi \ over c} {q_ {2} \ over k ^ {2}} \ left [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r } _ {2} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {k} \ right) = {4 \ pi \ over c} {q_ {2} \ over k ^ {2}} \ left [\ mathbf {1} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ exp \ left (-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r } _ {2} \ dreapta)}

unde s-a ținut ordinul minor $v/c$ ${\ displaystyle v / c}$ ${\ displaystyle v / c}$ .

Transformarea inversă a potențialului vectorial este

\mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} \ right) = \ int {d ^ {3} k \ over \ left (2 \ pi \ right) ^ {3}} \; \ mathbf { A} \ left (\ mathbf {k} \ right) \; {\ exp \ left (i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} \ right)} = {q_ {2} \ over 2c} {1 \ over r} \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} \ right) = \ int {d ^ {3} k \ over \ left (2 \ pi \ right) ^ {3}} \; \ mathbf { A} \ left (\ mathbf {k} \ right) \; {\ exp \ left (i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} \ right)} = {q_ {2} \ over 2c} {1 \ over r} \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}

unde este

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}

Prin urmare, termenul de interacțiune al lui Darwin în lagrangian este

$L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}$ ${\ displaystyle L _ {\ rm {D}} = {q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [ \ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$ ${\ displaystyle L _ {\ rm {D}} = {q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [ \ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$

unde încă a fost ținut doar ordinul minor $v/c$ ${\ displaystyle v / c}$ ${\ displaystyle v / c}$ .

Ecuații lagrangiene de mișcare

Ecuațiile mișcării unei particule sunt

{d \over dt}{\partial  \over \partial \mathbf {v} _{1}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)

{\ displaystyle {d \ over dt} {\ partial \ over \ partial \ mathbf {v} _ {1}} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ dreapta) = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ right)}

{\ displaystyle {d \ over dt} {\ partial \ over \ partial \ mathbf {v} _ {1}} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ dreapta) = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ right)}

{d\mathbf {p} _{1} \over dt}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)

{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ right )}}

{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = \ nabla _ {1} L \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ right )}}

unde este $\mathbf {p} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}$ este impulsul particulei.

Particulă liberă

Dacă interacțiunile dintre cele două particule sunt neglijate, ecuația mișcării devine

{d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0

{\ displaystyle {d \ over dt} \ left [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} \ right] = 0}

{\ displaystyle {d \ over dt} \ left [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} \ right] = 0}

\mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1}}

Particulele care interacționează

Pentru particulele care interacționează, ecuația mișcării devine

{d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]

{\ displaystyle {d \ over dt} \ left [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right) \ right] = - \ nabla {q_ {1} q_ { 2} \ over r} + \ nabla \ left [{q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ right]}

{\ displaystyle {d \ over dt} \ left [\ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf { v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right) \ right] = - \ nabla {q_ {1} q_ { 2} \ over r} + \ nabla \ left [{q_ {1} q_ {2} \ over r} {1 \ over 2c ^ {2}} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ right]}

${d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}$ ${\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {1 \ over 2c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {v} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r }}} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}} \ right) + \ mathbf {v} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {v} _ {1}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right) \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ right] \ right \}}$ ${\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {1 \ over 2c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {v} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r }}} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}} \ right) + \ mathbf {v} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {v} _ {1}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right) \ cdot \ mathbf {v} _ {2} \ right] \ right \}}$

\mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = \ left (1+ {1 \ over 2} {v_ {1} ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right) m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + {q_ {1} \ over c} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right)}

\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right) = {q_ {2} \ over 2c} {1 \ over r} \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ right) = {q_ {2} \ over 2c} {1 \ over r} \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}

Hamiltonian pentru două particule în vid

Hamiltonianul lui Darwin pentru două particule în vid este conectat la Lagrangian printr-o transformată Legendre

H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.

{\ displaystyle H = \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \ cdot \ mathbf {v} _ {2} -L.}

{\ displaystyle H = \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \ cdot \ mathbf {v} _ {2} -L.}

Hamiltonianul devine

$H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{1 \over 4}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){p_{1}^{2} \over 2m_{1}}\;+\;\left(1-{1 \over 4}{p_{2}^{2} \over m_{2}^{2}c^{2}}\right){p_{2}^{2} \over 2m_{2}}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r}\;-\;{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.$ ${\ displaystyle H \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2} \ right) = \ left (1- {1 \ over 4} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ right) {p_ {1} ^ {2} \ over 2m_ {1}} \; + \; \ left (1- {1 \ peste 4} {p_ {2} ^ {2} \ peste m_ {2} ^ {2} c ^ {2}} \ dreapta) { p_ {2} ^ {2} \ over 2m_ {2}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ over r} \; - \; {q_ {1} q_ {2} \ over r } {1 \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}.}$ ${\ displaystyle H \ left (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2} \ right) = \ left (1- {1 \ over 4} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ right) {p_ {1} ^ {2} \ over 2m_ {1}} \; + \; \ left (1- {1 \ peste 4} {p_ {2} ^ {2} \ peste m_ {2} ^ {2} c ^ {2}} \ dreapta) { p_ {2} ^ {2} \ over 2m_ {2}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ over r} \; - \; {q_ {1} q_ {2} \ over r } {1 \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}.}$

Ecuații de mișcare hamiltoniene

Ecuațiile hamiltoniene ale mișcării sunt

\mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ partial H \ over \ partial \ mathbf {p} _ {1}}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ partial H \ over \ partial \ mathbf {p} _ {1}}}

Și

{d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H,

{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = - \ nabla _ {1} H,}

{\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = - \ nabla _ {1} H,}

care duc la

\mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ left (1- {1 \ over 2} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ dreapta) {\ mathbf {p} _ {1} \ over m_ {1}} - {q_ {1} q_ {2} \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} {1 \ over r } \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ left (1- {1 \ over 2} {p_ {1} ^ {2} \ over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} \ dreapta) {\ mathbf {p} _ {1} \ over m_ {1}} - {q_ {1} q_ {2} \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} {1 \ over r } \ left [\ mathbf {1} + \ mathbf {\ hat {r}} \ mathbf {\ hat {r}} \ right] \ cdot \ mathbf {p} _ {2}}

Și

${d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}$ ${\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {1 \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {p} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {2}} \ right) + \ mathbf {p} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {1}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right) \ cdot \ mathbf {p} _ {2} \ right] \ right \}}$ ${\ displaystyle {d \ mathbf {p} _ {1} \ over dt} = {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \; + \; {q_ {1} q_ {2} \ over r ^ {2}} {1 \ over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} \ left \ {\ mathbf {p} _ {1} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {2}} \ right) + \ mathbf {p} _ {2} \ left ({{\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p} _ {1}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {r}}} \ left [\ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {1} +3 {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right) \ cdot \ mathbf {p} _ {2} \ right] \ right \}}$

Rețineți că ecuația Breit a mecanicii cuantice a folosit inițial Hamiltonianul lui Darwin ca punct de plecare clasic, deși ecuația Breit a fost cel mai bine justificată de teoria absorbantului-emițător Wheeler-Feynman și cel mai bine de electrodinamica cuantică .

Notă

^ Jackson, John D., Electrodynamics Classical (ed. A 3-a) , Wiley, 1998, pp. 596-598, ISBN 047130932X .
^ Jackson, pp. 580-581.
^ Jackson, p. 242.

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Jackson, John D., Electrodynamics Classical (ed. A 3-a) , Wiley, 1998, pp. 596-598, ISBN 047130932X .

[2] Jackson, pp. 580-581.

[3] Jackson, p. 242.

[1]

[2]

[3]