Metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( FLRW ) este o soluție exactă a ecuației de relativitate generală a câmpului Einstein ; descrie un univers omogen, izotrop , în expansiune (sau contractant) care este conectat , dar nu neapărat pur și simplu conectat . ^[1] ^[2] Forma generală a metricei rezultă din proprietățile geometrice ale omogenității și izotropiei; Ecuațiile de câmp ale lui Einstein sunt necesare numai pentru a obține factorul de scară al universului în funcție de timp. Metrica poartă numele celor patru oameni de știință Aleksandr Fridman , Georges Lemaître , Howard Percy Robertson și Arthur Geoffrey Walker; în funcție de preferințele istorice sau geografice, se utilizează Friedmann sau Friedmann - Robertson - Walker ( FRW ) sau Robertson - Walker ( RW ) sau Friedmann - Lemaître ( FL ). Acest model este uneori numit modelul standard al cosmologiei moderne, ^[3] deși acesta este și un nume alternativ pentru modelul Lambda-CDM . Modelul FLRW a fost dezvoltat independent de autorii menționați anterior între anii 1920 și 1930.

Valori generale

Metrica FLRW pleacă de la asumarea omogenității și izotropiei spațiului. De asemenea, se presupune că componenta spațială a metricei poate fi dependentă de timp. Metrica generică care îndeplinește aceste condiții este

-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}

{\ displaystyle -c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + {a (t)} ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2}}

{\ displaystyle -c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + {a (t)} ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2}}

unde este $\mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$ se extinde pe un spațiu tridimensional de curbură uniformă, adică spațiu eliptic , spațiu euclidian sau spațiu hiperbolic . În mod normal, este scris în funcție de trei coordonate spațiale, dar există mai multe convenții pentru a face acest lucru, detaliate mai jos. $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ nu depinde de t - toată dependența de timp este în funcția a ( t ), cunoscut sub numele de „ factor de scară ”.

Coordonate polare cu circumferință redusă

În coordonatele polare cu o circumferință redusă, metrica spațială are forma

\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{dove }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}, \ quad {\ text {unde}} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2} = \ mathrm {d} \ theta ^ { 2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}, \ quad {\ text {unde}} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2} = \ mathrm {d} \ theta ^ { 2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}.}

k este o constantă care reprezintă curbura spațiului. Există două convenții comune de unitate:

k se poate presupune că are unități de lungime ^-2 , caz în care r are unități de lungime și a ( t ) este fără unități. k este deci curbura gaussiană a spațiului când a ( t ) = 1. r este uneori numită circumferință redusă deoarece este egală cu circumferința măsurată a unui cerc (la acea valoare a lui r ), centrată la origine, împărțită la 2 π (ca și r al coordonatelor Schwarzschild). Atunci când este cazul, a ( t ) este adesea ales ca 1 în era cosmologică actuală, prin urmare $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ măsoară distanța de mișcare .
Alternativ, se poate presupune că k aparține setului {-1,0, + 1} (respectiv pentru curbura negativă, zero și pozitivă). Atunci r este fără unitate și a ( t ) are unități de lungime. Când k = ± 1, a ( t ) este raza de curbură a spațiului și poate fi scrisă și R ( t ).

Un dezavantaj al coordonatelor mici de circumferință este că acestea acoperă doar jumătate din cele 3 sfere în caz de curbură pozitivă: circumferințele dincolo de acel punct încep să scadă, ducând la degenerare. (Aceasta nu este o problemă dacă spațiul este eliptic , adică o 3-sferă cu puncte opuse identificate.)

Coordonate hipersferice

În coordonatele normalizate hipersferice sau de curbură , coordonata r este proporțională cu distanța radială; da ai

\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + S_ {k} (r) ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + S_ {k} (r) ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}}

unde este $\mathrm {d} \mathbf {\Omega }$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega}}$ este ca înainte și

S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}

{\ displaystyle S_ {k} (r) = {\ begin {cases} {\ sqrt {k}} ^ {\, - 1} \ sin (r {\ sqrt {k}}), & k> 0 \\ r, & k = 0 \\ {\ sqrt {| k |}} ^ {\, - 1} \ sinh (r {\ sqrt {| k |}}), & k <0. \ end {cases}} }

{\ displaystyle S_ {k} (r) = {\ begin {cases} {\ sqrt {k}} ^ {\, - 1} \ sin (r {\ sqrt {k}}), & k> 0 \\ r, & k = 0 \\ {\ sqrt {| k |}} ^ {\, - 1} \ sinh (r {\ sqrt {| k |}}), & k <0. \ end {cases}} }

Ca și înainte, există două convenții comune ale unității:

k se poate presupune că are unități de lungime ^-2 , caz în care r are unități de lungime și a ( t ) este fără unități. k este deci curbura gaussiană ^{[ neclar ]} a spațiului în momentul în care a ( t ) = 1. După caz, a ( t ) este adesea ales ca 1 în era cosmologică actuală, deci $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$ măsoară distanța de mișcare .
Alternativ, ca înainte, k poate fi considerat ca aparținând mulțimii {-1,0, + 1} (respectiv pentru curbura negativă, zero și pozitivă). Atunci r este fără unitate și a ( t ) are unități de lungime. Când k = ± 1, a ( t ) este raza de curbură a spațiului și poate fi scrisă și R ( t ). Rețineți că atunci când k = +1, r este în esență un al treilea unghi împreună cu θ și φ . Litera χ poate fi folosită în locul lui r .

Deși este de obicei definit în bucăți ca mai sus, S este o funcție analitică atât a lui k cât și a lui r . Poate fi scris și ca o serie de puteri

S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots

{\ displaystyle S_ {k} (r) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} k ^ {n} r ^ {2n + 1}} { (2n + 1)!}} = R - {\ frac {kr ^ {3}} {6}} + {\ frac {k ^ {2} r ^ {5}} {120}} - \ cdots}

{\ displaystyle S_ {k} (r) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} k ^ {n} r ^ {2n + 1}} { (2n + 1)!}} = R - {\ frac {kr ^ {3}} {6}} + {\ frac {k ^ {2} r ^ {5}} {120}} - \ cdots}

sau cum

S_{k}(r)=r\operatorname {sinc} (r{\sqrt {k}}),

{\ displaystyle S_ {k} (r) = r \ operatorname {sinc} (r {\ sqrt {k}}),}

{\ displaystyle S_ {k} (r) = r \ operatorname {sinc} (r {\ sqrt {k}}),}

unde sinc este funcția sinc non-normalizată și ${\sqrt {k}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k}}}$ este una dintre rădăcinile pătrate imaginare, zero sau reale ale lui k . Aceste definiții se aplică tuturor fișierelor k .

Coordonatele carteziene

Când k = 0 poate fi scris simplu

\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2 }.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2 }.}

Acest lucru poate fi extins la k ≠ 0 prin definirea

x=r\cos \theta \,

{\ displaystyle x = r \ cos \ theta \,}

{\ displaystyle x = r \ cos \ theta \,}

,

y=r\sin \theta \cos \phi \,

{\ displaystyle y = r \ sin \ theta \ cos \ phi \,}

{\ displaystyle y = r \ sin \ theta \ cos \ phi \,}

, Și

z=r\sin \theta \sin \phi \,

{\ displaystyle z = r \ sin \ theta \ sin \ phi \,}

{\ displaystyle z = r \ sin \ theta \ sin \ phi \,}

,

unde r este una dintre coordonatele radiale definite mai sus, dar acest lucru este rar.

Curbură

Coordonatele carteziene

În spațiul plat FLRW $(k=0)$ ${\ displaystyle (k = 0)}$ ${\ displaystyle (k = 0)}$ folosind coordonatele carteziene, componentele nenule ale tensorului Ricci sunt ^[4]

R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})

{\ displaystyle R_ {tt} = - 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}}, \ quad R_ {xx} = R_ {yy} = R_ {zz} = c ^ {- 2} (a {\ ddot {a}} + 2 {\ dot {a}} ^ {2})}

{\ displaystyle R_ {tt} = - 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}}, \ quad R_ {xx} = R_ {yy} = R_ {zz} = c ^ {- 2} (a {\ ddot {a}} + 2 {\ dot {a}} ^ {2})}

iar urcarea lui Ricci este

R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).

{\ displaystyle R = 6c ^ {- 2} \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {a (t)}} + {\ frac {{\ dot {a}} ^ { 2} (t)} {a ^ {2} (t)}} \ dreapta).}

{\ displaystyle R = 6c ^ {- 2} \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {a (t)}} + {\ frac {{\ dot {a}} ^ { 2} (t)} {a ^ {2} (t)}} \ dreapta).}

Coordonate sferice

În spațiul FLRW mai general care folosește coordonate sferice (numite mai sus „coordonate polare cu circumferință redusă”), componentele nenule ale tensorului Ricci sunt ^[5]

R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},

{\ displaystyle R_ {tt} = - 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}},}

{\ displaystyle R_ {tt} = - 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}},}

R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}

{\ displaystyle R_ {rr} = {\ frac {c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ {2} (t)) + 2k} {1-kr ^ {2}}}}

{\ displaystyle R_ {rr} = {\ frac {c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ {2} (t)) + 2k} {1-kr ^ {2}}}}

R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)

{\ displaystyle R _ {\ theta \ theta} = r ^ {2} (c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ { 2} (t)) + 2k)}

{\ displaystyle R _ {\ theta \ theta} = r ^ {2} (c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ { 2} (t)) + 2k)}

R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )

{\ displaystyle R _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} (c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ { 2} (t)) + 2k) \ sin ^ {2} (\ theta)}

{\ displaystyle R _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} (c ^ {- 2} (a (t) {\ ddot {a}} (t) +2 {\ dot {a}} ^ { 2} (t)) + 2k) \ sin ^ {2} (\ theta)}

iar urcarea lui Ricci este

R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).

{\ displaystyle R = 6 \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {c ^ {2} a (t)}} + {\ frac {{\ dot {a}} ^ { 2} (t)} {c ^ {2} a ^ {2} (t)}} + {\ frac {k} {a ^ {2} (t)}} \ right).}

{\ displaystyle R = 6 \ left ({\ frac {{\ ddot {a}} (t)} {c ^ {2} a (t)}} + {\ frac {{\ dot {a}} ^ { 2} (t)} {c ^ {2} a ^ {2} (t)}} + {\ frac {k} {a ^ {2} (t)}} \ right).}

Soluții

Același subiect în detaliu: ecuațiile Friedmann .

Ecuațiile de câmp ale lui Einstein nu sunt folosite pentru a obține forma generală a metricei, care în schimb rezultă exclusiv din proprietățile geometrice ale omogenității și izotropiei. Cu toate acestea, pentru a determina evoluția în timp a $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ trebuie să aplicați ecuațiile de câmp ale lui Einstein împreună cu un mod de a calcula densitatea, $\rho (t),$ ${\ displaystyle \ rho (t),}$ ${\ displaystyle \ rho (t),}$ ca o ecuație de stare cosmologică .

Când tensorul energetic de impuls este presupus a fi omogen și izotrop, această metrică are o soluție analitică la ecuațiile câmpului lui Einstein

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$

dând ecuațiile Friedmann . Ecuațiile rezultate sunt: ^[6]

\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}p.

{\ displaystyle 2 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} + \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} - \ Lambda c ^ {2} = - {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {2}}} p.}

{\ displaystyle 2 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} + \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} - \ Lambda c ^ {2} = - {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {2}}} p.}

Aceste ecuații stau la baza modelului cosmologic standard al Big Bang-ului care include modelul actual Lambda-CDM . ^[7] Întrucât modelul FLRW își asumă omogenitatea, unele relatări populare susțin în mod eronat că modelul Big Bang nu poate explica „greutățile” observate ale universului. Într-un model strict FLRW, nu există grupuri de galaxii , stele sau oameni, deoarece acestea sunt obiecte mult mai dense decât o parte tipică a universului. Cu toate acestea, modelul FLRW este utilizat ca o primă aproximare pentru evoluția universului real, deoarece este simplu de calculat, iar modelele FLRW sunt adăugate la extensia modelelor FLRW. Majoritatea cosmologilor sunt de acord că universul observabil este bine aproximat de un model aproape de FLRW , adică un model care urmează metrica FLRW în afară de fluctuațiile densității primordiale. Începând cu 2003, implicațiile teoretice ale diferitelor extensii ale modelului FLRW par a fi bine înțelese și scopul este de a le face coerente cu observațiile COBE și WMAP .

Interpretare

Perechea de ecuații dată mai sus este echivalentă cu următoarea pereche de ecuații

{\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = - 3 {\ frac {\ dot {a}} {a}} \ left (\ rho + {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ right )}}

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = - 3 {\ frac {\ dot {a}} {a}} \ left (\ rho + {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ right )}}

{\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ right) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ right) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}

cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , indicele de curbură spațială, care servește drept constantă de integrare pentru prima ecuație.

Prima ecuație poate fi, de asemenea, derivată din considerații termodinamice și este echivalentă cu prima lege a termodinamicii , presupunând că expansiunea universului este un proces adiabatic (care este implicit asumat în derivarea metricei Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker) .

A doua ecuație afirmă că atât densitatea energetică, cât și presiunea determină scăderea ratei de expansiune a universului ${\dot {a}}$ ${\ displaystyle {\ dot {a}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {a}}}$ , adică amândoi provoacă o decelerare în expansiunea universului. Aceasta este o consecință a gravitației , presiunea jucând un rol similar cu cel al densității (sau masei) energiei, conform principiilor relativității generale . Constanta cosmologică , pe de altă parte, determină o accelerare a expansiunii universului.

Constanta cosmologică

Termenul constant cosmologic poate fi omis dacă se fac următoarele substituții

\rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}

{\ displaystyle \ rho \ rightarrow \ rho + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle \ rho \ rightarrow \ rho + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}

p\rightarrow p-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}.

{\ displaystyle p \ rightarrow p - {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}.}

{\ displaystyle p \ rightarrow p - {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}.}

Prin urmare, constanta cosmologică poate fi interpretată ca rezultând dintr-o formă de energie care are o presiune negativă, egală în mărime cu densitatea sa de energie (pozitivă):

p=-\rho c^{2}.\,

{\ displaystyle p = - \ rho c ^ {2}. \,}

{\ displaystyle p = - \ rho c ^ {2}. \,}

Această formă de energie, care generalizează noțiunea de constantă cosmologică, este cunoscută sub numele de energie întunecată .

De fapt, pentru a obține un termen care determină o accelerare a expansiunii universului, este suficient să ai un câmp scalar care să satisfacă

p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.\,

{\ displaystyle p <- {\ frac {\ rho c ^ {2}} {3}}. \,}

{\ displaystyle p <- {\ frac {\ rho c ^ {2}} {3}}. \,}

Un astfel de câmp se numește uneori chintesență .

Interpretare newtoniană

Această interpretare se datorează lui McCrea și Milne, ^[8] deși uneori este atribuită în mod eronat lui Friedmann. Ecuațiile lui Friedmann sunt echivalente cu această pereche de ecuații:

-a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,

{\ displaystyle -a ^ {3} {\ dot {\ rho}} = 3a ^ {2} {\ dot {a}} \ rho + {\ frac {3a ^ {2} p {\ dot {a}} } {c ^ {2}}} \,}

{\ displaystyle -a ^ {3} {\ dot {\ rho}} = 3a ^ {2} {\ dot {a}} \ rho + {\ frac {3a ^ {2} p {\ dot {a}} } {c ^ {2}}} \,}

{\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {G{\frac {4\pi a^{3}}{3}}\rho }{a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {2}} - {\ frac {G {\ frac {4 \ pi a ^ {3}} {3}} \ rho} { a}} = - {\ frac {kc ^ {2}} {2}} \,.}

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {2}} - {\ frac {G {\ frac {4 \ pi a ^ {3}} {3}} \ rho} { a}} = - {\ frac {kc ^ {2}} {2}} \,.}

Prima ecuație spune că scăderea masei conținută într-un cub fix (a cărui latură este momentan a ) este cantitatea care iese din laturi datorită expansiunii universului plus echivalentul masei muncii efectuate de presiunea împotriva materialul să fie ejectat. Aceasta este conservarea energiei de masă ( prima lege a termodinamicii ) conținută într-o parte a universului.

A doua ecuație spune că energia cinetică (privită de la origine) a unei particule de masă unitară care se deplasează odată cu expansiunea plus energia potențială gravitațională (negativă) a acesteia (relativă la masa conținută în sfera materiei cea mai apropiată de origine) este egală la o constantă legată de curbura universului. Cu alte cuvinte, energia (în raport cu originea) unei particule în mișcare în cădere liberă este conservată. Relativitatea generală adaugă pur și simplu o legătură între curbura spațială a universului și energia unei astfel de particule: energia totală pozitivă implică curbură negativă și energia negativă totală implică curbură pozitivă.

Se presupune că termenul constant cosmologic este tratat ca energie întunecată și apoi fuzionat în termeni de densitate și presiune.

În timpul epocii Planck , efectele cuantice nu pot fi trecute cu vederea, ceea ce ar putea provoca o abatere de la ecuațiile lui Friedmann.

Numele și istoria

Matematicianul sovietic Aleksandr Aleksandrovič Fridman a obținut pentru prima dată principalele rezultate ale modelului FLRW în 1922 și 1924. ^[9] ^[10] Deși prestigioasa revistă de fizică Zeitschrift für Physik și-a publicat lucrarea, a rămas relativ neobservată de contemporanii săi. Friedmann a fost în comunicare directă cu Albert Einstein , care, în numele Zeitschrift für Physik , a servit ca arbitru științific al lucrării lui Friedmann. În cele din urmă, Einstein a recunoscut corectitudinea calculelor lui Friedmann, dar nu a reușit să aprecieze semnificația fizică a predicțiilor sale.

Friedmann a murit în 1925. În 1927, Georges Lemaître , preot, astronom și profesor belgian de fizică la Universitatea Catolică din Louvain , a ajuns independent la rezultate similare cu cele ale lui Friedmann și le-a publicat în Annales de la Société Scientifique de Bruxelles („Annali al Societății Științifice din Bruxelles "). ^[11] ^{[12] În} fața dovezilor observaționale pentru expansiunea universului obținute de Edwin Hubble la sfârșitul anilor 1920, rezultatele lui Lemaître au fost remarcate în special de Arthur Eddington , iar în 1930-1931 articolul lui Lemaître a fost tradus în engleză și publicat în Notificări lunare ale Royal Astronomical Society .

Americanul Howard Percy Robertson și britanicul Arthur Geoffrey Walker au explorat problema în continuare în anii 1930. ^[13] ^[14] ^[15] ^[16] În 1935 Robertson și Walker au demonstrat cu rigurozitate că metrica FLRW este singura pe un spațiu-timp spațial omogen și izotrop (așa cum sa menționat mai sus, acesta este un rezultat geometric și nu este legat în mod specific de ecuații ale relativității generale, care au fost întotdeauna asumate de Friedmann și Lemaître).

Această soluție, denumită adesea metrica Robertson-Walker deoarece și-au demonstrat proprietățile generice, este diferită de modelele dinamice „Friedmann-Lemaître”, care sunt soluții specifice pentru a ( t ) care presupun că singurele contribuții la impulsul energetic sunt materie rece („praf”), radiații și o constantă cosmologică.

Raza universului lui Einstein

Raza universului lui Einstein este raza de curbură a spațiului universului lui Einstein, un model static abandonat de mult, care trebuia să reprezinte universul nostru într-o formă idealizată. Punând

{\dot {a}}={\ddot {a}}=0

{\ displaystyle {\ dot {a}} = {\ ddot {a}} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {a}} = {\ ddot {a}} = 0}

în ecuația Friedmann, raza de curbură a spațiului acestui univers (raza Einstein) este

R_{E}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }}

{\ displaystyle R_ {E} = c / {\ sqrt {4 \ pi G \ rho}}}

{\ displaystyle R_ {E} = c / {\ sqrt {4 \ pi G \ rho}}}

,

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii, $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta gravitației universale , e $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea spațiului acestui univers. Valoarea numerică a razei lui Einstein este de ordinul a 10 ¹⁰ ani lumină .

Dovezi experimentale

Prin combinarea datelor de observație din unele experimente, cum ar fi WMAP și Planck Surveyor, cu rezultatele teoretice ale teoremei Ehlers-Geren-Sachs și generalizarea acesteia, ^[17] Astrofizicienii sunt acum de acord că universul este aproape omogen și izotrop (dacă este evaluat pe un mediu foarte mare scară) și, prin urmare, aproape un spațiu-timp FLRW.

Notă

^ Topologie cosmică , vol. 254, Bibcode : 1995PhR ... 254..135L , DOI : 10.1016 / 0370-1573 (94) 00085-H , arXiv : gr-qc / 9605010 .
^ Cosmologie teoretică și observațională , vol. 541, ISBN 978-0792359463 .
^ L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics , ediția a II-a, ISBN 978-3-540-32924-4 .
^ Robert Wald, Relativitatea generală , p. 97.
^ Cosmologie ( PDF ), pe icc.ub.edu . Adus la 19 mai 2021 (arhivat din original la 11 ianuarie 2020) .
^ P. Ojeda și H. Rosu, Supersimetria cosmologiilor barotrope FRW , vol. 45, Bibcode : 2006IJTP ... 45.1152R , DOI : 10.1007 / s10773-006-9123-2 , arXiv : gr-qc / 0510004 .
^ Soluțiile lor pot fi găsite în Haret C. Rosu, Stefan C. Mancas și Pisin Chen, cosmologii barotrope FRW cu amortizare Chiellini în timpul deplasării , în Modern Physics Letters A , vol. 30, n. 20, 5 mai 2015, p. 1550100, Bibcode : 2015MPLA ... 3050100R , DOI : 10.1142 / S021773231550100x , ISSN 0217-7323 ( WC ACNP ) , arXiv : 1502.07033 .
^ WH McCrea și EA Milne, Universele newtoniene și curbura spațiului , în Quarterly Journal of Mathematics , vol. 5, 1934, pp. 73-80, Bibcode : 1934QJMat ... 5 ... 73M , DOI : 10.1093 / qmath / os-5.1.73 .
^ Über die Krümmung des Raumes , vol. 10, Bibcode : 1922ZPhy ... 10..377F , DOI : 10.1007 / BF01332580 .
^ Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes , vol. 21, bibcode : 1924ZPhy ... 21..326F , DOI : 10.1007 / BF01328280 . Engleză trad. în „Relativitate generală și gravitație” 1999 vol. 31, 31–
^ Extinderea universului, Un univers omogen cu masă constantă și rază în creștere, care reprezintă viteza radială a nebuloaselor extra-galactice , vol. 91, Bibcode : 1931MNRAS..91..483L , DOI : 10.1093 / mnras / 91.5.483 . tradus din Un Univers homogène de masse constant et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques , A47, Bibcode : 1927ASSB ... 47 ... 49L .
^ L'Univers en expansion , A53, Bibcode : 1933ASSB ... 53 ... 51L .
^ Cinematică și structură mondială , vol. 82, Bibcode : 1935ApJ .... 82..284R , DOI : 10.1086 / 143681 .
^ Cinematică și structură mondială II. , vol. 83, Bibcode : 1936ApJ .... 83..187R , DOI : 10.1086 / 143716 .
^ Cinematică și structură mondială III. , vol. 83, Bibcode : 1936ApJ .... 83..257R , DOI : 10.1086 / 143726 .
^ Despre teoria lui Milne a structurii lumii , seria 2, vol. 42, Bibcode : 1937PLMS ... 42 ... 90W , DOI : 10.1112 / plms / s2-42.1.90 .
^ Vezi pp. 351 și următoarele în The Large Scale Structure of Space-Time , ISBN 978-0-521-09906-6 . . Opera originală este Ehlers, J., Geren, P., Sachs, RK: Soluții izotrope ale ecuațiilor Einstein-Liouville. J. Math. Fizic. 9, 1344 (1968). Pentru generalizare, a se vedea Demonstrarea aproape-omogenității universului: o teoremă de aproape Ehlers-Geren-Sachs , vol. 39, Bibcode : 1995ApJ ... 443 .... 1S , DOI : 10.1086 / 175496 . .

Perspective

JD North, The Measure of the Universe - a history of modern cosmology , retipărire, Dover, Oxford Univ. Press, 1990 [1965] , ISBN 0-486-66517-8 .
ER Harrison, Clasificarea modelelor cosmologice uniforme , vol. 137, Bibcode : 1967MNRAS.137 ... 69H , DOI : 10.1093 / mnras / 137.1.69 .
Raza de iarnă,capitolul 23 , în Introducerea relativității lui Einstein , ISBN 978-0-19-859686-8 .

[LaLu95-1] Topologie cosmică , vol. 254, Bibcode : 1995PhR ... 254..135L , DOI : 10.1016 / 0370-1573 (94) 00085-H , arXiv : gr-qc / 9605010 .

[Ellis98-2] Cosmologie teoretică și observațională , vol. 541, ISBN 978-0792359463 .

[Goobar-3] L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics , ediția a II-a, ISBN 978-3-540-32924-4 .

[4] Robert Wald, Relativitatea generală , p. 97.

[5] Cosmologie ( PDF ), pe icc.ub.edu . Adus la 19 mai 2021 (arhivat din original la 11 ianuarie 2020) .

[6] P. Ojeda și H. Rosu, Supersimetria cosmologiilor barotrope FRW , vol. 45, Bibcode : 2006IJTP ... 45.1152R , DOI : 10.1007 / s10773-006-9123-2 , arXiv : gr-qc / 0510004 .

[7] Soluțiile lor pot fi găsite în Haret C. Rosu, Stefan C. Mancas și Pisin Chen, cosmologii barotrope FRW cu amortizare Chiellini în timpul deplasării , în Modern Physics Letters A , vol. 30, n. 20, 5 mai 2015, p. 1550100, Bibcode : 2015MPLA ... 3050100R , DOI : 10.1142 / S021773231550100x , ISSN 0217-7323 ( WC ACNP ) , arXiv : 1502.07033 .

[8] WH McCrea și EA Milne, Universele newtoniene și curbura spațiului , în Quarterly Journal of Mathematics , vol. 5, 1934, pp. 73-80, Bibcode : 1934QJMat ... 5 ... 73M , DOI : 10.1093 / qmath / os-5.1.73 .

[9] Über die Krümmung des Raumes , vol. 10, Bibcode : 1922ZPhy ... 10..377F , DOI : 10.1007 / BF01332580 .

[10] Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes , vol. 21, bibcode : 1924ZPhy ... 21..326F , DOI : 10.1007 / BF01328280 . Engleză trad. în „Relativitate generală și gravitație” 1999 vol. 31, 31–

[11] Extinderea universului, Un univers omogen cu masă constantă și rază în creștere, care reprezintă viteza radială a nebuloaselor extra-galactice , vol. 91, Bibcode : 1931MNRAS..91..483L , DOI : 10.1093 / mnras / 91.5.483 . tradus din Un Univers homogène de masse constant et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques , A47, Bibcode : 1927ASSB ... 47 ... 49L .

[12] L'Univers en expansion , A53, Bibcode : 1933ASSB ... 53 ... 51L .

[13] Cinematică și structură mondială , vol. 82, Bibcode : 1935ApJ .... 82..284R , DOI : 10.1086 / 143681 .

[14] Cinematică și structură mondială II. , vol. 83, Bibcode : 1936ApJ .... 83..187R , DOI : 10.1086 / 143716 .

[15] Cinematică și structură mondială III. , vol. 83, Bibcode : 1936ApJ .... 83..257R , DOI : 10.1086 / 143726 .

[16] Despre teoria lui Milne a structurii lumii , seria 2, vol. 42, Bibcode : 1937PLMS ... 42 ... 90W , DOI : 10.1112 / plms / s2-42.1.90 .

[17] Vezi pp. 351 și următoarele în The Large Scale Structure of Space-Time , ISBN 978-0-521-09906-6 . . Opera originală este Ehlers, J., Geren, P., Sachs, RK: Soluții izotrope ale ecuațiilor Einstein-Liouville. J. Math. Fizic. 9, 1344 (1968). Pentru generalizare, a se vedea Demonstrarea aproape-omogenității universului: o teoremă de aproape Ehlers-Geren-Sachs , vol. 39, Bibcode : 1995ApJ ... 443 .... 1S , DOI : 10.1086 / 175496 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12] În

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]