Model de electroni aproape gratuit

În fizica statelor solide , modelul electronilor cvasi-liberi (sau modelul englez NFE) este un model cuantic al proprietăților fizice ale electronilor care se pot mișca aproape liber în rețeaua cristalină a unui solid. Modelul este strâns legat de aproximarea mai conceptuală a rețelei goale. Modelul ne permite să înțelegem și să calculăm structura benzii electronice în principal a metalelor .

Acest model este o îmbunătățire directă a modelului Sommerfeld , în care metalul este considerat ca un gaz care nu interacționează cu electroni și ionii sunt complet neglijați.

Formularea matematică

Modelul în cauză este o modificare a modelului Sommerfeld care include o perturbare slabă periodică ca model al interacțiunii dintre electronii de conducere și ioni într-un cristal solid. Acest model, la fel ca modelul Sommerfeld, nu ia în considerare interacțiunile electron - electron; aceasta înseamnă că aproximarea electronilor independenți este încă valabilă.

Așa cum se arată în teorema Bloch , introduceți un potențial periodic în ecuația Schrödinger duce la o funcție de undă a formei

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

u _k unde funcția are aceeași periodicitate a rețelei :

u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {T} )

{\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r} + \ mathbf {T})}

{\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r} + \ mathbf {T})}

(unde T este un vector de traducere în rețea.)

Deoarece este o aproximare a electronilor cvasi-liberi putem presupune că

u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}

{\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ approx {\ frac {1} {\ sqrt {\ Omega _ {r}}}}}

{\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ approx {\ frac {1} {\ sqrt {\ Omega _ {r}}}}}

O soluție a acestei forme poate fi inserată ecuația Schrödinger, ducând la „ecuația centrală:

(\lambda _{\mathbf {k} }-\epsilon )C_{\mathbf {k} }+\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }C_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

{\ displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ epsilon) C _ {\ mathbf {k}} + \ sum _ {\ mathbf {G}} U _ {\ mathbf {G}} C _ { \ mathbf {k} - \ mathbf {G}} = 0}

{\ displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ epsilon) C _ {\ mathbf {k}} + \ sum _ {\ mathbf {G}} U _ {\ mathbf {G}} C _ { \ mathbf {k} - \ mathbf {G}} = 0}

unde energia cinetică $\lambda _{\mathbf {k} }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}}}$ este dat de

\lambda _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}(u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} })

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} (u _ {\ mathbf { k}} (\ mathbf {r}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}})}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} (u _ {\ mathbf { k}} (\ mathbf {r}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}})}

care, după împărțirea la $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ , se fierbe până

\lambda _{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}

asumand $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ este aproape constantă e $\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ll k^{2}.$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ ll k ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ ll k ^ {2}.}$

Parametrii reciproci C _k U și _G sunt, respectiv, coeficienții Fourier ai funcției de undă ψ (r) și potențialul de rețea periodic U (r):

U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle U (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ mathbf {G}} U _ {\ mathbf {G}} e ^ {i \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle U (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ mathbf {G}} U _ {\ mathbf {G}} e ^ {i \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r}}}

\psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }C_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ mathbf {k}} C _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ mathbf {k}} C _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

Vectorii G sunt vectorii rețelei reciproce și k de valori discrete sunt determinate de condițiile de graniță ale rețelei considerate.

În orice analiză a perturbației, trebuie luat în considerare cazul de bază la care se aplică perturbarea. Aici, cazul de bază este cu U (x) = 0 și , prin urmare, toți coeficienții potențiali Fourier sunt, de asemenea, zero. În acest caz, ecuația centrală se reduce la formare

(\lambda _{\mathbf {k} }-\epsilon )C_{\mathbf {k} }=0

{\ displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ epsilon) C _ {\ mathbf {k}} = 0}

{\ displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ epsilon) C _ {\ mathbf {k}} = 0}

Această identitate înseamnă că, pentru fiecare k, trebuie să se aplice unul dintre următoarele cazuri:

$C_{\mathbf {k} }=0$ ${\ displaystyle C _ {\ mathbf {k}} = 0}$ ${\ displaystyle C _ {\ mathbf {k}} = 0}$ ,
$\lambda _{\mathbf {k} }=\epsilon$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = \ epsilon}$

Dacă valorile de $\lambda _{\mathbf {k} }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}}}$ sunt nedegenerate , atunci al doilea caz apare pentru o singură valoare a lui k, în timp ce pentru restul coeficientului dezvoltării Fourier $C_{\mathbf {k} }$ ${\ displaystyle C _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle C _ {\ mathbf {k}}}$ trebuie să fie nul. În acest caz nedegenerat, găsim rezultatul standard pentru un gaz electronic liber:

\psi _{\mathbf {k} }\propto e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} \ propto e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} \ propto e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

Cu toate acestea, în cazul degenerat, va exista un set de vectori k _1, ..., k _m cu λ ₁ = ... = λ _m. Când energia $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ este egal cu această valoare a lui λ, va exista un m soluții val plane independent de orice combinație liniară , care este , de asemenea , o soluție:

\psi \propto \sum _{j=1}^{m}A_{j}e^{i\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle \ psi \ propto \ sum _ {j = 1} ^ {m} A_ {j} e ^ {i \ mathbf {k} _ {j} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle \ psi \ propto \ sum _ {j = 1} ^ {m} A_ {j} e ^ {i \ mathbf {k} _ {j} \ cdot \ mathbf {r}}}

Teoria perturbării nedegenerate și degenerate poate fi aplicată în aceste două cazuri pentru a găsi coeficienții Fourier C _k ai funcției de undă (corectați la primul ordin în U ) și valorile proprii ale energiei (corectate la ordinul al doilea) în U ). Un rezultat important al acestui calcul este că primul ordin nu are energie în absența deplasării ε degenerări, în timp ce există în cazul cvasi-degenerării; aceasta implică faptul că ultimul caz este mai important de analizat. În special, marginea zonei Brillouin (sau, în mod echivalent, în fiecare punct al unui plan Bragg ), există o degenerare dublă a energiei care duce la o deplasare dată de:

\epsilon =\lambda _{\mathbf {k} }\pm |U_{\mathbf {G} }|

{\ displaystyle \ epsilon = \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ pm | U _ {\ mathbf {G}} |}

{\ displaystyle \ epsilon = \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ pm | U _ {\ mathbf {G}} |}

Acest decalaj energetic dintre zona Brillouin este cunoscut sub numele de decalaj de bandă sau decalaj al benzilor și se aplică $2|U_{\mathbf {G} }|$ ${\ displaystyle 2 | U _ {\ mathbf {G}} |}$ ${\ displaystyle 2 | U _ {\ mathbf {G}} |}$ .

În concluzie, introducerea potențialului periodic ca o mică perturbare schimbă soluția ecuației Schrödinger, ducând la un gap de bandă.

Justificări

În acest model, se presupune că interacțiunea dintre electronii de conducere și ioni poate fi modelată cu un potențial perturbativ „slab”. Aceasta ar putea părea o aproximare puternică, deoarece atracția Coulomb dintre aceste două particule încărcate opus poate fi destul de semnificativă la distanțe scurte. Cu toate acestea, se poate justifica prin sublinierea a două proprietăți importante ale sistemelor cuantice:

Forța dintre ioni și electroni este mai mare la distanțe foarte mici. Cu toate acestea, electronii de conducție nu au „voie” să se apropie de ioni datorită principiului de excludere Pauli : orbitalul cel mai apropiat de ion este deja ocupat de electronii interni ai ionilor. Prin urmare, electronii de conducție nu se vor putea apropia suficient de mult de ioni pentru a simți forța maximă.
În plus, electronii interiori protejează sarcina ionică „văzută” de electronii de conducție. Rezultatul este o sarcină nucleară eficientă resimțită de electronii de conducere, care este semnificativ redusă în comparație cu sarcina nucleară reală.

Bibliografie

Neil W. Ashcroft și N. David Mermin, Fizica statelor solide , Orlando, Harcourt, 1976, ISBN 0-03-083993-9 .
Charles Kittel, Introducere în fizica statelor solide , ediția a VII-a, New York, Wiley, 1996, ISBN 0-471-11181-3 .
Stephen Elliott, Fizica și chimia solidelor, New York, Wiley, 1998, ISBN 0-471-98194-X .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica