Problema Malfatti
Problema lui Malfatti este o problemă geometrică care, plasată în forma de astăzi, cere identificarea într-un triunghi dat a celor trei cercuri care sunt astfel încât să fie toate trei simultan tangente între ele și la două laturi ale triunghiului
Inițial problema a fost pusă în 1803 de Gian Francesco Malfatti ca o problemă de marmură, oferind apoi soluția generală, Cerchi di Malfatti , care ulterior s-a dovedit a fi întotdeauna greșită, dar dând și reperul pentru cercetarea construcției lor generale, devenind în cele din urmă o problemă a tuturor autonome față de cea inițială.
Istorie
Forma inițială a problemei lui Malfatti cerea în practică să traseze cele trei circumferințe din interiorul triunghiului care să maximizeze aria din interiorul lor ( problema de marmură de astăzi); matematicianul, după o serie de studii, a fost convins că soluția generală la această întrebare echivalează cu găsirea a trei cercuri care erau fiecare tangente la celelalte două și simultan la două laturi ale triunghiului, adică cercurile lui Malfatti .
Prin urmare, problema s-a întors, pentru o convingere eronată, în căutarea metodei generale de a desena astfel de cercuri; cu toate acestea, ar trebui subliniat că o astfel de problemă nu era tocmai nouă pentru mediul matematic al vremii: deja, de fapt, Jacob Bernoulli cu aproximativ un secol mai înainte a pus aceeași întrebare, dar limitat la cazul triunghiului isoscel ; mai mult, aproape simultan cu Malfatti, cu câțiva ani mai devreme, aceeași problemă a fost pusă și de matematicianul japonez Ajima Naonobu .
În 1826 , matematicianul elvețian Jakob Steiner a dat soluția geometrică pentru a rezolva problema lui Malfatti, dar el nu a dat o dovadă, dar se presupune că a ajuns acolo generalizând problema.
În 1929 , matematicii Hyman Lob și Herbert Richmond au arătat că cele două probleme nu erau întotdeauna echivalente, deoarece în triunghiul echilateral, aria cercurilor lui Malfatti este mai mică decât cea ocupată de un total de „ cercuri mai mari decât a celor două cercuri adiacente care pot fi obținute la vârfuri; mai mult, în 1994, Viktor Zalgaller a demonstrat analitic că astfel de cercuri nu sunt niciodată soluția ideală pentru a maximiza aria ocupată de cercurile din interiorul triunghiului, astfel încât nu numai cercurile lui Malfatti nu reprezintă soluția generală a problemei marmurei , ci și cele două probleme nu coincide niciodată.
Rezolvarea problemei
Soluția geometrică a problemei lui Malfatti a fost dată de Steiner în 1826, dar el nu a dat dovada, a arătat o soluție doar în patru pași scurți:
- Având în vedere un triunghi generic, desenați cele trei bisectoare interne (în verde).
- În fiecare dintre triunghiurile conturate de bisectoare, marcați cercul (cu gri punctat)
- Din fiecare punct de tangență al cercurilor cu laturile triunghiului original, desenați un segment (în roșu punctat) care este tangent la celelalte două cercuri.
- Noile segmente, astfel găsite, au reprezentat porțiuni ale liniilor tangente la punctele de contact ale cercurilor Malfatti , pot fi găsite știind că centrele lor se află pe bisectoare și că trebuie să fie simultan tangente la cele două laturi ale triunghiului și la două segmente în același timp.
Este important să rețineți că punctul de întâlnire al bisectoarelor, adică centrul și punctul de întâlnire al celor trei tangente sunt întotdeauna foarte apropiați și că uneori ar putea fi confundați la trasarea liniilor; în plus, se poate sublinia și faptul că segmentele tangente trebuie să atingă ambele cercuri.
Generalizare
În 1997 , matematicianul Peter Yff , care dovedise deja coordonatele triliniare ale punctelor Malfatti , își dă seama că, renunțând la cerința că cercurile trebuie să fie în interiorul triunghiului, a fost posibilă o a doua soluție pentru problema Malfatti, unde cercurile erau încă în același timp tangentă la două laturi ale triunghiului, dar de data aceasta luând în considerare și extensiile externe și între ele.
Triunghiul nu mai este figura centrală sau de referință, ci o simplă întindere de plan conturată de trei linii și nu mai contează dacă cercurile sunt complet externe și nici dacă punctele de tangență sunt în interiorul sau în afara figurii.
Elemente conexe
linkuri externe
- ( EN ) Eric W. Weisstein, Problema lui Malfatti , în MathWorld , Wolfram Research.
- ( EN ) Alexander Bogomolny, Problema lui Malfatti , în Cut-the-knot .
- Oene Bottema Problema Malfatti Forum Geom . 1, 43-50, 2001.
