Produs mixt

În calculul vectorial, un produs mixt este o expresie în care produsele scalare și vectoriale ale vectorilor spațiului tridimensional apar simultan.

Produs triplu

Valoarea absolută a produsului mixt a trei vectori este egală cu volumul paralelipipedului construit pe aceștia

Cel mai cunoscut produs mixt este triplul produs din trei vectori a , b , c . Este o expresie în care apar un produs punct și un produs vector, de exemplu:

\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c}

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c}}

\ left (\ mathbf a \ times \ mathbf b \ right) \ cdot \ mathbf c

Rezultatul este un scalar a cărui valoare absolută nu depinde nici de ordinea celor trei vectori, nici de ordinea celor două operații. Valoarea absolută este egală cu volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori (sau egal cu 6 ori volumul tetraedrului construit pe cei trei vectori). Ca o consecință a acestei proprietăți, presupunând că niciunul dintre cei trei vectori nu este nul, produsul triplu este zero dacă și numai dacă vectorii sunt coplanari; din acest motiv și deoarece are proprietatea comutativă până la semn, este obișnuit să se utilizeze produsul triplu ca test de coplanaritate.

Semnul produsului triplu depinde de ordinea vectorilor și de cele două operații. O permutare ciclică a celor trei vectori implicați în produsul mixt sau schimbul celor doi operatori nu modifică rezultatul (și, prin urmare, semnul) ^[1] :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} =(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c} = (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {a} = (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b}}

(\ mathbf a \ times \ mathbf b) \ cdot \ mathbf c = (\ mathbf b \ times \ mathbf c) \ cdot \ mathbf a = (\ mathbf c \ times \ mathbf a) \ cdot \ mathbf b

O permutație pare coincide cu o permutație ciclică și o permutație unică (impar) schimbă semnul ^[1] :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c} = - (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {c} = (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b}}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c} = - (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {c} = (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b}}

Această proprietate poate fi redată formal folosind proprietățile determinantului . Intr-adevar

\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ det {\ begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3 } \ \ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ det {\ begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3 } \ \ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \ end {pmatrix}}}

Produs vector dublu

În general, un produs mixt în care apar două sau mai multe produse vectoriale poate fi transformat în suma mai multor produse mixte care conțin cel mult un produs vector. De exemplu expresia

\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c}

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}}$

poate fi simplificat prin impunerea unei egalități de tip

\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =A\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )+B\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )+C\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} = A \ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) + B \ mathbf {b} (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) + C \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} = A \ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) + B \ mathbf {b} (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) + C \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}$

cu necunoscute A , B și C. Deoarece vectorul a × ( b × c ) aparține planului format din vectorii b și c , A = 0. Prin setarea a = b = c = i determinăm că A + B + C = 0; în timp ce, setând a = b = i și c = j se determină că C = -1. În consecință, este B = 1 și am obținut următoarea egalitate:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {a}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})

.

În mod similar, se menține următoarea egalitate:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=a^{2}(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = a ^ {2} (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf { c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c})}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = a ^ {2} (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf { c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c})}

unde a ² = a · a .

Notă

^ ^a ^b Biscari, Ruggeri, Saccomandi și Vianello, Rational Mechanics , ediția a III-a, Springer, 2016, v. Anexa A.1.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:0-1] Biscari, Ruggeri, Saccomandi și Vianello, Rational Mechanics , ediția a III-a, Springer, 2016, v. Anexa A.1.

[1]