Quadratrix

În matematică, pătratul este o curbă ale cărei puncte pot fi utilizate pentru a determina aria unei a doua curbe. Cea mai faimoasă dintre aceste curbe este cea a lui Dinostrato .

Quadratrix of Dinostratus

Pătratul este evidențiat în roșu

În afară de circumferință , aceasta este probabil cea mai veche curbă documentată, cunoscută și sub numele de trisectorul lui Hippias , care pare să fi definit-o pentru a oferi o rezoluție neelementară la problema altfel insolubilă a trisecției unghiului . Luați în considerare pătratul ABCD și traduceți partea DC , cu viteză constantă în timp $[0;T]$ ${\ displaystyle [0; T]}$ ${\ displaystyle [0; T]}$ , până se suprapune peste partea AB ; ia în considerare și latura AD și fă-o să se rotească în jurul lui A , cu viteză unghiulară $\omega ={\frac {\pi }{2T}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {2T}}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {2T}}}$ constantă în timp $[0;T]$ ${\ displaystyle [0; T]}$ ${\ displaystyle [0; T]}$ , până la suprapunerea acestuia pe latura AB : cvadratrix este locul geometric al intersecțiilor acestor două laturi în timpul mișcării lor. Considerând unitar lungimea laturii pătratului și timpul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , indicând cu $\alpha (t)$ ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ $\ alfa (t)$ unghiul FÂB , în coordonate carteziene parametrice (folosind timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ca parametru) curba are următoarea expresie:

{\begin{cases}y=1-t\\x=(1-t)\cot \alpha (t)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = 1-t \\ x = (1-t) \ cot \ alpha (t) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = 1-t \\ x = (1-t) \ cot \ alpha (t) \ end {cases}}}

cu starea $0\leqslant \ t\leqslant \ 1$ ${\ displaystyle 0 \ leqslant \ t \ leqslant \ 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leqslant \ t \ leqslant \ 1}$ . Fiind $\alpha (t)={\frac {\pi }{2}}-\omega t={\frac {\pi (1-t)}{2}}$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ omega t = {\ frac {\ pi (1-t)} {2}}}$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ omega t = {\ frac {\ pi (1-t)} {2}}}$ și înlocuirea a $1-t$ ${\ displaystyle 1-t}$ ${\ displaystyle 1-t}$ coordonata $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din prima ecuație, se obține expresia carteziană a quadratrixului:

x=y\ cot{\frac {\pi y}{2}}

{\ displaystyle x = y \ cot {\ frac {\ pi y} {2}}}

{\ displaystyle x = y \ cot {\ frac {\ pi y} {2}}}

.

Patratarea cercului

În lucrarea sa, topograful elenistic Pappus a transmis că Dinostratus, studiind curba introdusă de Hippias pentru a trisecta unghiurile, a observat că ar putea fi folosită și pentru quadrarea cercului: de fapt, abscisa intersecției J a pătratul cu axa x este egal cu

\lim _{y\to 0}y\cot {\frac {\pi y}{2}}={\frac {2}{\pi }}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to 0} y \ cot {\ frac {\ pi y} {2}} = {\ frac {2} {\ pi}}}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to 0} y \ cot {\ frac {\ pi y} {2}} = {\ frac {2} {\ pi}}}

.

Pornind de la măsurarea AJ , este ușor să construiți partea de măsurare BL ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ . Dreptunghiul BLNO (având latura BO de lungime ½) este echivalent cu cercul de diametru unitar AB . Pătratul echivalent se obține imediat, folosind teorema lui Euclid II : latura sa este înălțimea relativă la hipotenuza QN = BO + BL a triunghiului dreptunghiular având picioarele astfel încât proiecțiile lor pe hipotenuză să fie exact echivalente cu BO și BL .

Trisecția colțului

Datorită modului în care a fost construit, quadratrixul poate fi folosit pentru a împărți un unghi în n părți egale. Dați un unghi GAJ pentru a fi împărțit în trei unghiuri egale. Spunem F proiecția lui G pe axa y . Segmentul AF este împărțit în trei părți egale, identificate prin punctele P și Q. Paralelele cu axa x efectuate pentru P și Q intersectează quadratrixul în punctele U și respectiv T ; razele AU și AT sunt trisectorii căutați.

Bibliografie

Morris Kline , Istoria gândirii matematice , volumul I - Einaudi

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe quadratrix

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică