Frison

În matematică , o tolbă (literalmente „tolbă”) este un grafic orientat în care buclele sunt permise pe fiecare vârf și laturi multiple între două vârfuri, adică un multigraf direct. Sunt utilizate în mod obișnuit în teoria reprezentării : o reprezentare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de o tolba se asociază la fiecare vârf $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de tolba un spațiu vector $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ și la fiecare săgeată $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ un endomorfism liniar $V_{\alpha }$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ .

În teoria categoriilor , o tolbă poate fi gândită ca o categorie lipsită de morfisme identice și de legea compoziției; cu alte cuvinte, există un functor uitat din $\mathbf {Cat}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Cat}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Cat}}$ în $\mathbf {Quiv}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv}}$ . Adjunctul său stâng este un functor care trimite tolbele în categoria liberă .

Definiții

Un frison $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt datele:

un set $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , spus despre vârfuri pentru $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ;
un set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , a spus despre părți pentru $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$
două funcții $s:E\longrightarrow V$ ${\ displaystyle s: E \ longrightarrow V}$ ${\ displaystyle s: E \ longrightarrow V}$ , care arată punctul de plecare al fiecărei părți și $t:E\longrightarrow V$ ${\ displaystyle t: E \ longrightarrow V}$ ${\ displaystyle t: E \ longrightarrow V}$ arătând „ținta” fiecărei părți.

Un morfism de tolete $Q=(V,E,s,t)$ ${\ displaystyle Q = (V, E, s, t)}$ ${\ displaystyle Q = (V, E, s, t)}$ Și $Q^{\prime }=(V',E',s',t')$ ${\ displaystyle Q ^ {\ prime} = (V ', E', s ', t')}$ ${\ displaystyle Q ^ {\ prime} = (V ', E', s ', t')}$ este definit ca perechea $m=(m_{V},m_{E})$ ${\ displaystyle m = (m_ {V}, m_ {E})}$ ${\ displaystyle m = (m_ {V}, m_ {E})}$ , format din două funcții $m_{V}:V\to V'$ ${\ displaystyle m_ {V}: V \ to V '}$ ${\ displaystyle m_ {V}: V \ to V '}$ Și $m_{E}:E\to E'$ ${\ displaystyle m_ {E}: E \ to E '}$ ${\ displaystyle m_ {E}: E \ to E '}$ astfel încât diagrama de compoziție evidentă să fie comutativă; adică se cere ca.

m_{V}\circ s=s'\circ m_{E}

{\ displaystyle m_ {V} \ circ s = s '\ circ m_ {E}}

{\ displaystyle m_ {V} \ circ s = s '\ circ m_ {E}}

Și

m_{V}\circ t=t'\circ m_{E}

{\ displaystyle m_ {V} \ circ t = t '\ circ m_ {E}}

{\ displaystyle m_ {V} \ circ t = t '\ circ m_ {E}}

Obiectele unei tolbe sunt adesea denumite săgeți : o săgeată $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ într-o tolbă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt datele unei părți $\lambda \in E$ ${\ displaystyle \ lambda \ în E}$ ${\ displaystyle \ lambda \ în E}$ împreună cu vârfurile $s(\lambda ),t(\lambda )$ ${\ displaystyle s (\ lambda), t (\ lambda)}$ ${\ displaystyle s (\ lambda), t (\ lambda)}$ , respectiv numite cap și coadă de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Definiție cu categorii

Definiția dată în paragraful anterior se bazează pe teoria mulțimilor ; în ceea ce privește limbajul categoric, putem da o definiție mai generală.

Definim tolva gratuită (numită și tolva Kronecker sau categoria Kronecker ) $\mathbf {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ $\ mathbf {Q}$ este o categorie cu două obiecte și patru morfisme. Obiectele sunt $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , în timp ce cele patru morfisme sunt $s:E\longrightarrow V$ ${\ displaystyle s: E \ longrightarrow V}$ ${\ displaystyle s: E \ longrightarrow V}$ , $t:E\longrightarrow V$ ${\ displaystyle t: E \ longrightarrow V}$ ${\ displaystyle t: E \ longrightarrow V}$ iar morfismele identice ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Prin urmare, o tolba este un functor $Q:\mathbf {Q} \longrightarrow \mathbf {Set}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {Set}}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {Set}}$ .

Mai general, o fremă de valoare din categorie $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ este un functor $Q:\mathbf {Q} \longrightarrow \mathbf {C}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {C}}$ . Categoria $\mathbf {Quiv} (\mathbf {C} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv} (\ mathbf {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv} (\ mathbf {C})}$ de tolete cu valori în $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ este categoria de functori în care:

obiectele sunt functori $Q:\mathbf {Q} \longrightarrow \mathbf {C}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbf {Q} \ longrightarrow \ mathbf {C}}$ ;
săgețile sunt transformările naturale dintre funcționarii menționați mai sus.

Merită menționat și acest lucru $\mathbf {Quiv}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Quiv}}$ este categoria de pre-schi din categoria opusă $\mathbf {Q} ^{\text{op}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {\ text {op}}}$ .

Algebra de cale

De sine $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este o tolba, apoi o plimbare $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este o succesiune de săgeți $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ ldots, a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ ldots, a_ {1}}$ astfel încât coada de $a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ este egal cu capul $a_{j+1}$ ${\ displaystyle a_ {j + 1}}$ ${\ displaystyle a_ {j + 1}}$ , folosind convenția concatenării căilor de la dreapta la stânga.

De sine $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ este un câmp , apoi sifon-algebră , numită și algebră de cale $\mathbb {K} Q$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ este definit ca spațiul vectorial având ca bază toate căile șuviței (de lungime non-negativă) și ca o lege multiplicativă dată de concatenarea căilor. Observăm că, în baza algebrei căilor, acestea sunt incluse, pentru fiecare vârf $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ de tolba $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , cărările banale $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ de lungime nulă; în plus, nu se presupune că aceste căi sunt egale între ele. Dacă două căi nu pot fi concatenate, deoarece ultimul vârf al primei diferă de primul vârf al celui de-al doilea, produsul lor este nul prin definiție. Astfel de poziții definesc o algebră asociativă în câmp $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ . Această algebră are un element unitar dacă și numai dacă tolba are un număr finit de vârfuri. În acest caz, modulele sunt activate $\mathbb {K} Q$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ va fi în mod natural identificat cu reprezentările lui $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Reprezentări de frison

Am spus că o reprezentare a unei tolbe $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt datele:

pentru fiecare vârf $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , un spațiu vectorial $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ ;
pentru fiecare săgeată $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , un endomorfism liniar $f_{\alpha }$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}}$ .

O reprezentare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de o tolba $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ se numește trivial când $V(x)=0$ ${\ displaystyle V (x) = 0}$ ${\ displaystyle V (x) = 0}$ pentru toate vârfurile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Un morfism $\varphi :{\mathcal {R}}\longrightarrow {\mathcal {R}}^{\prime }$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {R}} \ longrightarrow {\ mathcal {R}} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {R}} \ longrightarrow {\ mathcal {R}} ^ {\ prime}}$ între reprezentări ale aceluiași frison $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este o colecție de hărți liniare $\varphi (x):V(x)\rightarrow V'(x)$ ${\ displaystyle \ varphi (x): V (x) \ rightarrow V '(x)}$ ${\ displaystyle \ varphi (x): V (x) \ rightarrow V '(x)}$ astfel încât pentru fiecare săgeată $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ avem asta $f_{\alpha }^{\prime }\circ \varphi (x)=\varphi (y)\circ f_{\alpha }$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha} ^ {\ prime} \ circ \ varphi (x) = \ varphi (y) \ circ f _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha} ^ {\ prime} \ circ \ varphi (x) = \ varphi (y) \ circ f _ {\ alpha}}$ , fiind $f,f^{\prime }$ ${\ displaystyle f, f ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle f, f ^ {\ prime}}$ endomorfismele asociate cu săgeata $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ respectiv în ${\mathcal {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ Și ${\mathcal {R^{\prime }}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R ^ {\ prime}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R ^ {\ prime}}}}$ . Un morfism $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ a reprezentărilor este un izomorfism dacă $\varphi (x)$ ${\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\ varphi (x)$ este o funcție inversabilă, pentru toate vârfurile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Reprezentările unei tolbe, cu aceste definiții, se reunesc într-o categorie.

De sine ${\mathcal {R}},{\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}, {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}, {\ mathcal {S}}}$ ele sunt reprezentări ale unei tolbe $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în raport cu spațiile vectoriale $V(x),W(x)$ ${\ displaystyle V (x), W (x)}$ ${\ displaystyle V (x), W (x)}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ respectiv suma lor directă ${\mathcal {R}}\oplus {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ oplus {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ oplus {\ mathcal {S}}}$ este relativ la spațiile vectoriale de tip $(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)$ ${\ displaystyle (V \ oplus W) (x) = V (x) \ oplus W (x)}$ ${\ displaystyle (V \ oplus W) (x) = V (x) \ oplus W (x)}$ pentru toate vârfurile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; de asemenea, ziceri $f_{\alpha },g_{\alpha }$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}, g _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}, g _ {\ alpha}}$ endomorfismele liniare asociate cu săgeata $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în raport cu ${\mathcal {R}},{\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}, {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}, {\ mathcal {S}}}$ , apoi endomorfism $(f\oplus g)_{\alpha }$ ${\ displaystyle (f \ oplus g) _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle (f \ oplus g) _ {\ alpha}}$ , definit ca suma directă a celor două hărți liniare, este endomorfismul asociat cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în raport cu reprezentarea ${\mathcal {R}}\oplus {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ oplus {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ oplus {\ mathcal {S}}}$ .

Se spune că o reprezentare este descompozabilă atunci când este izomorfă la suma directă a reprezentărilor non-banale.

Există, de asemenea, o definiție a reprezentării tolelor în termeni de categorii. Același frison poate fi considerat o categorie în care obiectele sunt vârfurile și morfismele laturile. O reprezentare a unui frison $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este pur și simplu un functor covariant din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în categoria spațiilor vectoriale generate finit. Morfismele dintre reprezentările lui $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt exact transformările naturale dintre funcționorii respectivi.

Să luăm în considerare o tolbă finită $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , adică o tolbă cu un număr finit de vârfuri și laturi. Așa să fie atunci $\mathbb {K} Q$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ algebra sa de căi și ambele $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ calea banală, de lungime zero, pe vârf $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Prin urmare, ne putem asocia cu vârful $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ the $\mathbb {K} Q$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Q}$ - modul proiectiv $\mathbb {K} Qe_{i}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Qe_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} Qe_ {i}}$ , care constă din combinații liniare de căi având un vârf inițial $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Acest lucru este echivalent cu potrivirea unei copii a câmpului $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ pentru fiecare vârf care este conținut într-o cale care începe de la $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și zero altfel. La fiecare parte îmbinând două copii ale $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ identitatea este apoi atribuită.

Alte legături

Bibliografie

Harm Derksen, Jerzy Weyman, Quiver Representations ( PDF ), în Notices of the American Mathematical Society , vol. 52, februarie 2005.
Vlastimil Ringel Dlab, Claus Michael, Despre algebre de tip reprezentare finită , Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 2, Departamentul de Matematică, Universitatea Carleton, Ottawa, Ont., 1973, MR 0347907 .
William Crawley-Boevey, Note despre reprezentările Quiver ( PDF ), Universitatea Oxford , 1992.
Peter Gabriel, Unzerlegbare Darstellungen. I , în Manuscripta Mathematica , vol. 6, 1972, pp. 71–103, DOI : 10.1007 / BF01298413 , ISSN 0025-2611 ( WC ACNP ) , MR 0332887 . . Greșit .
Savage Alistair, Algebre și carcase cu dimensiuni finite , în J.-P. Francoise, GL Naber și ST Tsou (eds), Encyclopedia of Mathematical Physics , vol. 2, Elsevier, 2006, pp. 313-320, arXiv : math / 0505082 .
Daniel Simson, Andrzej Skowronski Ibrahim Assem, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras , Cambridge University Press , 2007, ISBN 978-0-521-88218-7 .
https://ncatlab.org/nlab/show/quiver

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe tolbă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică