Functor adăugat

În matematică , în special în teoria categoriilor , adjunctia este o posibilă relație între doi functori .

Adăugarea este foarte frecventă în matematică. O pereche de functori adăugați de la C la D și de la D la C este tot ceea ce este necesar pentru ca cele două categorii C și D să fie compatibile în obiectele și morfismele lor. De exemplu, un functor ar putea scufunda C în extensia sa D , iar celălalt functor ar putea restricționa D înapoi în C. Pentru aceste tipuri de relații, adăugarea formalizează conceptele intuitive de optimizare și eficiență.

În definiția simetrică cea mai concisă, o adunare între două categorii C și D este o pereche de funcție,

F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}

{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}

{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}

și

G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}

{\ displaystyle G: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {D}}}

{\ displaystyle G: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {D}}}

și o familie de bijecții

\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)

{\ displaystyle \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}

{\ displaystyle \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}

ceea ce este natural pentru toate variabilele X în C și Y în D. Functorul F este numit adjunct stâng , în timp ce G este numit adjuvant drept . Relația „ F se adaugă la stânga la G ”, sau echivalent „ G se adaugă la dreapta la F ”, este de asemenea notată cu

F\dashv G.

{\ displaystyle F \ dashv G.}

{\ displaystyle F \ dashv G.}

Această și alte definiții vor fi detaliate mai jos.

Introducere

«Sloganul este„ Funcții adiacenți apar peste tot ”.”

( Saunders Mac Lane, Categorii pentru matematicianul de lucru )

Lista lungă de exemple din acest articol este doar o indicație parțială a frecvenței cu care o construcție matematică de interes este un functor adăugat. În consecință, teoremele generale despre funcționarii adjuvanți, cum ar fi echivalența diferitelor definiții ale acestora sau faptul că păstrează limitele (adjunctul drept) și respectiv colimitele (adjunctul stâng), limitele și colimitele care se găsesc și în fiecare zonă a matematică, poate codifica detaliile multor rezultate utile și altfel netiviale.

Motive

Soluții de probleme de optimizare

Se poate spune că un functor adăugat este un mod de a oferi soluția „cea mai eficientă” la o anumită problemă printr-o metodă „bazată pe formulă”. De exemplu, o problemă elementară în teoria inelului este cum se transformă un inel într-un inel unitar . Modul "cel mai eficient" este să adăugați un element '1' la inel, să adăugați toate (și numai) elementele necesare pentru a satisface axiomele (de exemplu r +1 pentru fiecare r din inel) și să nu impuneți în noul inel unitar orice relație care nu este forțată de axiome. Mai mult, această construcție este "bazată pe formulă" în sensul că acționează în esență la fel pentru fiecare inel.

Acest lucru este destul de vag, deși sugestiv și poate fi precis în limbajul teoriei categoriilor: o construcție este „cea mai eficientă” dacă îndeplinește o proprietate universală și este bazată pe formulă dacă definește un functor . Proprietățile universale sunt sub două forme: proprietăți inițiale și proprietăți terminale. Deoarece acestea sunt noțiuni duble , este suficient să discutați una dintre ele.

Ideea din spatele utilizării unei proprietăți inițiale este de a pune problema în termeni de unele categorii auxiliare E , și apoi să observăm că ceea ce dorim este să găsim un obiect inițial al lui E. Aceasta are avantajul că optimizarea - în sensul că căutăm cea mai eficientă soluție - este ceva riguros și recunoscut, mai degrabă decât căutarea unei extreme . Categoria E se bazează, de asemenea, pe formule în această construcție, deoarece este întotdeauna categoria de element a functorului la care se construiește un adjunct. De fapt, această categorie suplimentară este tocmai categoria de virgulă a functorului în cauză.

De exemplu, dați inelul R și construiți o categorie E ale cărei obiecte sunt homomorfisme inelare R → S , cu S un inel unitar. Morfismele din E între R → S ₁ și R → S ₂ sunt triunghiuri comutative ale formei ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) unde S ₁ → S ₂ este o hartă a inelelor (care păstrează identitatea). Rețineți că aceasta este tocmai definiția categoriei de virgulă a R la includerea inelelor unitare în inele. Existența unui morfism între R → S ₁ și R → S ₂ implică faptul că S ₁ este o soluție cel puțin la fel de eficientă ca S ₂ pentru problema noastră: S ₂ poate avea mai multe elemente adăugate și / sau mai multe relații neforțate de axiome că S ₁ . Prin urmare, afirmația că un obiect R → R * este inițial în E sau, cu alte cuvinte, că există un morfism de la acesta la orice alt element al lui E , înseamnă că inelul R * este cea mai eficientă soluție la problema noastră.

Cele două fapte, conform cărora acest mod de transformare a inelelor în inele unitare este cel mai eficient și bazat pe formulă , pot fi exprimate simultan spunând că acesta definește un functor adăugat .

Definiții formale

Există diverse definiții pentru functori adăugați. Echivalența lor este elementară, dar în niciun caz banală și de fapt foarte utilă. Acest articol oferă mai multe dintre aceste definiții:

Definițiile prin morfisme universale sunt ușor de declarat și necesită o verificare minimă atunci când se construiește un functor adăugat sau se demonstrează că se adaugă doi functori. Ele sunt, de asemenea, cele mai apropiate de intuiția noastră în optimizări captivante.
Definiția prin adăugarea de unități de consiliere este avantajoasă pentru dovezile asupra funcționarilor despre care se știe că se adaugă, deoarece oferă formule care pot fi manipulate direct.
Definiția prin Hom-Set face simetriile cât mai vizibile posibil, motiv pentru care este folosit cuvântul „adăugat”.

Functorii adăugați se găsesc în fiecare domeniu al matematicii. Utilitatea lor constă în faptul că structura din fiecare dintre aceste definiții dă naștere structurilor din celelalte printr-o lungă, dar banală serie de deducții. Prin urmare, trecerea de la unul la altul utilizează implicit o mulțime de detalii care altfel ar fi trebuit repetate separat în fiecare domeniu diferit. De exemplu, naturalețea și terminalitatea conștiinței pot fi folosite pentru a arăta că fiecare funcție adjuvantă dreaptă păstrează limite.

Convenții

Teoria adjuvanților are termenii „stânga” și „dreapta” de la început și există multe componente care se încadrează în una dintre cele două categorii „C” și „D” care sunt luate în considerare. Prin urmare, poate fi util să selectați literele în ordine alfabetică în funcție de dacă sunt în categoria „stânga” „C” sau în categoria „dreapta” „D” și, de asemenea, să le scrieți în această ordine când este posibil.

În această pagină, de exemplu, literele „X”, „F”, „f”, „ε” vor indica entități care se află în categoria „C”, în timp ce literele „Y”, „G”, „g” , "η" va indica entități care se află în categoria "D", iar atunci când este posibil acest tip de entități vor fi indicate în ordine de la stânga la dreapta (un functor "F": "D" → "C" poate fi gândit ca „trăiesc” acolo unde sunt, adică în „C”.

Morfisme universale

Un functor F : D → C este un functor adăugat la stânga dacă pentru fiecare obiect X din C , există un morfism terminal de la F la X. Dacă, pentru fiecare obiect X din C , alegem un obiect G ₀ X din D pentru care există un morfism terminal ε _X : F ( G ₀ X ) → X de la F la X , atunci există un singur funcționar G : C → D astfel încât GX = G ₀ X și ε _Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε _X pentru f : X → Xʹ un morfism în C ; Prin urmare, F este numit adjunct stâng la G.

Un functor G : C → D este un functor adjunct drept dacă pentru fiecare obiect Y din D , există un morfism inițial de la Y la G. Dacă, pentru fiecare obiect Y din D , se alege un obiect F ₀ Y al lui C și un morfism inițial η _Y : Y → G ( F ₀ Y ) de la Y la G , atunci există un singur funcționer F : D → C astfel că FY = F ₀ Y și GF ( g ) ∘ η _Y = η _Yʹ ∘ g pentru g : Y → Yʹ un morfism în D ; Prin urmare, G este numit adjuvantul potrivit pentru F.

Este adevărat, după cum sugerează terminologia, că F se adaugă la stânga la G dacă și numai dacă G se adaugă la dreapta la F. Acest lucru este evident din definițiile simetrice date mai jos. Definițiile prin morfisme universale sunt adesea utile pentru a stabili că un functor dat este adăugat la stânga sau la dreapta, deoarece acestea sunt minime în revendicările lor. Ele sunt, de asemenea, bogate în semnificație intuitivă prin faptul că găsirea unui morfism universal este analog cu rezolvarea unei probleme de optimizare.

Adăugare Counità-counità

Un adăugire cu counity-unitate între două categorii C și D este format din două functori F: D → C și G: C → D și în două transformări naturale

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon &: FG \ to 1 _ {\ mathcal {C}} \\\ eta &: 1 _ {\ mathcal {D}} \ to GF \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon &: FG \ to 1 _ {\ mathcal {C}} \\\ eta &: 1 _ {\ mathcal {D}} \ to GF \ end {align}}}

numite counità și unitate de adjunct (terminologie din algebră universală ), astfel încât compozițiile

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

{\ displaystyle F {\ xrightarrow {\; F \ eta \;}} FGF {\ xrightarrow {\; \ varepsilon F \,}} F}

{\ displaystyle F {\ xrightarrow {\; F \ eta \;}} FGF {\ xrightarrow {\; \ varepsilon F \,}} F}

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

{\ displaystyle G {\ xrightarrow {\; \ eta G \;}} GFG {\ xrightarrow {\; G \ varepsilon \,}} G}

{\ displaystyle G {\ xrightarrow {\; \ eta G \;}} GFG {\ xrightarrow {\; G \ varepsilon \,}} G}

sunt transformările identice, respectiv 1 _F pe F și 1 _G pe G.

În această situație se spune că F se adaugă la stânga la G și G se adaugă la dreapta la F , iar această relație poate fi indicată prin $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ ${\ displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}$ , sau pur și simplu $F\dashv G$ ${\ displaystyle F \ dashv G}$ ${\ displaystyle F \ dashv G}$ .

În formă ecuațională , condițiile de mai sus de pe (ε, η) sunt ecuațiile unității de consiliere

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {F} & = \ varepsilon F \ circ F \ eta \\ 1_ {G} & = G \ varepsilon \ circ \ eta G \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {F} & = \ varepsilon F \ circ F \ eta \\ 1_ {G} & = G \ varepsilon \ circ \ eta G \ end {align}}}

ceea ce înseamnă că pentru fiecare X în C și pentru fiecare Y în D ,

{\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {align}}}

.

Observați că aici $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ denotă funcționori identici, în timp ce anterior același simbol denotă transformări naturale identice.

Aceste ecuații sunt utile în urmărirea dovezilor funcțiilor adăugate manipulărilor algebrice. Uneori se numesc ecuații în zig-zag datorită apariției corespunzătoare [diagrame șir | diagrame șir]. O modalitate de a le aminti este de a scrie mai întâi ecuația fără sens $1=\varepsilon \circ \eta$ ${\ displaystyle 1 = \ varepsilon \ circ \ eta}$ ${\ displaystyle 1 = \ varepsilon \ circ \ eta}$ și apoi completați-l cu F și G într-unul din cele două moduri simple care definesc compoziția.

Notă: Utilizarea prefixului "co" în counità este incompatibilă cu terminologia limitelor și colimitelor, deoarece colimitele satisfac o proprietate inițială , în timp ce morfismele counità satisfac proprietățile terminale și, în mod similar, în dualitate. Termenul de unitate aici este împrumutat din teoria monadelor în care seamănă cu inserarea identității 1 într-un monoid.

Adăugare Hom-Set

Un Hom-Set plus între două categorii C și D este format din două functori F: D → C și G: C → D și o izomorfism naturală

\Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)

{\ displaystyle \ Phi: \ mathrm {hom} _ {C} (F -, -) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (-, G-)}

{\ displaystyle \ Phi: \ mathrm {hom} _ {C} (F -, -) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (-, G-)}

.

Aceasta definește o familie de bijecții

\Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)

{\ displaystyle \ Phi _ {Y, X}: \ mathrm {hom} _ {C} (FY, X) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GX)}

{\ displaystyle \ Phi _ {Y, X}: \ mathrm {hom} _ {C} (FY, X) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GX)}

pentru toate obiectele X în C și Y în D.

În această situație se spune că F se adaugă la stânga la G și G se adaugă la dreapta la F , iar această relație poate fi indicată prin scriere ${\textstyle \Phi :F\dashv G}$ ${\ textstyle \ Phi: F \ dashv G}$ ${\ textstyle \ Phi: F \ dashv G}$ , sau pur și simplu ${\textstyle F\dashv G}$ ${\ textstyle F \ dashv G}$ ${\ textstyle F \ dashv G}$ .

Această definiție este un compromis logic în sensul că este oarecum mai dificil de satisfăcut decât definițiile cu morfisme universale și are mai puține implicații imediate decât definiția consiliului-unitate. Este util datorită simetriei sale evidente și este un punct de plecare pentru alte definiții.

Pentru a interpreta Φ ca izomorfism natural , trebuie să recunoaștem ca funcționori hom _C ( F -, -) și hom _D (-, G -) . De fapt, ambii sunt bipunctori de la D ^op × C la Set ( categoria seturilor ). Pentru detalii, consultați pagina despre funcționorii Hom . În mod explicit, naturalețea lui Φ înseamnă că pentru fiecare morfism f : X → X ′ în C și pentru fiecare morfism g : Y ′ → Y în D comută următoarea diagramă:

Săgețile verticale din această diagramă sunt cele induse de compoziția cu f și g . În mod formal, Hom ( Fg , f ): Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY ′ , X ′ ) este dat de h → f sau h sau Fg pentru fiecare h în Hom _C ( FY , X ). Hom ( g , Gf ) este analog.

Adăugări în detaliu

Numeroase funcții și transformări naturale asociate cu fiecare adăugare sunt raportate aici, iar o mică parte din ele este suficientă pentru a le determina pe celelalte.

O adăugare între două categorii C și D a constat din

Un functor F : D → C numit adjunct stâng
Un functor G : C → D numit adjunctul drept
Un izomorfism natural Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -)
O transformare naturală ε: FG → 1 _C numită counità
O transformare naturală η: 1 _D → GF numită unitate

O formulare echivalentă, în care X reprezintă orice obiect al lui C și Y orice obiect al lui D , este următoarea:

Pentru fiecare C- morfism f : FY → X , există un singur D- morfism Φ _{Y , X} ( f ) = g : Y → GX astfel încât să se schimbe următoarele diagrame și pentru fiecare D- morfism g : Y → GX , există un singur C- morfism Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f : FY → X în C astfel încât următoarele diagrame să comute:

Din această afirmație, se poate constata că:

Transformările ε, η și Φ sunt legate de ecuații

{\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f = \ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g) & = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (F (Y), X) \\ g = \ Phi _ {Y, X} (f) & = G (f) \ circ \ eta _ {Y} & \ in & \ , \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, G (X)) \\\ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) & = \ varepsilon _ {X} & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (FG (X), X) \\\ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) & = \ eta _ {Y} & \ în & \, \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GF (Y)) \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f = \ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g) & = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (F (Y), X) \\ g = \ Phi _ {Y, X} (f) & = G (f) \ circ \ eta _ {Y} & \ in & \ , \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, G (X)) \\\ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) & = \ varepsilon _ {X} & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (FG (X), X) \\\ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) & = \ eta _ {Y} & \ în & \, \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GF (Y)) \\\ end {align}}}

Transformările ε, η satisfac ecuațiile de unitate-unitate

{\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {align}}}

Fiecare pereche ( GX , ε _X ) este un morfism terminal de la F la X în C
Fiecare pereche ( FY , η _Y ) este un morfism inițial de la Y la G în D

În special, ecuațiile de mai sus ne permit să definim Φ, ε și η în termenii oricăreia dintre cele trei. Cu toate acestea, funcțiile adăugate F și G luate individual în general nu sunt suficiente pentru a determina adăugarea. Demonstrarea echivalenței acestor trei situații este în cele ce urmează.

Morfismele universale induc adăugarea HomSet

Fie dat un funcționar adjuvant drept G : C → D ; în sensul morfismelor inițiale, adăugarea Hom-Set indusă poate fi construită cu pașii următori.

Construiți un functor F : D → C și o transformare naturală η.
- Pentru fiecare obiect Y din D , alegeți un morfism inițial ( F ( Y ), η _Y ) de la Y la G , astfel încât să avem η _Y : Y → G ( F ( Y )). Avem harta lui F pe obiecte și pe familia morfismelor η.
- Pentru toate f : Y ₀ → Y ₁ , deoarece ( F ( Y ₀ ), η _{Y ₀} ) este un morfism inițial, factorul η _{Y ₁} sau f cu η _{Y ₀} și se obține F ( f ): F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Aceasta este harta lui F pe morfisme.
- Diagrama comutativă a acestei factorizări implică diagramele comutative ale transformărilor naturale, prin urmare η: 1 _D → G sau F este o transformare naturală .
- Unicitatea acestei factorizări și faptul că G este un functor implică faptul că harta lui F pe morfisme păstrează compoziții și identități.
Construiți un izomorfism natural Φ: Hom _C ( F -, -) → Hom _D (-, G -).
- Pentru fiecare obiect X în C și fiecare obiect Y în D , deoarece ( F ( Y ), η _Y ) este un morfism inițial, în consecință Φ _{Y , X} este o bijecție, unde Φ _{Y , X} ( f : F ( Y ) → X ) = G ( f ) sau η _Y.
- η este o transformare naturală, G este un functor, deci pentru fiecare obiect X ₀ , X ₁ în C și pentru fiecare obiect Y ₀ , Y ₁ în D , fiecare x : X ₀ → X ₁ , fiecare y : Y ₁ → Y ₀ , avem Φ _{Y ₁ , X ₁} ( x sau f sau F ( y )) = G (x) sau G ( f ) sau G ( F ( y )) sau η _{Y ₁} = G ( x ) sau G ( f ) sau η _{Y ₀} sau y = G ( x ) sau Φ _{Y ₀ , X ₀} ( f ) sau y și, prin urmare, Φ este natural în ambele argumente.

Un raționament analog permite construirea unei adăugări Hom-Set pornind de la morfismele terminale la funcționarii adăugați la stânga. (Construcția care începe cu un adjuvant drept este ușor mai frecventă, deoarece adjuvantul drept este definit în mod trivial ca funcționarul de incluziune sau funcția de uitare.)

Adăugarea unității counità induce adăugarea Hom-Set

Având în vedere funcționorii F : D → C , G : C → D și o adunare de unitate de oraș (ε, η): F $\dashv$ ${\ displaystyle \ dashv}$ ${\ displaystyle \ dashv}$ G , putem construi o adăugare Hom-Set găsind transformarea naturală Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) în următorii pași:

Pentru fiecare f : FY → X și fiecare g : Y → GX , definiți

{\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Psi _ {Y, X} (g) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Psi _ {Y, X} (g) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {align}}}

Transformările Φ și Ψ sunt naturale deoarece η și ε sunt naturale.

Exploatând, în ordine, faptul că F este un functor, că ε este natural și ecuația counità-unitate 1 _FY = ε _FY sau F (η _Y ), obținem

{\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi \ Phi f & = \ varepsilon _ {X} \ circ FG (f) \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ \ varepsilon _ { FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ 1_ {FY} = f \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi \ Phi f & = \ varepsilon _ {X} \ circ FG (f) \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ \ varepsilon _ { FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ 1_ {FY} = f \ end {align}}}

din care ΨΦ este identica transformare.

În mod obișnuit, profitând de faptul că G este un functor, că η este natural, iar ecuația counità-unitate 1 _GX = G (ε _X ) sau η _GX , obținem

{\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi \ Psi g & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ GF (g) \ circ \ eta _ {Y} \\ & = G (\ varepsilon _ {X }) \ circ \ eta _ {GX} \ circ g \\ & = 1_ {GX} \ circ g = g \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi \ Psi g & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ GF (g) \ circ \ eta _ {Y} \\ & = G (\ varepsilon _ {X }) \ circ \ eta _ {GX} \ circ g \\ & = 1_ {GX} \ circ g = g \ end {align}}}

din care ΦΨ este identica transformare. Prin urmare Φ este un izomorfism natural cu invers Φ ⁻¹ = Ψ.

Adăugarea Hom-Set induce toate cele de mai sus

Având în vedere funcționorii F : D → C , G : C → D și un set Hom Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -), putem construi o unitate de consiliere

(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G

{\ displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}

{\ displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}

,

care definește familiile de morfisme inițiale și terminale, cu următorii pași:

Lăsa $\varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X} = \ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FGX, X)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X} = \ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FGX, X)}$ pentru fiecare X în C , unde $1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)$ ${\ displaystyle 1_ {GX} \ in \ mathrm {hom} _ {D} (GX, GX)}$ ${\ displaystyle 1_ {GX} \ in \ mathrm {hom} _ {D} (GX, GX)}$ este morfismul identitar.
Este $\eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)$ ${\ displaystyle \ eta _ {Y} = \ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) \ in \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GFY)}$ ${\ displaystyle \ eta _ {Y} = \ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) \ in \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GFY)}$ pentru fiecare Y în D , unde $1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)$ ${\ displaystyle 1_ {FY} \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FY, FY)}$ ${\ displaystyle 1_ {FY} \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FY, FY)}$ este morfismul identitar.
Bijectivitatea și naturalețea lui Φ implică faptul că fiecare ( GX , ε _X ) este un morfism terminal de la F la X în C și fiecare ( FY , η _Y ) este un morfism inițial de la Y la G în D.
Naturalitatea lui Φ implică naturalețea lui ε și η și cele două formule

{\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g ) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g ) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {align}}}

pentru fiecare f : FY → X și g : Y → GX (care determină complet Φ).

Înlocuirea lui FY cu X și η _Y = Φ _{Y , și a lui FY} (1 _FY ) cu g în a doua formulă dă ecuația unitate de conștiință

1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})

{\ displaystyle 1_ {FY} = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y})}

{\ displaystyle 1_ {FY} = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y})}

,

și înlocuirea lui GX cu Y și a lui ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) cu f în prima formulă dă a doua ecuație de unitate-unitate

1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}

{\ displaystyle 1_ {GX} = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX}}

{\ displaystyle 1_ {GX} = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX}}

.

Istorie

Ideea unui functor adjuvant a fost formulată de Daniel Kan în 1958. La fel ca multe dintre conceptele din teoria categoriilor, a fost sugerată de nevoile algebrei omologice, care a fost apoi dedicată calculelor. Cei implicați în furnizarea de prezentări ordonate și sistematice ale subiectului ar fi observat astfel de relații

Hom ( F ( X ), Y ) = Hom ( X , G ( Y ))

în categoria grupurilor abeliene , unde F a fost functorul $-\otimes A$ ${\ displaystyle - \ otimes A}$ ${\ displaystyle - \ otimes A}$ (adică produsul tensor cu A ), iar G a fost funcția Hom ( A , -) (aceasta este acum cunoscută sub numele de adaos Tensor-Hom ). Utilizarea semnului egal este un abuz de notație ; aceste două grupuri nu sunt cu adevărat identice, dar există un mod natural de a le identifica. Se poate observa că este firesc, în primul rând, pe baza faptului că acestea sunt două descrieri alternative ale hărților biliniare de la X × A la Y. Cu toate acestea, acesta este un caz special al produsului tensor . În teoria categoriilor, „naturalitatea” bijecției este inclusă în conceptul de izomorfism natural .

Terminologia provine din ideea operatorilor adăugați în spațiile Hilbert , operatorii F , G cu $\langle Fx,y\rangle =\langle x,Gy\rangle$ ${\ displaystyle \ langle Fx, y \ rangle = \ langle x, Gy \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle Fx, y \ rangle = \ langle x, Gy \ rangle}$ , care idee este similară formal cu relația anterioară dintre Hom-Set. Se spune că F se adaugă la stânga la G , iar G se adaugă la dreapta la F. Rețineți că G poate avea la rândul său un adjuvant corect care poate fi diferit de F (a se vedea mai jos un exemplu). Analogia cu hărțile adăugate ale spațiilor Hilbert poate fi făcută mai precisă în anumite contexte. ^[1]

Omniprezenta

Dacă începem să căutăm aceste perechi de functori adăugați, observăm că acestea sunt foarte frecvente în algebra abstractă și, de asemenea, în orice alt domeniu. Secțiunea de exemple de mai jos oferă dovezi în acest sens; în plus, construcțiile universale , care pot fi mai familiare pentru unii oameni, dau naștere la numeroase perechi de funcții adăugate.

Conform gândirii lui Saunders Mac Lane , orice idee, cum ar fi functorii adăugați, care apare suficient de frecvent în matematică, ar trebui studiată de la sine. ^{[ fără sursă ]}

Conceptele pot fi judecate pe baza utilizării lor în rezolvarea problemelor, precum și a utilizării lor în construcția teoriilor. Tensiunea dintre aceste două motivații a fost deosebit de puternică în anii 1950, când teoria categoriilor a început să fie dezvoltată. Gândiți-vă la Alexander Grothendieck , care a folosit teoria categoriilor ca busolă în alte lucrări - în analiza funcțională , în algebră omologică și în cele din urmă în geometrie algebrică .

Probabil este greșit să spunem că el singur a promovat conceptul de functor adjunct: dar recunoașterea rolului de adjunct a fost inerentă abordării lui Grothendieck. De exemplu, una dintre realizările sale majore a fost formularea dualității lui Serre în forma sa relativă - vag, într-o familie continuă de soiuri algebrice. Întreaga dovadă se referă la existența unui adjuvant drept la un anumit functor. Acesta este ceva incontestabil abstract, și nu constructiv, ci și puternic în felul său.

Exemple

Grupuri gratuite

Construcția grupurilor libere este un exemplu comun și luminos.

Fie F : Set → Grp functorul care atribuie fiecărui set Y grupul liber generat de elementele lui Y și F : Grp → Setează functorul uitat , care atribuie setul său de bază fiecărui grup X. Apoi F se adaugă la stânga la G :

Morfisme terminale. Pentru fiecare grup X , grupul FGX este grupul liber generat în mod liber de GX , adică elementele lui X. Este $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ to X}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ to X}$ omomorfismul grupurilor care trimite generatorii de FGX în elementele lui X cărora le corespund, care există datorită proprietății universale a grupurilor libere. Apoi fiecare $(GX,\varepsilon _{X})$ ${\ displaystyle (GX, \ varepsilon _ {X})}$ ${\ displaystyle (GX, \ varepsilon _ {X})}$ este un morfism terminal de la F la X , deoarece orice omomorfism de grup dintr-un grup liber FZ la X va fi factorizabil prin $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ to X}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ to X}$ printr-o singură hartă de seturi de la Z la GX . Aceasta înseamnă că ( F , G ) este o pereche adăugată.

Morfisme inițiale. Pentru orice set Y , setul GFY este pur și simplu setul de bază al grupului liber FY generat de Y. Este $\eta _{Y}:Y\to GFY$ ${\ displaystyle \ eta _ {Y}: Y \ to GFY}$ ${\ displaystyle \ eta _ {Y}: Y \ to GFY}$ harta seturilor dată de „includerea generatoarelor”. Apoi fiecare $(FY,\eta _{Y})$ ${\ displaystyle (FY, \ eta _ {Y})}$ ${\ displaystyle (FY, \ eta _ {Y})}$ è un morfismo iniziale da Y a G , poiché ogni mappa di insiemi da Y all'insieme soggiacente GW di un gruppo sarà fattorizzabile mediante $\eta _{Y}:Y\to GFY$ $\eta _{Y}:Y\to GFY$ $\eta _{Y}:Y\to GFY$ via un unico omomorfismo di gruppi da FY a W . Questo significa anche che ( F , G ) è una coppia aggiunta.

Aggiunzione Hom-Set. le mappe dal gruppo libero FY a un gruppo X corrispondono precisamente alle mappe dall'insieme Y all'insieme GX : ogni omomorfismo da FY a X è completamente determinato dalla sua azione sui generatori. Si può verificare direttamente che questa corrispondenza è una trasformazione naturale, il che significa che è un'aggiunzione Hom-Set per la coppia ( F , G ).

Aggiunzione counità-unità. Si può anche verificare direttamente che ε e η sono naturali. Quindi, una verifica diretta che essi formano un'aggiunzione counità-unità $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ è la seguente:

La prima equazione counità-unità $1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta$ $1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta$ $1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta$ dice che per ogni insieme Y la composizione

FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY

FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY

FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY

dovrebbe essere l'identità. Il gruppo intermedio FGFY è il gruppo libero generato liberamente dalle parole del gruppo libero FY . (Si pensi a queste parole come poste tra parentesi a indicare che sono generatori indipendenti.) La freccia $F(\eta _{Y})$ $F(\eta _{Y})$ $F(\eta _{Y})$ è l'omomorfismo di gruppi da FY in FGFY che manda ciascun generatore y di FY nella corrispondente parola di lunghezza uno ( y ) in qualità di generatore di FGFY . La freccia $\varepsilon _{FY}$ $\varepsilon _{FY}$ $\varepsilon _{FY}$ è l'omomorfismo di gruppi da FGFY a FY che manda ciascun generatore nella parola di FY a cui corrisponde (dunque questa mappa è "buttar via le parentesi"). La composizione di queste due mappe è perciò l'identità su FY .

La seconda equazione counità-unità $1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G$ $1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G$ $1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G$ dice che per ogni gruppo X la composizione

GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX

GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX

GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX

dovrebbe essere l'identità. Il gruppo intermedio GFGX è semplicemente l'insieme soggiacente di FGX . La freccia $\eta _{GX}$ $\eta _{GX}$ $\eta _{GX}$ è la mappa "inclusione dei generatori" dall'insieme GX all'insieme GFGX . La freccia $G(\varepsilon _{X})$ $G(\varepsilon _{X})$ $G(\varepsilon _{X})$ è la mappa d'insiemi da GFGX a GX che sottende underlies l'omomorfismo di gruppi che manda ciascun generatore di FGX nell'elemento di X cui corrisponde ("buttar via le parentesi"). La composizione di queste mappe è perciò l'identità su GX .

Costruzioni libere e funtori dimenticanti

Tutti gli oggetti liberi sono esempi di aggiunti sinistri a un funtore dimenticante che assegna a un oggetto algebrico il suo insieme soggiacente. Questi funtori liberi di tipo algebrico hanno usualmente la medesima descrizione vista nella descrizione dettagliata della situazione dei gruppi liberi qui sopra.

Funtori e limiti diagonali

Prodotti , prodotti fibrati , equalizzatori , e nuclei sono tutti esempi della nozione categoriale di limite . Ogni funtore di limite è aggiunto destro a un corrispondente funtore (purché che la categoria abbia la tipologia di limiti in questione), e la counità dell'aggiunzione fornisce la definizione delle mappe dall'oggetto limite (vale a dire il funtore diagonale sul limite, nella categoria dei funtori). Seguono alcuni esempi specifici.

Prodotti Sia Π : Grp ² → Grp il funtore che assegna a ogni coppia ( X ₁ , X ₂ ) il gruppo prodotto X ₁ × X ₂ , e sia Δ : Grp → Grp ² il funtore diagonale che assegna a ciascun gruppo X la coppia ( X , X ) nella categoria prodotto Grp ² . La proprietà universale del gruppo prodotto mostra che Π è aggiunto destro a Δ. La counità di questa aggiunzione è la coppia che definisce le mappe di proiezione da X ₁ × X ₂ a X ₁ e X ₂ che definisce il limite, e l'unità è l' inclusione diagonale di un gruppo X in X ₁ × X ₂ (mappando x in (x,x)).

Il prodotto cartesiano di insiemi , il prodotto di anelli, il prodotto di spazi topologici , eccetera, seguono il medesimo schema; si può inoltre estendere in modo immediato a più di due fattori. Più in generale, qualunque tipo di limite è aggiunto destro a un funtore diagonale.

Nuclei. Si consideri la categoria D degli omomorfismi di gruppi abeliani. Se f ₁ : A ₁ → B ₁ e f ₂ : A ₂ → B ₂ sono due oggetti di D , allora un morfismo da f ₁ a f ₂ è una coppia ( g _A , g _B ) di morfismi tali che g _B f ₁ = f ₂ g _A . Sia G : D → Ab il funtore che assegna a ogni omomorfismo il suo nucleo e sia F : Ab → D il funtore che manda il gruppo A nell'omomorfismo A → 0. Allora G è aggiunto destro a F , il che esprime la proprietà universale dei nuclei. La counità dell'aggiunzione è l'inclusione del nucleo di un omomorfismo nel dominio dell'omomorfismo, e l'unità è il morfismo che identifica il gruppo A con il nucleo dell'omomorfismo A → 0.

Una opportuna variante di questo esempio mostra anche che i funtori nucleo di spazi vettoriali e di moduli sono aggiunti destri. Analogamente, si può dimostrare che i funtori conucleo di gruppi abeliani, spazi vettoriali e moduli sono aggiunti sinistri.

Funtori e colimiti diagonali

Coprodotti , somme amalgamate , coequalizzatori , e conuclei sono tutti esempi della nozione categoriale di colimite . Ogni funtore colimite è aggiunto sinistro a un corrispondente funtore diagonale (purché che la categoria abbia la tipologia di limiti in questione), e l'unità dell'aggiunzione ornisce la definizione delle mappe dall'oggetto colimite. Seguono alcuni esempi specifici.

Coprodotti. Se F : Ab ² → Ab assegna a ogni coppia ( X ₁ , X ₂ ) di gruppi abeliani la loro somma diretta , e se G : Ab → Ab ² è il funtore che assegna a ciascun gruppo abeliano Y la coppia ( Y , Y ), allora F è aggiunto sinistro a G , ancora una volta una conseguenza della proprietà universale della somma diretta. L'unità di questa coppia aggiunta è la coppia di mappe di inclusione da X ₁ e X ₂ nella somma diretta, e la counità è la mappa additiva dalla somma diretta di ( X , X ) a X (inviando un elemento ( a , b ) della somma diretta nell'elemento a + b di X ).

Esempi analoghi sono dati dalla somma diretta di spazi vettoriali e di moduli , dal prodotto libero di gruppi e dall'unione disgiunta di insiemi.

Ulteriori esempi

Algebra

Aggiungere un'identità a un anello . Questo esempio è stato discusso nella precedente sezione relativa alle motivazioni. Dato un anello R , un elemento identità moltiplicativa può essere aggiunto prendendo R x Z e definendo uno Z -prodotto bilineare con (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1). Questo costruisce un aggiunto sinistro al funtore che manda l'anello unitario nell'anello soggiaciente.
Estensione di anelli unitari. Siano R e S anelli unitari, e ρ : R → S sia un omomorfismo di anelli . Allora S può essere visto come un R -modulo (sinistro), e il prodotto tensoriale con S produce un funtore F : R - Mod → S - Mod . Allora F è aggiunto sinistro al funtore dimenticante G : S - Mod → R - Mod .
Prodotti tensoriali . Se R è un anello unitario e M è un R -modulo destro, allora il prodotto tensoriale con M produce un funtore F : R - Mod → Ab . Il funtore G : Ab → R - Mod , definito da G ( A ) = hom _Z ( M , A ) per ogni gruppo abeliano A , è aggiunto destro a F .
Dai monoidi e gruppi agli anelli. La costruzione anello monoide integrale produce un funtore dai monoidi agli anelli. Questo funtore è aggiunto sinistro al funtore che associa a un dato anello unitario il suo monoide moltiplicativo soggiacente. Analogamente, la costruzione anello gruppo integrale produce un funtore dai gruppi agli anelli, aggiunto sinistro al funtore che assegna a un dato anello il suo gruppo delle unità . Si può anche iniziare con un campo K e considerare la categoria delle algebre K -associative invece della categoria degli anelli, per ottener gli anelli di monoidi e gruppi su K .
Campi di frazioni. Si consideri la categoria Dom _m dei domini d'integrità con monomorfismi. Il funtore dimenticante Field → Dom _m dai campi ha un aggiunto sinistro, quello che assegna a ogni dominio d'integrità il suo campo delle frazioni .
Anelli di polinomi . Sia Ring _* la categoria degli anelli commutativi unitari puntati; l'unità è la coppia (A,a) dove A è un anello e $a\in A$ $a\in A$ $a\in A$ , e inoltre i morfismi preservano gli elementi distinti. Il funtore dimenticante G: Ring _* → Ring ha un aggiunto sinistro - quello che assegna a ogni anello unitario R la coppia (R[x],x) dove R[x] è l' anello dei polinomi con coefficienti in R.
Abelianizzazione . Si consideri il funtore inclusione G : Ab → Grp dalla categoria dei gruppi abeliani alla categoria dei gruppi . Ha un aggiunto sinistro chiamato abelianizzante il quale assegna a ogni gruppo G il gruppo quoziente G ^ab = G /[ G , G ].
Il gruppo di Grothendieck . Nella teoria K , il punto di partenza è osservare che la categoria dei fibrato vettoriale su uno spazio topologico ha una struttura di monoide commutativo sotto la somma diretta . Si può ricavare un gruppo abeliano a partire da questo monoide, il gruppo di Grothendieck , aggiungendo formalmente un inverso additivo a ciascun fibrato (o classe di equivalenza). In alternativa si può osservare che il funtore che per ciascun gruppo dà il monoide soggiacente (ignorando gli inversi) ha un aggiunto sinistro. Questo è una costruzione una volta per tutte , in linea con la terza sezione discussa in precedenza. Dunque, si può imitare la costruzione dei numero negativi ; ma c'è l'altra opzione di un teorema di esistenza . Nel caso delle strutture algebriche finitarie, l'esistenza stessa può essere ricondotta all' algebra universale , o alla teoria dei modelli ; in modo naturale vi è anche una dimostrazione adattata alla teoria delle categorie.
Reciprocità di Frobenius nella teoria della rappresentazione di gruppi : si veda rappresentazione indotta . Questo esempio ha anticipato di circa un secolo la teoria generale.

Topologia

Posets

Teoria delle categorie

Una serie di aggiunzioni. Il funtore π ₀ che assegna a una categoria il suo insieme di componenti connesse è aggiunto sinistro al funtore D che assegna a un insieme la categoria discreta su tale insieme. Inoltre, D è aggiunto sinistro al funtore oggetto U che assegna a ogni categoria il suo insieme di oggetti, e infine U è aggiunto sinistro al funtore A che assegna a ogni insieme la categoria indiscreta ^[2] on that set.
Oggetto esponenziale . In una categoria cartesiana chiusa l'endofuntore C → C dato da –× A ha un aggiunto destro – ^A . Questa coppia è spesso chiamata currying e uncurrying; in molti casi particolari, essi sono anche continui e formano un omeomorfismo.
Limiti and Colimiti. I limiti ei colimiti possono essere effettivamente visti usando aggiunti quando si considerano categorie di funtori. Se C e D sono due categorie, allora il funtore limite dalla categoria dei funtori da C a D alla categoria dei funtori costanti da C a D che manda un dato funtore da C a D nel suo limite è in effetti aggiunto destro al funtore dimenticante dalla categoria dei funtori costanti da C a D alla categoria dei funtori da C a D. In modo analogo il colimite è l'aggiunto destro di questo funtore dimenticante dalla categoria dei funtori costanti da C a D alla categoria dei funtori da C a D.

Logica categoriale

Proprietà

Esistenza

Unicità

Composizione

Preservazione dei limiti

Additività

Relazioni

Costruzioni universali

Equivalenza di categorie

Monadi

Ogni aggiunzione〈 F , G , ε, η〉 dà origine a una monade associata 〈 T , η, μ〉 nella categoria D . Il funtore

T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}

T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}

T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}

è dato da T = GF . L'unità della monade

\eta :1_{\mathcal {D}}\to T

\eta :1_{\mathcal {D}}\to T

\eta :1_{\mathcal {D}}\to T

è semplicemente l'unità η dell'aggiunzione e la trasformazione moltiplicativa

\mu :T^{2}\to T\,

\mu :T^{2}\to T\,

\mu :T^{2}\to T\,

è data da μ = G ε F . Dualmente, la tripla〈 FG , ε, F η G 〉 definisce una comonade in C .

Ogni monade trae origine dalla medesima aggiunzione —di fatto, tipicamente da varie aggiunzioni— allo stesso modo. Due costruzioni, chiamate la categoria delle algebre di Eilenberg–Moore e la categoria di Kleisli sono due soluzioni estreme al problema di costruire un'aggiunzione che dia origine a una monade assegnata.

Note

^ Template:Cite arXiv
^ Indiscrete category , su nLab .

Bibliografia

Jiří Adámek, Horst Herrlich e George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories. The joy of cats ( PDF ), John Wiley & Sons, 1990, ISBN 0-471-60922-6 , Zbl 0695.18001 .
Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics , vol. 5, 2nd, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98403-8 , Zbl 0906.18001 .

Collegamenti esterni

Adjunctions Sette brevi lezioni sulle aggiunzioni.
WildCats è un pacchetto di categorie per Mathematica . Manipolazione e visualizzazione di oggetti, morfsmi, categorie, funtori, trasformazioni naturali, proprietà universali.

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Template:Cite arXiv

[2] Indiscrete category , su nLab .

[1]

[2]