Produs gratuit

Acest spațiu topologic , numit buchet, are ca grup fundamental produsul gratuit din două exemplare ale

\mathbb {Z}

{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

\ mathbb Z

. Acest grup este indicat cu simbolul

\mathbb {Z} *\mathbb {Z}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}}

. Elementele sale pot fi reprezentate ca cuvinte în litere

la

{\ displaystyle a}

la

Și

b

{\ displaystyle b}

b

(Si deasemenea

a^{-1}

{\ displaystyle a ^ {- 1}}

a ^ {{- 1}}

Și

b^{-1}

{\ displaystyle b ^ {- 1}}

b ^ {{- 1}}

)

În algebră , produsul gratuit al două grupuri $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un grup nou, în general notat cu

G*H.

{\ displaystyle G * H.}

{\ displaystyle G * H.}

Acest grup este construit luând toate cuvintele având ca litere elementele din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ si in $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , considerat mai puțin decât operații simple.

Noțiunea de grup liber este importantă în topologie , deoarece reflectă (prin grupul fundamental ) operația (numită buchet ) care constă în atașarea a două spații topologice pentru un punct.

Definiție

Lasa-i sa fie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ două grupuri. Un cuvânt în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o succesiune finită de elemente

s_{1}\ldots s_{n}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}}

unde fiecare $s_{i}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ $da$ este un element al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ tu urasti $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Produsul gratuit este definit ca ansamblul format din toate cuvintele de acest tip, considerate totuși până la o relație de echivalență . Două cuvinte sunt echivalente dacă sunt obținute unele de altele printr-un număr finit de mișcări de următorul tip:

înlăturând scrisoarea $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , element neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ tu urasti $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ;
înlocuirea unei perechi de litere consecutive $g g^{'}$ ${\ displaystyle gg '}$ ${\ displaystyle gg '}$ aparținând aceluiași grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sau $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu elementul " $g g^{'}$ ${\ displaystyle gg '}$ ${\ displaystyle gg '}$ "
inversul uneia dintre cele două mișcări anterioare.

Prin urmare, definiția unui produs gratuit este următoarea.

Produsul gratuit $G*H$ ${\ displaystyle G * H}$ $G * H$ este ansamblul tuturor cuvintelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , considerat mai puțin decât echivalența. Operația de grup este înlănțuirea cuvintelor.

Înlănțuirea a două cuvinte

s_{1}\ldots s_{n},\quad t_{1}\ldots t_{k}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}, \ quad t_ {1} \ ldots t_ {k}}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}, \ quad t_ {1} \ ldots t_ {k}}

este cuvântul

s_{1}\ldots s_{n}t_{1}\ldots t_{k}.

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n} t_ {1} \ ldots t_ {k}.}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n} t_ {1} \ ldots t_ {k}.}

Această operație se dovedește a fi eficient bine definită și satisface axiomele grupului. Elementul neutru este cuvântul gol, sau echivalent format dintr-o singură literă, elementul neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sau $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Elementul invers al unui cuvânt

s_{1}\ldots s_{n}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {n}}

este cuvântul

s_{n}^{-1}\ldots s_{1}^{-1}.

{\ displaystyle s_ {n} ^ {- 1} \ ldots s_ {1} ^ {- 1}.}

{\ displaystyle s_ {n} ^ {- 1} \ ldots s_ {1} ^ {- 1}.}

Proprietate

Prezentări

Dacă cele două grupuri $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ sunt descrise prin prezentări precum

G=\langle R_{G}\mid S_{G}\rangle

{\ displaystyle G = \ langle R_ {G} \ mid S_ {G} \ rangle}

{\ displaystyle G = \ langle R_ {G} \ mid S_ {G} \ rangle}

H=\langle R_{H}\mid S_{H}\rangle

{\ displaystyle H = \ langle R_ {H} \ mid S_ {H} \ rangle}

{\ displaystyle H = \ langle R_ {H} \ mid S_ {H} \ rangle}

unde este $R_{G}$ ${\ displaystyle R_ {G}}$ ${\ displaystyle R_ {G}}$ Și $S_{G}$ ${\ displaystyle S_ {G}}$ ${\ displaystyle S_ {G}}$ sunt seturi de generatori și, respectiv, relații, atunci

G*H=\langle R_{G}\cup R_{H}\mid S_{G}\cup S_{H}\rangle .

{\ displaystyle G * H = \ langle R_ {G} \ cup R_ {H} \ mid S_ {G} \ cup S_ {H} \ rangle.}

{\ displaystyle G * H = \ langle R_ {G} \ cup R_ {H} \ mid S_ {G} \ cup S_ {H} \ rangle.}

^[1]

Cu alte cuvinte, o prezentare gratuită a produsului este construită prin combinarea celor două prezentări.

Asociativitate și comutativitate

Produsele gratuite

G*H,\quad H*G

{\ displaystyle G * H, \ quad H * G}

{\ displaystyle G * H, \ quad H * G}

sunt izomorfi în mod natural (de fapt, sunt doar același grup). Prin urmare, putem spune că operațiunea $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ este comutativ . Această operație este, de asemenea, asociativă , în sensul că grupurile

(G*H)*K,\quad G*(H*K)\,\!

{\ displaystyle (G * H) * K, \ quad G * (H * K) \, \!}

{\ displaystyle (G * H) * K, \ quad G * (H * K) \, \!}

sunt izomorfe. Prin urmare, putem omite parantezele și putem vorbi mai general despre produsul gratuit între $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ grupuri

G_{1}*\cdots *G_{k}.

{\ displaystyle G_ {1} * \ cdots * G_ {k}.}

{\ displaystyle G_ {1} * \ cdots * G_ {k}.}

Operațiunea $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ are și un element neutru , grupul banal : de fapt, grupurile

G*\{e\},\quad G

{\ displaystyle G * \ {e \}, \ quad G}

{\ displaystyle G * \ {e \}, \ quad G}

sunt izomorfe. Cu toate acestea, nu există un element invers pentru $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ : dat un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , un grup nu poate fi găsit $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ pentru care $G*H$ ${\ displaystyle G * H}$ $G * H$ este grupul banal, deoarece cardinalitatea sa este cel puțin la fel de mare ca cea a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Reprezentant redus

Fiecare element al unui produs gratuit $G*H$ ${\ displaystyle G * H}$ $G * H$ se exprimă într-un mod unic ca un cuvânt redus , adică ca un cuvânt

s_{1}\ldots s_{k}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {k}}

{\ displaystyle s_ {1} \ ldots s_ {k}}

unde se mențin următoarele proprietăți:

două litere consecutive aparțin unor grupuri distincte,
Nu $s_{i}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ $da$ este un element neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ tu urasti $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Fiecare cuvânt poate fi adus într-o formă redusă cu ușurință cu următoarele mișcări:

dacă două litere consecutive $g_{1}g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {1} g_ {2}}$ ${\ displaystyle g_ {1} g_ {2}}$ aparțin aceluiași grup, înlocuiți perechea cu litera $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ definit ca element $g=g_{1}g_{2}$ ${\ displaystyle g = g_ {1} g_ {2}}$ ${\ displaystyle g = g_ {1} g_ {2}}$ ;
în cazul în care o $s_{i}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ $da$ este un element neutru, îndepărtați-l.

Cuvântul redus care reprezintă elementul neutru este cuvântul gol, care nu conține litere.

Unicitatea reprezentării face ușor de înțeles dacă două cuvinte diferite reprezintă același element.

Cardinalitatea

De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ sunt două grupuri non-banale, apoi produsul gratuit $G*H$ ${\ displaystyle G * H}$ $G * H$ are cardinalitate infinită. De fapt, am luat un articol $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ambele diferite de elementul neutru, subgrupul pe care îl generează este cu siguranță infinit, deoarece conține elemente infinite de acest tip:

g,gh,ghg,ghgh,ghghg,\ldots

{\ displaystyle g, gh, ghg, ghgh, ghghg, \ ldots}

{\ displaystyle g, gh, ghg, ghgh, ghghg, \ ldots}

Aceste elemente sunt toate distincte deoarece sunt exprimate într-o formă redusă.

Exemple

Grup gratuit

Același subiect în detaliu: grup gratuit .

Grupul fundamental al acestui trandafir cu 4 petale este grupul liber

\mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\mathbb {Z}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}}

de ordinul 4.

Grupul de comenzi gratuite $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este grupul

\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ cdots * \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ cdots * \ mathbb {Z}}

obținut ca produs gratuit al $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ grupați copii ale numerelor întregi $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$ .

Produs al grupărilor ciclice

Grupul

\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} * \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} * \ mathbb {Z} _ {2}}

poate fi descris după cum urmează. Fiecare grup $\mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ are un singur element non-banal: sunt $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ elementele non-banale ale celor două grupuri. Elementele produsului gratuit sunt exact următoarele cuvinte:

e,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,\ldots

{\ displaystyle e, a, b, ab, ba, aba, bab, abab, baba, \ ldots}

{\ displaystyle e, a, b, ab, ba, aba, bab, abab, baba, \ ldots}

Subgrupul generat de $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$

\{(ab)^{n}\}=\{\ldots ,baba,ba,e,ab,abab,ababab,\ldots \}

{\ displaystyle \ {(ab) ^ {n} \} = \ {\ ldots, baba, ba, e, ab, abab, ababab, \ ldots \}}

{\ displaystyle \ {(ab) ^ {n} \} = \ {\ ldots, baba, ba, e, ab, abab, ababab, \ ldots \}}

are indice 2 și este izomorf a $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$ .

Aplicații

Același subiect în detaliu: teorema lui Van Kampen .

Funcționarea gratuită a produsului este foarte importantă în topologie , deoarece este legată de o operație numită buchet . Această operație constă în construirea unui spațiu topologic pornind de la două spații date $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , identificarea unui punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu una dintre $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Noul spațiu topologic este în general indicat cu simbolul

X\vee Y.

{\ displaystyle X \ vee Y.}

{\ displaystyle X \ vee Y.}

Dacă spațiile topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt conectate prin arcuri și destul de „bune” (adică sunt contractile la nivel local ) grupul fundamental al buchetului este produsul gratuit al grupurilor fundamentale de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ :

\pi (X\vee Y)=\pi (X)*\pi (Y).

{\ displaystyle \ pi (X \ vee Y) = \ pi (X) * \ pi (Y).}

{\ displaystyle \ pi (X \ vee Y) = \ pi (X) * \ pi (Y).}

Acest fapt este o consecință a teoremei lui Van Kampen . De exemplu, grupul fundamental al unui buchet de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ circumferințele este grupul liber de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Grupul fundamental al unui buchet de două planuri proiective este

\pi (\mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2})=\pi (\mathbb {RP} ^{2})*\pi (\mathbb {RP} ^{2})=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2},

{\ displaystyle \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2} \ vee \ mathbb {RP} ^ {2}) = \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2}) * \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2}) = \ mathbb {Z} _ {2} * \ mathbb {Z} _ {2},}

{\ displaystyle \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2} \ vee \ mathbb {RP} ^ {2}) = \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2}) * \ pi (\ mathbb {RP} ^ {2}) = \ mathbb {Z} _ {2} * \ mathbb {Z} _ {2},}

produs gratuit din două grupe ciclice . Acest grup este infinit.

Notă

^ (EN) IN Shmel'kin, Free product of groups , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and the European Mathematical Society, 2002.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) IN Shmel'kin, Free product of groups , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and the European Mathematical Society, 2002.

[1]