Algebră universală

Algebra universală este domeniul matematicii care studiază ideile comune tuturor structurilor algebrice . Se leagă de diferitele subiecte din secțiunea 08-XX a schemei de clasificare MSC2000 .

Idei de bază

Din punct de vedere al algebrei universale, o algebră (sau algebră abstractă ) este o mulțime A cu un set de operații pe A. O operațiune n - aer pe A este o funcție care ia n elemente din A și returnează un singur element din A. Astfel, o operație cu 0 aer (sau operație nulă ) este pur și simplu un element al lui A sau o constantă , adesea notată printr-o literă precum a . O operație cu 1 aer (sau operație unitară ) este pur și simplu o funcție de la A la A , adesea notată printr-un simbol plasat în fața argumentului său, cum ar fi ~ x . O operațiune cu 2 aeruri (sau operație binară ) este adesea menționată ca un simbol plasat în mijlocul argumentelor sale, cum ar fi x * y . Operațiile de aritate mai mare sau nedeterminată sunt de obicei indicate prin simboluri funcționale, cu argumentele plasate între paranteze și separate prin virgule, cum ar fi f ( x , y , z ) sau f ( x ₁ , ..., x _n ). În unele cazuri, sunt admise operații infinite , cum ar fi $\bigwedge _{\alpha }x_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha} x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha} x _ {\ alpha}}$ , permițând studierea teoriei rețelelor complete .

Când operațiile au fost specificate, natura algebrei poate fi limitată în continuare de axiome , care în algebra universală trebuie să ia forma unor ecuații. Un exemplu este axioma asociativă pentru o operație binară, dată de ecuația x * ( y * z ) = ( x * y ) * z . Axioma este considerată valabilă pentru toate elementele x , y și z ale mulțimii A.

Potrivit lui Yde Venema, „algebra universală poate fi privită ca o ramură specială a teoriei modelelor , în care ne ocupăm de structuri care au doar operații (adică nu relații) și în care limbajul pe care îl folosim pentru a vorbi despre aceste structuri folosește doar ecuații. . " Cu alte cuvinte, structurile sunt de așa natură încât pot fi definite în orice categorie cu un produs finit .

Grupuri

Pentru a vedea cum funcționează acest lucru, luați în considerare definirea unui grup . În mod normal, un grup este definit în termenii unei singure operații binare *, sub rezerva următoarelor axiome:

Asociativitate : x * ( y * z ) = ( x * y ) * z .
Element de identitate : există un element e astfel încât e * x = x = x * e .
Element invers : Pentru fiecare x , există un element i astfel încât x * i = e = i * x .

(Uneori poate fi întâlnită o axiomă numită „închidere”, care afirmă: x * y aparține mulțimii A dacă x și y îi aparțin. Dar din punctul de vedere al algebrei universale, acest lucru este deja implicat atunci când se definește * a ' operație binară.)

Acum această definiție a unui grup este problematică din punctul de vedere al algebrei universale. Motivul este că axioma elementului identitar și inversul nu sunt exprimate pur în termeni de ecuații, ci implică sintagma „există ... astfel încât”. Acest „nu este permis” în algebra universală. Soluția nu este dificilă: adăugăm o operație nulară și și o operație unară ~, pe lângă operația binară *, și apoi rescriem axiomele după cum urmează:

Asociativitate: x * ( y * z ) = ( x * y ) * z .
Element de identitate: e * x = x = x * e .
Element invers: x * (~ x ) = e = (~ x ) * x .

(Bineînțeles, scriem „ x ^-1 ” în locul lui „~ x ”, care arată cum se poate modifica notația operațiilor de artă mică.)

acum, trebuie să verificați dacă toate acestea surprind definiția grupului. De fapt, poate fi necesar să specificați mai multe informații decât definiția obișnuită a unui grup. La urma urmei, nimic din definiția unui grup nu afirmă că elementul de identitate e este unic ; dacă există un alt element e ' , atunci valoarea operatorului nul e este ambiguă. Cu toate acestea, aceasta nu este o problemă, deoarece elementele de identitate sunt întotdeauna unice. Prin urmare, definiția de grup a algebrei universale este echivalentă cu definiția obișnuită.

Formulare

Același subiect în detaliu: Modul (algebră) .

Alte probleme

Odată ce operațiile și axiomele pentru algebră au fost definite, este posibil să se definească noțiunea de omomorfism între două algebre A și B. Un omomorfism h : A → B este pur și simplu o funcție de la setul A la setul B astfel încât, pentru orice operație f (de aritate, să zicem, n ), h ( f _A ( x ₁ , ..., x _n )) = f _B ( h ( x ₁ ), ..., h ( x _n )). (Aici s-au folosit diferite indicii pe f pentru a indica diferite versiuni ale lui f în A sau B. În practică este clar din context, deci indicii sunt de obicei omiși). De exemplu, dacă e este o constantă (operație nulară), atunci h ( e _A ) = e _B. Dacă ~ este o operație unară, atunci h (~ x ) = ~ h ( x ). Dacă * este o operație binară, atunci h ( x * y ) = h ( x ) * h ( y ). Si asa mai departe. Vezi și Homomorfism .

Numărul rezultatelor algebrei universale este foarte mare. Motivația pentru câmp sunt numeroasele exemple de algebre (în sensul algebrei universale), cum ar fi monoizii , inelele și rețelele . Înainte de venirea algebrei universale, multe teoreme (în special teoremele izomorfismului) au fost dovedite separat în fiecare dintre aceste domenii, dar cu algebră universală, ele pot fi dovedite odată pentru totdeauna în orice fel de sistem algebric.

Un program și mai general de-a lungul acestei linii este dus mai departe de teoria categoriilor . Teoria categoriilor se aplică în multe situații în care algebra universală nu se aplică, extinzând sfera teoremelor. Dimpotrivă, unele teoreme care sunt valabile în algebra universală nu sunt generalizate în niciun fel în teoria categoriilor. Deci ambele câmpuri sunt utile. Conexiunea este că, având în vedere o listă de operații și axiome, algebrele și homomorfismele corespunzătoare sunt obiecte și morfisme ale unei categorii.

Bibliografie

Paul Moritz Cohn (1971): Universal Algebra , Feltrinelli
J. Levy Bruhl (1968): Introducere aux structures algebriques , Dunod
G. Graetzer (1979): Universal algebra , 2nd. ediție, Springer
SN Burris, HP Sankappanavar (1981): Un curs în algebră universală , Springer. Acum, de asemenea, disponibil gratuit online
Bergman, George M.: O invitație la algebră generală și construcții universale (Henry Helson, 15 Crescent, Berkeley CA, 94708) 1998, 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1 .

linkuri externe

( EN ) A Course in Universal Algebra este o carte online gratuită de Stanley N. Burris și HP Sankappanavar

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85003433

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică