Teorema lui Cauchy (mecanica continuum)

In mecanica continua , teorema lui Cauchy, de asemenea , cunoscut sub numele de teorema Cauchy-Poisson, afirmă că, într - un domeniu de fluid supus în masă și de contact forțelor , rezultanta tensiunilor care acționează asupra suprafeței oricărui punct în conformitate cu o poziție generică ${\underline {n}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ este definit în mod unic odată ce tensiunile au fost referite la o poziție cartesiană . În definiția forțelor de contact, de fapt, ne referim la o poziție generică ${\underline {n}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ a suprafeței , pentru care rezultatul eforturilor ar putea avea grade infinite de libertate , făcând problema nedeterminată. Cu alte cuvinte, teorema lui Cauchy-Poisson afirmă că ecuațiile cardinale ale staticii admit, pe lângă forma generală, una locală.

Demonstrație

Tetraedrul lui Cauchy sub stres

Luat un sistem cartezian de referință $\{{\hat {i}}_{x},\ {\hat {i}}_{y},\ {\hat {i}}_{z}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ hat {i}} _ {x}, \ {\ hat {i}} _ {y}, \ {\ hat {i}} _ {z} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ hat {i}} _ {x}, \ {\ hat {i}} _ {y}, \ {\ hat {i}} _ {z} \}}$ centrat în $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ și cu orientare arbitrară, pe care tensiunea este dată de distribuțiile de solicitări:

{\begin{aligned}&{\underline {\phi }}_{\,x}(P_{0})=\{t_{xx},\ t_{xy},\ t_{xz}\}\\&{\underline {\phi }}_{\,y}(P_{0})=\{t_{yx},\ t_{yy},\ t_{yz}\}\\&{\underline {\phi }}_{\,z}(P_{0})=\{t_{zx},\ t_{zy},\ t_{zz}\}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underline {\ phi}} _ {\, x} (P_ {0}) = \ {t_ {xx}, \ t_ {xy}, \ t_ {xz} \ } \\ & {\ underline {\ phi}} _ {\, y} (P_ {0}) = \ {t_ {yx}, \ t_ {yy}, \ t_ {yz} \} \\ & {\ subliniați {\ phi}} _ {\, z} (P_ {0}) = \ {t_ {zx}, \ t_ {zy}, \ t_ {zz} \} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underline {\ phi}} _ {\, x} (P_ {0}) = \ {t_ {xx}, \ t_ {xy}, \ t_ {xz} \ } \\ & {\ underline {\ phi}} _ {\, y} (P_ {0}) = \ {t_ {yx}, \ t_ {yy}, \ t_ {yz} \} \\ & {\ subliniați {\ phi}} _ {\, z} (P_ {0}) = \ {t_ {zx}, \ t_ {zy}, \ t_ {zz} \} \ end {align}}}

pornind de la o combinație liniară a acestora este posibil să se obțină oricare ${\underline {\phi }}_{\,n}(P_{0})$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n} (P_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n} (P_ {0})}$ , adică cunoașterea a trei distribuții ale tensiunii, relativ la trei tăieturi reciproc ortogonale, permite cunoașterea întregii stări de solicitare.

Tetraedrice cartier de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ , identificat prin puncte $P_{0}P_{x}P_{y}P_{z}$ ${\ displaystyle P_ {0} P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ ${\ displaystyle P_ {0} P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ și volum $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ , se numește tetraedru al lui Cauchy . Fata $P_{x}P_{y}P_{z}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ posedă o minciună constantă ${\underline {n}}=\{n_{x},\ n_{y},\ n_{z}\}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}} = \ {n_ {x}, \ n_ {y}, \ n_ {z} \}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}} = \ {n_ {x}, \ n_ {y}, \ n_ {z} \}}$ , ale cărui componente sunt cosinusii care conduc stresul. Pe fata $P_{y}P_{0}P_{z}$ ${\ displaystyle P_ {y} P_ {0} P_ {z}}$ ${\ displaystyle P_ {y} P_ {0} P_ {z}}$ va acționa distribuirea eforturilor ${\bar {\phi }}_{x}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {x}}$ , pe $P_{x}P_{0}P_{z}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {0} P_ {z}}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {0} P_ {z}}$ va acționa ${\bar {\phi }}_{y}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {y}}$ , pe $P_{x}P_{0}P_{y}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {0} P_ {y}}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {0} P_ {y}}$ va acționa ${\bar {\phi }}_{z}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {z}}$ și în cele din urmă $P_{x}P_{y}P_{z}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ ${\ displaystyle P_ {x} P_ {y} P_ {z}}$ va acționa ${\bar {\phi }}_{n}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} _ {n}}$ . Deci, ia în considerare acest domeniu fluid $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ supus acțiunilor de contact pe toate cele patru fețe. Apelare $dA_{n}$ ${\ displaystyle dA_ {n}}$ ${\ displaystyle dA_ {n}}$ areola infinitesimală în care acționează tensiunea, $dA_{i}$ ${\ displaystyle dA_ {i}}$ ${\ displaystyle dA_ {i}}$ sunt proiecțiile asupra planurilor coordonate ale $dA_{n}$ ${\ displaystyle dA_ {n}}$ ${\ displaystyle dA_ {n}}$ :

{\begin{aligned}&dA_{x}=dA_{n}n_{x}\\&dA_{y}=dA_{n}n_{y}\\&dA_{z}=dA_{n}n_{z}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & dA_ {x} = dA_ {n} n_ {x} \\ & dA_ {y} = dA_ {n} n_ {y} \\ & dA_ {z} = dA_ {n } n_ {z} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & dA_ {x} = dA_ {n} n_ {x} \\ & dA_ {y} = dA_ {n} n_ {y} \\ & dA_ {z} = dA_ {n } n_ {z} \ end {align}}}

The ${\underline {\phi }}_{\,i}(P_{0})$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, i} (P_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, i} (P_ {0})}$ ele pot fi considerate aplicate în centrulidele fețelor tetraedrului Cauchy, deoarece erorile sunt infinitezimale; în plus, forța gravitațională acționează și în centrul de greutate al tetraedrului ${\underline {F}}_{G}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}} _ {G}}$ ${\ displaystyle {\ underline {F}} _ {G}}$ . Prin urmare, echilibrul de traducere este:

{\begin{aligned}&{\underline {\phi }}_{\,n}dA_{n}-{\underline {\phi }}_{\,x}dA_{x}-{\underline {\phi }}_{\,y}dA_{y}-{\underline {\phi }}_{\,z}dA_{z}-{\cancel {{\underline {F}}_{G}dV}}=\\=\ &{\underline {\phi }}_{\,n}{\cancel {dA_{n}}}-{\underline {\phi }}_{\,x}{\cancel {dA_{n}}}n_{x}-{\underline {\phi }}_{\,y}{\cancel {dA_{n}}}n_{y}-{\underline {\phi }}_{\,z}{\cancel {dA_{n}}}n_{z}=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underline {\ phi}} _ {\, n} dA_ {n} - {\ underline {\ phi}} _ {\, x} dA_ {x} - {\ subliniere {\ phi}} _ {\, y} dA_ {y} - {\ underline {\ phi}} _ {\, z} dA_ {z} - {\ cancel {{\ underline {F}} _ {G } dV}} = \\ = \ & {\ underline {\ phi}} _ {\, n} {\ cancel {dA_ {n}}} - {\ underline {\ phi}} _ {\, x} { \ cancel {dA_ {n}}} n_ {x} - {\ underline {\ phi}} _ {\, y} {\ cancel {dA_ {n}}} n_ {y} - {\ underline {\ phi} } _ {\, z} {\ cancel {dA_ {n}}} n_ {z} = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underline {\ phi}} _ {\, n} dA_ {n} - {\ underline {\ phi}} _ {\, x} dA_ {x} - {\ subliniere {\ phi}} _ {\, y} dA_ {y} - {\ underline {\ phi}} _ {\, z} dA_ {z} - {\ cancel {{\ underline {F}} _ {G } dV}} = \\ = \ & {\ underline {\ phi}} _ {\, n} {\ cancel {dA_ {n}}} - {\ underline {\ phi}} _ {\, x} { \ cancel {dA_ {n}}} n_ {x} - {\ underline {\ phi}} _ {\, y} {\ cancel {dA_ {n}}} n_ {y} - {\ underline {\ phi} } _ {\, z} {\ cancel {dA_ {n}}} n_ {z} = 0 \ end {align}}}

din care rezultă că

{\underline {\phi }}_{\,n}(P_{0})={\underline {\phi }}_{\,x}(P_{0})\,n_{x}\ +{\underline {\phi }}_{\,y}(P_{0})\,n_{y}+{\underline {\phi }}_{\,z}(P_{0})\,n_{z}\implies {\begin{cases}\phi _{nx}=t_{xx}n_{x}+t_{yx}n_{y}+t_{zx}n_{z}\\\phi _{ny}=t_{xy}n_{x}+t_{yy}n_{y}+t_{zy}n_{z}\\\phi _{nx}=t_{xz}n_{x}+t_{yz}n_{y}+t_{zz}n_{z}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n} (P_ {0}) = {\ underline {\ phi}} _ {\, x} (P_ {0}) \, n_ {x} \ + {\ underline {\ phi}} _ {\, y} (P_ {0}) \, n_ {y} + {\ underline {\ phi}} _ {\, z} (P_ {0}) \ , n_ {z} \ implică {\ begin {cases} \ phi _ {nx} = t_ {xx} n_ {x} + t_ {yx} n_ {y} + t_ {zx} n_ {z} \\\ phi _ {ny} = t_ {xy} n_ {x} + t_ {yy} n_ {y} + t_ {zy} n_ {z} \\\ phi _ {nx} = t_ {xz} n_ {x} + t_ {yz} n_ {y} + t_ {zz} n_ {z} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n} (P_ {0}) = {\ underline {\ phi}} _ {\, x} (P_ {0}) \, n_ {x} \ + {\ underline {\ phi}} _ {\, y} (P_ {0}) \, n_ {y} + {\ underline {\ phi}} _ {\, z} (P_ {0}) \ , n_ {z} \ implică {\ begin {cases} \ phi _ {nx} = t_ {xx} n_ {x} + t_ {yx} n_ {y} + t_ {zx} n_ {z} \\\ phi _ {ny} = t_ {xy} n_ {x} + t_ {yy} n_ {y} + t_ {zy} n_ {z} \\\ phi _ {nx} = t_ {xz} n_ {x} + t_ {yz} n_ {y} + t_ {zz} n_ {z} \ end {cases}}}

ceea ce echivalează cu afirmarea liniarității lui ${\underline {\phi }}_{\,n}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} _ {\, n}}$ în comparație cu ${\underline {n}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$ . Relația anterioară poate fi rescrisă sub formă de tensor ca:

{\begin{Bmatrix}\phi _{nx}\\\phi _{ny}\\\phi _{nz}\end{Bmatrix}}_{(P_{0})}{\!\!\!\!\!\!}=\underbrace {\begin{bmatrix}t_{xx}&t_{yx}&t_{zx}\\t_{xy}&t_{yy}&t_{zy}\\t_{xz}&t_{yz}&t_{zz}\end{bmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\underline {T}}}}\cdot {\begin{Bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\n_{z}\end{Bmatrix}}\implies {\underline {\phi }}_{\,n}={\underline {\underline {T}}}\cdot {\underline {n}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ phi _ {nx} \\\ phi _ {ny} \\\ phi _ {nz} \ end {Bmatrix}} _ {(P_ {0})} {\! \ ! \! \! \! \!} = \ underbrace {\ begin {bmatrix} t_ {xx} & t_ {yx} & t_ {zx} \\ t_ {xy} & t_ {yy} & t_ {zy} \ \ t_ {xz} & t_ {yz} & t_ {zz} \ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {T}}}} \ cdot {\ begin {Bmatrix} n_ {x} \ \ n_ {y} \ \ n_ {z} \ end {Bmatrix}} \ implic {{underline {\ phi}} _ {\, n} = {\ underline {\ underline {T}}} \ cdot {\ underline {n}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ phi _ {nx} \\\ phi _ {ny} \\\ phi _ {nz} \ end {Bmatrix}} _ {(P_ {0})} {\! \ ! \! \! \! \!} = \ underbrace {\ begin {bmatrix} t_ {xx} & t_ {yx} & t_ {zx} \\ t_ {xy} & t_ {yy} & t_ {zy} \ \ t_ {xz} & t_ {yz} & t_ {zz} \ end {bmatrix}} _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {T}}}} \ cdot {\ begin {Bmatrix} n_ {x} \ \ n_ {y} \ \ n_ {z} \ end {Bmatrix}} \ implic {{underline {\ phi}} _ {\, n} = {\ underline {\ underline {T}}} \ cdot {\ underline {n}}}

unde este ${\underline {\underline {T}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {T}}}}$ este tensorul de tensiune în $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ , știut că este posibil să se cunoască complet starea de stres.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică