Teorema lui Krasnoselskii

În matematică , teorema Krasnoselskii este o teoremă a punctului fix numită după matematicianul Mark Krasnoselskii . Se referă la existența unui punct fix pentru funcția dată de suma unei funcții continue și compacte cu o contracție . Rezultatul a fost generalizat de Edmunds și Reinermann pentru cazul unei funcții non-expansive și puternic continue .

Declarația lui Krasnoselskii

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Banach , e $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ închis , convex și nu gol .

Lasa-i sa fie $A,B:C\to X$ ${\ displaystyle A, B: C \ to X}$ ${\ displaystyle A, B: C \ to X}$ funcții astfel încât:

$B(x)+A(y)\in M\,\forall x,y\in M$ ${\ displaystyle B (x) + A (y) \ în M \, \ forall x, y \ în M}$ ${\ displaystyle B (x) + A (y) \ în M \, \ forall x, y \ în M}$
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este continuu și compact
$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o contracție cu constanta Lipschitz $\alpha <1$ ${\ displaystyle \ alpha <1}$ $\ alpha <1$

atunci există $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ că este un punct fix pentru $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ ${\ displaystyle A + B}$ , adică satisface $A(x)+B(x)=x$ ${\ displaystyle A (x) + B (x) = x}$ ${\ displaystyle A (x) + B (x) = x}$ . ^[1]

Extinderea lui Edmunds și Reinermann

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Banach , e $C\subset X$ ${\ displaystyle C \ subset X}$ ${\ displaystyle C \ subset X}$ un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ închis , convex , limitat și nu gol . De sine $F_{1}:C\to X$ ${\ displaystyle F_ {1}: C \ to X}$ ${\ displaystyle F_ {1}: C \ to X}$ este o funcție non-expansivă e $F_{2}:C\to X$ ${\ displaystyle F_ {2}: C \ to X}$ ${\ displaystyle F_ {2}: C \ to X}$ o funcție puternic continuă, apoi suma $F_{1}+F_{2}:C\to X$ ${\ displaystyle F_ {1} + F_ {2}: C \ to X}$ ${\ displaystyle F_ {1} + F_ {2}: C \ to X}$ are un punct fix. ^[2]

Notă

Bibliografie

( EN ) Smart, DR, Teoreme cu punct fix , Cambridge Tracts in Mathematics, nr. 66, Cambridge University Press, Londra (1974), ISBN = 0-521-29833-4.
( EN ) Zeidler, Eberhard: " Analiza funcțională neliniară și aplicațiile sale . I", Springer-Verlag (New York, 1986), ISBN = 0-387-90914-1.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) R. Vijayaraju - Teoreme punct fix pentru o sumă de două mapări în spații convexe local ( PDF ), su emis.de.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Cezar Avramescu - Câteva remarci asupra teoremei punctului fix al lui Krasnoselskii

[2] Kristine Ry, Christian Potzsche - Comportamentul asimptotic al recursivelor prin teoria punctului fix

[1]

[2]