Funcție non-expansivă

În matematică , o funcție non-expansivă este o funcție continuă între spații metrice care, așa cum sugerează termenul, nu împinge punctele.

Mai exact, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații metrice și $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ atunci se spune că nu este expansiv dacă

d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y)

{\ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq d_ {X} (x, y)}

d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq d_ {X} (x, y)

pentru fiecare

X, y

{\ displaystyle x, y}

X y

în

X

{\ displaystyle X}

X

.

O funcție non-expansivă este Lipschitz cu o constantă Lipschitz 1. Dacă în special se menține egalitatea și funcția este, de asemenea, o bijecție cu un invers non-expansiv, atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o izometrie .

Teorema

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu reglementat , $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un subset compact și convex al acestuia e $T:S\to S$ ${\ displaystyle T: S \ to S}$ $T: S \ to S$ atunci nu este expansiv $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ admite punct fix , adică există un $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ astfel încât $T(x)=x$ ${\ displaystyle T (x) = x}$ $T (x) = x$ .

Demonstrație

Pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr natural și pentru un număr fix $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ definim $f_{n}(x)=(1-k_{n})x_{0}+k_{n}T(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = (1-k_ {n}) x_ {0} + k_ {n} T (x)}$ $f_ {n} (x) = (1-k_ {n}) x_ {0} + k_ {n} T (x)$ , unde este $(k_{n})_{n\in N}\subset (0,1)$ ${\ displaystyle (k_ {n}) _ {n \ în N} \ subset (0,1)}$ $(k_ {n}) _ {{n \ în N}} \ subset (0,1)$ este o succesiune de numere reale care converg la 1. Este

\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|k_{n}(T(x)-T(y)\|=k_{n}\|T(x)-T(y)\|<\|T(x)-T(y)\|\leq \|x-y\|

{\ displaystyle \ | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ | = \ | k_ {n} (T (x) -T (y) \ | = k_ {n} \ | T ( x) -T (y) \ | <\ | T (x) -T (y) \ | \ leq \ | xy \ |}

\ | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ | = \ | k_ {n} (T (x) -T (y) \ | = k_ {n} \ | T (x) - T (y) \ | <\ | T (x) -T (y) \ | \ leq \ | xy \ |

,

deci pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ natural $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ este o contracție ; apoi, prin teorema punctului fix Banach-Caccioppoli admite un singur punct fix $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ .

Este $(x_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ $(x_ {n}) _ {n}$ succesiunea punctelor fixe. Este conținut în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , deci fiind $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ compact pentru secvențe există o subsecvență $(x_{p})_{p}\subset (x_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (x_ {p}) _ {p} \ subset (x_ {n}) _ {n}}$ $(x_ {p}) _ {p} \ subset (x_ {n}) _ {n}$ convergând în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ la un punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Atunci este

\|y-T(y)\|\leq \|y-x_{p}\|+\|x_{p}-T(x_{p})\|+\|T(x_{p})-T(y)\|

{\ displaystyle \ | yT (y) \ | \ leq \ | y-x_ {p} \ | + \ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | + \ | T (x_ {p}) -T (y) \ |}

\ | yT (y) \ | \ leq \ | y-x_ {p} \ | + \ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | + \ | T (x_ {p}) - T ( y) \ |

.

Primul și ultimul sumand sunt infinitezimale pentru ipoteza de mai sus $x_{p}$ ${\ displaystyle x_ {p}}$ $x_ {p}$ și pentru continuitatea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Al doilea addendum este

\|x_{p}-T(x_{p})\|=\|f_{p}(x_{p})-T(x_{p})\|=\|(1-k_{p})x_{0}+k_{p}T(x_{p})-T(x_{p})\|

{\ displaystyle \ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | = \ | f_ {p} (x_ {p}) - T (x_ {p}) \ | = \ | (1-k_ { p}) x_ {0} + k_ {p} T (x_ {p}) - T (x_ {p}) \ |}

\ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | = \ | f_ {p} (x_ {p}) - T (x_ {p}) \ | = \ | (1-k_ {p}) x_ {0} + k_ {p} T (x_ {p}) - T (x_ {p}) \ |

,

deci când $p\to \infty$ ${\ displaystyle p \ to \ infty}$ $p \ to \ infty$ primul addendum din cadrul normei merge la 0 iar al doilea și al treilea merge la $T(y)$ ${\ displaystyle T (y)}$ $Multumesc)$ , acesta este $\|x_{p}-T(x_{p})\|\to 0$ ${\ displaystyle \ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | \ to 0}$ $\ | x_ {p} -T (x_ {p}) \ | \ la 0$ .