Teoria cuantică a câmpurilor topologice

În teoria ecartamentelor și fizica matematică , o teorie cuantică topologică a câmpului (sau teoria câmpului topologic sau TQFT ) este o teorie cuantică a câmpului care calculează invarianți topologici .

Deși TQFT-urile au fost inventate de fizicieni, ele prezintă, de asemenea, un interes matematic, fiind legate, printre altele, de teoria nodurilor și teoria celor patru manifolduri în topologia algebrică și teoria spațiilor modulelor în geometria algebrică . Donaldson , Jones , Witten și Kontsevich au câștigat toți Medalia Fields pentru munca lor despre matematică legată de teoriile topologice ale câmpului.

În fizica materiei condensate , teoriile topologice ale câmpurilor cuantice sunt teoriile eficiente cu energie redusă ale stărilor ordonate topologic, cum ar fi stările cuantice fracționate ale lui Hall, stările condensate net-șir și alte stări lichide cuantice puternic corelate.

În dinamică , toate sistemele dinamice în timp continuu, cu și fără zgomot, sunt TQFT-uri de tip Witten și fenomenul de spargere spontană a supersimetriei topologice corespunzătoare include concepte bine stabilite, cum ar fi haosul , turbulența , zgomotul 1 / f și zgomotul crepitant , autocriticitate organizată etc.

Prezentare generală

Într-o teorie de câmp topologic, funcțiile de corelație nu depind de metricele spațiu-timp . Aceasta înseamnă că teoria nu este sensibilă la schimbările în forma spațiului-timp; dacă spațiul-timp se deformează sau se contractă, funcțiile de corelație nu se schimbă. În consecință, sunt invarianți topologici.

Teoriile câmpurilor topologice nu sunt foarte interesante pe spațiul Minkowski plat utilizat în fizica particulelor. Spațiul Minkowski poate fi contractat la un punct , astfel încât un TQFT aplicat pe spațiul Minkowski implică invarianți topologici triviali. În consecință, TQFT-urile sunt de obicei aplicate pe spațiu-timp curbat, cum ar fi suprafețele Riemann . Majoritatea teoriilor câmpului topologic cunoscute sunt definite pe spațiu-timp cu dimensiuni mai mici de cinci.

Se consideră că gravitația cuantică este independentă de fundal (într-un sens adecvat), iar TQFT oferă exemple de teorii de câmp independente de fond. Acest lucru a stimulat investigațiile teoretice în curs asupra acestei clase de modele.

Modele specifice

Teoriile câmpului topologic cunoscut sunt împărțite în două clase generale: TQFT de tip Schwarz și TQFT de tip Witten. TQFT-urile lui Witten sunt denumite uneori și teorii de câmp cohomologice. ^[1]

Schwarz tip TQFT

În TQFT-urile de tip Schwarz , funcțiile de corelație sau funcțiile de partiție ale sistemului sunt calculate din integrala de cale a funcționalităților de acțiune independente de metrică. De exemplu, în modelul BF, spațiul-timp este o varietate bidimensională M, observabilele sunt construite dintr-un F bidimensional bidimensional, un scalar auxiliar B și derivatele lor. Acțiunea (care determină integralul pe cale) este

S=\int _{M}BF

{\ displaystyle S = \ int _ {M} BF}

{\ displaystyle S = \ int _ {M} BF}

Metrica spațiu-timp nu apare nicăieri în teorie, deci teoria este explicit invariantă topologic. Primul exemplu a apărut în 1977 și se datorează lui Albert Schwarz; funcționalitatea sa de acțiune este:

\int _{M}A\wedge dA.

{\ displaystyle \ int _ {M} A \ wedge dA.}

{\ displaystyle \ int _ {M} A \ wedge dA.}

Un alt exemplu mai faimos este teoria Chern-Simons , care poate fi aplicată invarianților de noduri. În general, funcțiile de partiție depind de o metrică, dar exemplele anterioare sunt independente de metrică.

Tip Witten TQFT

Primul exemplu de TQFT de tip Witten a apărut într-o lucrare de Witten în 1988. ^[2] Aceasta este teoria topologică Yang-Mills în patru dimensiuni. Deși acțiunea sa funcțională conține metricul spațiu g _αβ , după o răsucire topologică se dovedește a fi independent de metrică. Independența tensorului de energie-impuls T ^αβ al sistemului de metrică depinde de faptul dacă operatorul BRST este închis. Urmând exemplul lui Witten, multe alte exemple pot fi găsite în teoria topologică a șirurilor.

TQFT-urile de tip Witten apar dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

Actiunea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din TQFT are o simetrie, adică dacă este dată $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ are loc o transformare de simetrie (de exemplu o derivată Lie ) $\delta S=0$ ${\ displaystyle \ delta S = 0}$ ${\ displaystyle \ delta S = 0}$ .
Transformarea simetriei este exactă , adică $\delta ^{2}=0$ ${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$
Există observabile existente $O_{1},\dots ,O_{n}$ ${\ displaystyle O_ {1}, \ dots, O_ {n}}$ ${\ displaystyle O_ {1}, \ dots, O_ {n}}$ care satisfac $\delta O_{i}=0$ ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = 0}$ pentru toti $i\in \{1,\dots ,n\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ .
Tensorul stres-energie (sau mărimi fizice similare) este de forma $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = \ delta G ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = \ delta G ^ {\ alpha \ beta}}$ pentru un tensor arbitrar $G^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$ .

De exemplu: ^{[3] a} primit o formă 2 $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu operatorul diferențial $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ care satisface $\delta ^{2}=0$ ${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$ , de aici și acțiunea $\textstyle S=\int _{M}B\wedge \delta B$ ${\ displaystyle \ textstyle S = \ int _ {M} B \ wedge \ delta B}$ ${\ displaystyle \ textstyle S = \ int _ {M} B \ wedge \ delta B}$ are o simetrie dacă $\delta B\wedge \delta B=0$ ${\ displaystyle \ delta B \ wedge \ delta B = 0}$ ${\ displaystyle \ delta B \ wedge \ delta B = 0}$ de cand

\delta S=\int _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int _{M}\delta B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

{\ displaystyle \ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ wedge \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta ^ {2} B = 0}

{\ displaystyle \ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ wedge \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta ^ {2} B = 0}

.

În plus, se aplică următoarele (cu condiția ca $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este independent pe $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și acționează similar cu un derivat funcțional ):

{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}} } B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ wedge \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}} } B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ wedge \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B}

.

Expresia ${\tfrac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S}$ este proporțional cu $\delta G$ ${\ displaystyle \ delta G}$ ${\ displaystyle \ delta G}$ cu o altă formă 2 $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Acum orice medie de observabile $\textstyle \left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}}$ pentru măsura Haar corespunzătoare $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este independent de câmpul „geometric” $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și, prin urmare, este topologic:

{\frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} If ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ right) = 0 }

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} If ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ right) = 0 }

A treia egalitate folosește faptul că $\delta O_{i}=\delta S=0$ ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = \ delta S = 0}$ ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = \ delta S = 0}$ și invarianța măsurii Haar sub transformări de simetrie. De cand $\textstyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$ este doar un număr, derivatul său Lie dispare.

Bibliografie

Patrick Linker, Topologic Dipole Field Theory , în The Winnower , voi. 2, 2015, p. e144311.19292, DOI : 10.15200 / winn.144311.19292 .
Albert Schwarz, Teorii topologice cuantice ale câmpului , 2000, arXiv : hep-th / 0011260 .
Edward Witten, Super-simetrie și teoria Morse , în Journal of Differential Geometry , vol. 17, n. 4, 1982, pp. 661–692, DOI : 10.4310 / jdg / 1214437492 .
Edward Witten, Teoria cuantică a câmpului topologic , în Comunicări în fizică matematică , vol. 117, nr. 3, 1988a, pp. 353-386, bibcode : 1988CMaPh.117..353W , DOI : 10.1007 / BF01223371 , MR 953828 .
Edward Witten, Modele sigme topologice , în Comunicări în fizică matematică , vol. 118, nr. 3, 1988b, pp. 411–449, Bibcode : 1988CMaPh.118..411W , DOI : 10.1007 / bf01466725 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Schwarz 2000 .

[2] Witten 1988a .

[3] Linker 2015 .

[1]

[2]

[3] a