Compactificarea lui Alexandrov

Compactificarea Alexandrov sau Alexandroff (sau compactificarea cu un punct ) a unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu compact care extinde spațiul de pornire $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ prin adăugarea unui singur punct (de obicei indicat cu $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ).

De exemplu, compactarea Alexandroff a liniei reale se obține prin adăugarea unui punct astfel încât să „unească” cele două extreme ale liniei, care în acest fel devine echivalent topologic cu circumferința $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ; în mod similar, compactarea Alexandroff a spațiului $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este sfera $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ .

Compactificarea lui Alexandroff $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ a unui spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este, într-un anumit sens, cea mai mică extensie a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care este și compact; mai exact, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atunci este un spațiu Tychonoff non-compact, dar local compact $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ este elementul minim al spațiului compactificărilor din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Prin urmare, se opune compactificării Stone-Čech , care este „cea mai mare” compactificare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Definiție

Este $(X,{\mathcal {U}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {U}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {U}})}$ un spațiu topologic . Apoi compactificarea lui Alexandroff a $(X,{\mathcal {U}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {U}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {U}})}$ este spațiu $(X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })$ ${\ displaystyle (X ^ {\ infty}, {\ mathcal {U}} ^ {\ infty})}$ ${\ displaystyle (X ^ {\ infty}, {\ mathcal {U}} ^ {\ infty})}$ , unde este:

$X^{\infty }=X\cup \{\infty \}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty} = X \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty} = X \ cup \ {\ infty \}}$ (Unde $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ nu este un element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ );
${\mathcal {U}}^{\infty }={\mathcal {U}}\cup \{V\cup \{\infty \}\mid X\setminus V{\rm {\ chiuso\ e\ compatto\ in\ }}X\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {\ infty} = {\ mathcal {U}} \ cup \ {V \ cup \ {\ infty \} \ mid X \ setminus V {\ rm {\ closed \ e \ compact \ in \}} X \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {\ infty} = {\ mathcal {U}} \ cup \ {V \ cup \ {\ infty \} \ mid X \ setminus V {\ rm {\ closed \ e \ compact \ in \}} X \}}$ .

În special, cele deschise ale $(X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })$ ${\ displaystyle (X ^ {\ infty}, {\ mathcal {U}} ^ {\ infty})}$ ${\ displaystyle (X ^ {\ infty}, {\ mathcal {U}} ^ {\ infty})}$ care conțin $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ sunt complementarele seturilor închise și compacte de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Proprietate

Includere

i:X\hookrightarrow X^{\infty }

{\ displaystyle i: X \ hookrightarrow X ^ {\ infty}}

{\ displaystyle i: X \ hookrightarrow X ^ {\ infty}}

este o funcție continuă . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este compact , imaginea lui $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este un set dens în $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ .

Compacitate

Spaţiu $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ este compact . De fapt, având în vedere o suprapunere deschisă ${\mathcal {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ din $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ , există cu siguranță o deschidere $U\in {\mathcal {R}}$ ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {R}}}$ a învelișului pe care îl conține $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Atâta timp cât $X\setminus U$ ${\ displaystyle X \ setminus U}$ ${\ displaystyle X \ setminus U}$ este compact și acoperit cu ${\mathcal {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ , există un acoperit finit ${\mathcal {R}}'$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}$ din $X\setminus U$ ${\ displaystyle X \ setminus U}$ ${\ displaystyle X \ setminus U}$ . O acoperire finită de $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ este deci dat de

{\mathcal {R}}'\cup \{U\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '\ cup \ {U \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '\ cup \ {U \}.}

Conexiune

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atunci este conectat și nu compact $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ este conectat. De fapt, dacă ar fi o uniune disjunctă a două deschise, una dintre acestea ar conține $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ iar celălalt ar fi neapărat compact. Deoarece este al lui Hausdorff, ar fi deci și închis: prin conexiune, singurul set ne-gol deschis și închis în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în sine, care, totuși, nu este compact.

Spațiul Hausdorff

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de la Hausdorff și compact local , apoi și $X^{\infty }$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ infty}}$ este de la Hausdorff și invers. De fapt pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există două cartiere disjuncte $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ : doar ia $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ cuprins într-un compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ conținând $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ complementar al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Exemple

Compactificarea $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este echivalent topologic cu sfera $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ ; includerea $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ poate fi descris prin proiecție stereografică .

Bibliografie

( EN ) John L. Kelley, Topologie generală , Springer-Verlag , 1975, ISBN 978-0-387-90125-1 .
( EN ) Ryszard Engelking, Topologie generală , Helderman Verlag Berlin , 1989, ISBN 978-0-201-08707-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VV Fedorchuk, Aleksandrov compactification , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică