Principiul celei mai mici constrângeri

Principiul celei mai mici constrângeri , enunțat în 1829 de Carl Friedrich Gauss , este un principiu variațional al mecanicii raționale , obținut prin metoda celor mai mici pătrate , a cărei formulare este echivalentul principiului lui d'Alembert . Acesta joacă un rol important în cadrul mecanicii lagrangiene și, din punct de vedere calitativ, este similar cu principiul acțiunii minime, totuși aceasta din urmă reprezintă o condiție extremă absolută, în timp ce principiul celei mai mici constrângeri este un principiu al minimului local .

Definiție

Principiul celei mai mici constrângeri afirmă că accelerațiile reale ale unui sistem mecanic format din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ masele se obțin prin minimizarea următoarei cantități:

{\mathcal {Z}}:=\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} \ cdot \ left | \, {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j} - {\ frac {\ mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} \ cdot \ left | \, {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j} - {\ frac {\ mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} \ right | ^ {2}}

unde particula j-a are masă $m_{j}$ ${\ displaystyle m_ {j}}$ $m_ {j}$ , locație $\mathbf {r} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$ și forță aplicată fără restricții $\mathbf {F} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {j}}$ acționând asupra ei. Accelerația corespunzătoare ${\ddot {\mathbf {r} }}_{j}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j}}$ satisface constrângerea impusă, care depinde în general de starea sistemului, identificată de cuplu $\{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {j} (t), {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {j} (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {j} (t), {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {j} (t) \}}$ .

Acest lucru este legat de faptul că atunci când forțele acționează asupra sistemului $\mathbf {F} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {j}}$ , și reacțiile de constrângere aferente $\mathbf {F_{c}} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ , al cărei rezultat este $\mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {j} + \ mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {j} + \ mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ , sistemul va experimenta o accelerație egală cu ${\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} + { \ frac {\ mathbf {F_ {c}} _ {j}} {m_ {j}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {a} _ {j} + \ mathbf {a_ {c}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} + { \ frac {\ mathbf {F_ {c}} _ {j}} {m_ {j}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {a} _ {j} + \ mathbf {a_ {c}} _ {j}}$ .

Principiul curbei minime a lui Hertz

Principiul de minimă curbură al lui Hertz este un caz special al principiului lui Gauss și formularea lui Jacobi a principiului acțiunii minime . Acesta prezice că nu există forțe aplicate externe sau interacțiuni, care pot fi exprimate prin energie potențială și că toate masele sunt egale. Fără pierderea generalității, masele pot fi impozitate ca unitate. În aceste condiții, cantitatea minimizată de Gauss este egală cu:

{\mathcal {Z}}=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j} \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j} \ right | ^ {2}}

Energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se păstrează și în acest caz:

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

{\ displaystyle T \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {j} \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle T \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {j} \ right | ^ {2}}

In spatiu $3n$ ${\ displaystyle 3n}$ ${\ displaystyle 3n}$ -dimensional $ds^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ 2$ este definit ca:

ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | d \ mathbf {r} _ {j} \ dreapta | ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | d \ mathbf {r} _ {j} \ dreapta | ^ {2}}

prin urmare, conservarea energiei poate fi rescrisă ca:

\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = 2T}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = 2T}

Dividend ${\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ pentru $2T$ ${\ displaystyle 2T}$ ${\ displaystyle 2T}$ se obține o altă cantitate minimizabilă:

K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}

{\ displaystyle K \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {j}} {ds ^ {2}}} \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle K \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {j}} {ds ^ {2}}} \ right | ^ {2}}

Atâta timp cât ${\sqrt {K}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {K}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {K}}}$ este curbura locală a traiectoriei în spațiu $3n$ ${\ displaystyle 3n}$ ${\ displaystyle 3n}$ -dimensional, minim $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este echivalent cu găsirea căii curburii minime, adică a geodeziei , care respectă constrângerile impuse.

Ecuația Udwadia-Kalaba

Ecuația Udwadia-Kalaba , dezvoltată în 1992 de Firdaus E. Udwadia și Robert E. Kalaba, ^[1] este o metodă de derivare a ecuațiilor de mișcare, ^[2] bazată pe principiul Gaussian cu cea mai mică constrângere. Este capabil să generalizeze reacțiile obligatorii care nu respectă principiul lui d'Alembert . ^[3] ^[4] ^[5]

Descriere

Luați un sistem cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ grade de libertate e $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ grade de constrângere, descrise de $(q_{i})_{i=1,\dots ,m}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ coordonate generalizate, al căror spațiu de fază este generat de pereche $(q_{i},{\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,m}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, m}}$ . Rețineți condițiile inițiale $(\mathbf {q} (0),{\dot {\mathbf {q} }}(0))$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q} (0), {\ dot {\ mathbf {q}}} (0))}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q} (0), {\ dot {\ mathbf {q}}} (0))}$ , avem că ecuația Udwadia-Kalaba este:

\mathbf {M} (\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)=\mathbf {Q} (\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t)+\mathbf {Q} _{c}(\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t) {\ ddot {\ mathbf {q}}} (t) = \ mathbf {Q} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t) + \ mathbf {Q} _ {c} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t) {\ ddot {\ mathbf {q}}} (t) = \ mathbf {Q} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t) + \ mathbf {Q} _ {c} (\ mathbf {\ dot {q}}, \ mathbf {q}, t)}

unde este $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ este matricea masei , adică o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ semidefinită simetrică și pozitivă , în timp ce $\mathbf {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ este suma tuturor forțelor generalizate care acționează asupra sistemului e $\mathbf {Q} _{c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c}}$ suma tuturor reacțiilor de constrângere aferente.

Dacă matricea $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ este pozitiv definit , este posibil să-l inversăm pentru a deriva în mod direct accelerațiile generalizate, în plus avem că: ^[1] ^[6]

\mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\left(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} \right)+\mathbf {K}

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c} = \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+ } \ left (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q} \ right) + \ mathbf {K}}

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c} = \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+ } \ left (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q} \ right) + \ mathbf {K}}

unde este $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ este matricea $m\times l$ ${\ displaystyle m \ times l}$ ${\ displaystyle m \ times l}$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ vectorul m, astfel încât ecuația Udwadia-Kalaba poate fi rescrisă ca $\mathbf {A} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {b}}$ , în timp ce notația $+$ ${\ displaystyle +}$ ${\ displaystyle +}$ indică pseudo-inversul lui Moore-Penrose . Termenul $\mathbf {K}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$ ia în considerare prezența constrângerilor non-ideale, prin urmare, a spus $\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ matricea de identitate , este egală cu:

\mathbf {K} =\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C}

{\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left [\ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ dreapta) ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right] \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ mathbf {C}}

{\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left [\ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ dreapta) ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right] \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ mathbf {C}}

unde este $\mathbf {C} ({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ este vectorul care, generalizând principiul d'Alembert, ia în considerare non-idealitatea constrângerilor. De fapt, avem:

\delta W_{c}=\mathbf {C} \cdot \delta \mathbf {r}

{\ displaystyle \ delta W_ {c} = \ mathbf {C} \ cdot \ delta \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ delta W_ {c} = \ mathbf {C} \ cdot \ delta \ mathbf {r}}

De sine $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ este semidefinit pozitiv, ar putea fi singular . ^[7] ^[8] Mai mult, accelerările generalizate pot să nu fie unice decât dacă au rang complet, adică egale cu $n$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ , matricea $(l+m)\times m$ ${\ displaystyle (l + m) \ times m}$ ${\ displaystyle (l + m) \ times m}$

{\hat {\mathbf {M} }}={\begin{bmatrix}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {M} \\\ mathbf {A} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {M} \\\ mathbf {A} \ end {bmatrix}}}

Dar, deoarece accelerațiile observate în sistemele mecanice din natură sunt întotdeauna unice, condiția de pe rang este necesară și suficientă pentru a obține în mod unic accelerațiile generalizate ale sistemului constrâns în fiecare moment al timpului. Prin urmare, când ${\hat {\mathbf {M} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}}}$ are rang complet, ecuațiile de mișcare ale sistemului constrâns sunt determinate în mod unic, creând un sistem auxiliar nelimitat, prin matrice $\mathbf {M} _{\mathbf {A} }=\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} = \ mathbf {M} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} = \ mathbf {M} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {A}}$ și vectorul $\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {b}}$ , astfel încât ^[8]

\mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {Q} _{c^{\prime }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} + \ mathbf {Q} _ {c ^ {\ prime}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} + \ mathbf {Q} _ {c ^ {\ prime}}}

unde este

{\begin{aligned}&\mathbf {Q} _{c^{\prime }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right)^{+}\left(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }\right)+\mathbf {K} _{\mathbf {A} }\\&\mathbf {K} _{\mathbf {A} }=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right]\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\mathbf {C} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {Q} _ {c ^ {\ prime}} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} \ left (\ mathbf { A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} \ left (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ { \ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} \ right) + \ mathbf {K} _ {\ mathbf {A}} \\ & \ mathbf {K} _ {\ mathbf {A}} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} \ left [\ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right] \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ mathbf {C} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {Q} _ {c ^ {\ prime}} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} \ left (\ mathbf { A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} \ left (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ { \ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} \ right) + \ mathbf {K} _ {\ mathbf {A}} \\ & \ mathbf {K} _ {\ mathbf {A}} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} \ left [\ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ right] \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} \ mathbf {C} \ end {align}}}

Notă

^ ^a ^b FE Udwadia și RE Kalaba, O nouă perspectivă asupra mișcării constrânse ( PDF ), în Proceedings of the Royal Society of London, Seria A , vol. 439, nr. 1906, 1992, pp. 407–410, Bibcode : 1992RSPSA.439..407U , DOI : 10.1098 / rspa.1992.0158 .
^ Udwadia, FE și Kalaba, RE, Dinamica analitică: o nouă abordare , Cambridge, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-04833-8 .
^ FE Udwadia și RE Kalaba, Despre fundamentele dinamicii analitice ( PDF ), în International Journal of Nonlinear Mechanics , vol. 37, n. 6, 2002, pp. 1079-1090, Bibcode : 2002IJNLM..37.1079U , DOI : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6 .
^ B. Calverley, Constrained or Unconstrained, That Is the Equation , în USC News , 2001.
^ F. Udwadia și R. Kalaba, Care este forma generală a ecuațiilor explicite ale mișcării pentru sistemele mecanice constrânse? ( PDF ), în Journal of Applied Mechanics , vol. 69, nr. 3, 2002, pp. 335–339, Bibcode : 2002JAM .... 69..335U , DOI : 10.1115 / 1.1459071 .
^ FE Udwadia și RE Kalaba, On motion ( PDF ), în Jurnalul Institutului Franklin , vol. 330, nr. 3, 1993, pp. 571-577, DOI : 10.1016 / 0016-0032 (93) 90099-G .
^ FE Udwadia și P. Phohomsiri, Ecuații explicite ale mișcării pentru sisteme mecanice constrânse cu matrice de masă singulară și aplicații la dinamica multi-corp ( PDF ), în Proceedings of the Royal Society of London, Seria A , vol. 462, nr. 2071, 2006, pp. 2097–2117, Bibcode : 2006RSPSA.462.2097U , DOI : 10.1098 / rspa.2006.1662 .
^ ^a ^b FE Udwadia și AD Schutte, Ecuații de mișcare pentru sisteme cu constrângeri generale în mecanica lagrangiană ( PDF ), în Acta Mechanica , vol. 213, nr. 1, 2010, pp. 111–129, DOI : 10.1007 / s00707-009-0272-2 .

Bibliografie

CF Gauss, Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik , în Crelle's Journal , vol. 1829, nr. 4, 1829, pp. 232-235, DOI : 10.1515 / crll.1829.4.232 .
CF Gauss, Werke , voi. 5, p. 23.
H. Hertz, Principiile mecanicii , în lucrări diverse , III, Macmillan, 1896.
Cornelius Lanczos, Principiile variaționale ale mecanicii , Dover, 1952, p. 106.

Elemente conexe

Ecuațiile de mișcare ale lui Appell

linkuri externe

[uk1992-1] FE Udwadia și RE Kalaba, O nouă perspectivă asupra mișcării constrânse ( PDF ), în Proceedings of the Royal Society of London, Seria A , vol. 439, nr. 1906, 1992, pp. 407–410, Bibcode : 1992RSPSA.439..407U , DOI : 10.1098 / rspa.1992.0158 .

[uk1996-2] Udwadia, FE și Kalaba, RE, Dinamica analitică: o nouă abordare , Cambridge, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-04833-8 .

[3] FE Udwadia și RE Kalaba, Despre fundamentele dinamicii analitice ( PDF ), în International Journal of Nonlinear Mechanics , vol. 37, n. 6, 2002, pp. 1079-1090, Bibcode : 2002IJNLM..37.1079U , DOI : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6 .

[4] B. Calverley, Constrained or Unconstrained, That Is the Equation , în USC News , 2001.

[5] F. Udwadia și R. Kalaba, Care este forma generală a ecuațiilor explicite ale mișcării pentru sistemele mecanice constrânse? ( PDF ), în Journal of Applied Mechanics , vol. 69, nr. 3, 2002, pp. 335–339, Bibcode : 2002JAM .... 69..335U , DOI : 10.1115 / 1.1459071 .

[6] FE Udwadia și RE Kalaba, On motion ( PDF ), în Jurnalul Institutului Franklin , vol. 330, nr. 3, 1993, pp. 571-577, DOI : 10.1016 / 0016-0032 (93) 90099-G .

[UdwadiaPho-7] FE Udwadia și P. Phohomsiri, Ecuații explicite ale mișcării pentru sisteme mecanice constrânse cu matrice de masă singulară și aplicații la dinamica multi-corp ( PDF ), în Proceedings of the Royal Society of London, Seria A , vol. 462, nr. 2071, 2006, pp. 2097–2117, Bibcode : 2006RSPSA.462.2097U , DOI : 10.1098 / rspa.2006.1662 .

[UdwadiaSch-8] FE Udwadia și AD Schutte, Ecuații de mișcare pentru sisteme cu constrângeri generale în mecanica lagrangiană ( PDF ), în Acta Mechanica , vol. 213, nr. 1, 2010, pp. 111–129, DOI : 10.1007 / s00707-009-0272-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]