Funcțional al lui Minkowski

În matematică , în special în analiza funcțională , o funcționalitate Minkowski este o funcție care amintește conceptul de distanță tipic spațiilor vectoriale .

Definiție

Având în vedere un spațiu vectorial real sau complex $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și un subset al acestuia $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , funcționalitatea Minkowski corespunzătoare este definită:

p_{K}:X\rightarrow [0,\infty )

{\ displaystyle p_ {K}: X \ rightarrow [0, \ infty)}

p_ {K}: X \ rightarrow [0, \ infty)

ca:

p_{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

{\ displaystyle p_ {K} (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK \ right \}}

p_ {K} (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK \ right \}

Această funcționalitate este adesea numită gabaritul lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

În definiție se presupune implicit că $0\in K$ ${\ displaystyle 0 \ în K}$ $0 \ în K$ și că întregul $\{r>0:x\in rK\}$ ${\ displaystyle \ {r> 0: x \ in rK \}}$ $\ {r> 0: x \ în rK \}$ nu este gol. Astfel încât $p_{K}$ ${\ displaystyle p_ {K}}$ $p_ {K}$ bucurați-vă de proprietățile unui seminorm este necesar să impuneți unele restricții la alegerea $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ :

Întregul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un set convex , astfel încât $p_{K}$ ${\ displaystyle p_ {K}}$ $p_ {K}$ este subadditiv .
De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un întreg echilibrat , adică $\alpha K\subset K$ ${\ displaystyle \ alpha K \ subset K}$ $\ alpha K \ subset K$ pentru toți $|\alpha |\leq 1$ ${\ displaystyle | \ alpha | \ leq 1}$ $| \ alpha | \ leq 1$ , avem asta $p_{K}(\alpha x)=|\alpha |p_{K}(x)$ ${\ displaystyle p_ {K} (\ alpha x) = | \ alpha | p_ {K} (x)}$ $p_ {K} (\ alpha x) = | \ alpha | p_ {K} (x)$ pentru fiecare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , astfel încât $p_{K}$ ${\ displaystyle p_ {K}}$ $p_ {K}$ este omogen .

Un set $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu aceste proprietăți se spune că este absolut convex .

De exemplu, luați în considerare un spațiu normat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu normă $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ , și așa să fie ${K.}^{'}$ ${\ displaystyle K '}$ $K '$ sfera unitară în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Functia $p:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$ $p: X \ to \ mathbb {R}$ dat de:

p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK'\right\}

{\ displaystyle p (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK '\ right \}}

p (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK '\ right \}

este norma $p(x)=\|x\|$ ${\ displaystyle p (x) = \ | x \ |}$ $p (x) = \ | x \ |$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Acesta este un exemplu de funcționalitate Minkowski.

Convexitatea și echilibrul lui K.

Faptul că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un set convex implică subaditivitatea lui $p_{K}$ ${\ displaystyle p_ {K}}$ $p_ {K}$ . De fapt, presupuneți că $p_{K}(x)=p_{K}(y)=r$ ${\ displaystyle p_ {K} (x) = p_ {K} (y) = r}$ $p_ {K} (x) = p_ {K} (y) = r$ . Apoi pentru toate $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ da ai $x,y\in (r+\epsilon )K=K'$ ${\ displaystyle x, y \ in (r + \ epsilon) K = K '}$ $x, y \ in (r + \ epsilon) K = K '$ . Presupunerea că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este convex implică faptul că este și convex ${K.}^{'}$ ${\ displaystyle K '}$ $K '$ , și apoi $x/2+y/2\in K'$ ${\ displaystyle x / 2 + y / 2 \ în K '}$ $x / 2 + y / 2 \ în K '$ . Prin definiția funcțională a lui Minkowski $p_{K}$ ${\ displaystyle p_ {K}}$ $p_ {K}$ avem:

p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon

{\ displaystyle p_ {K} \ left ({\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {2}} y \ right) \ leq r + \ epsilon = {\ frac {1} { 2}} p_ {K} (x) + {\ frac {1} {2}} p_ {K} (y) + \ epsilon}

p_ {K} \ left ({\ frac {1} {2}} x + {\ frac {1} {2}} y \ right) \ leq r + \ epsilon = {\ frac {1} {2}} p_ {K} (x) + {\ frac {1} {2}} p_ {K} (y) + \ epsilon

Dar membrul de stânga este $1/2[p_{K}(x+y)]$ ${\ displaystyle 1/2 [p_ {K} (x + y)]}$ $1/2 [p_ {K} (x + y)]$ , adică relația anterioară devine:

p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \qquad \forall \epsilon >0

{\ displaystyle p_ {K} (x + y) \ leq p_ {K} (x) + p_ {K} (y) + \ epsilon \ qquad \ forall \ epsilon> 0}

p_ {K} (x + y) \ leq p_ {K} (x) + p_ {K} (y) + \ epsilon \ qquad \ forall \ epsilon> 0

care este inegalitatea căutată. Cazul general $p_{K}(x)>p_{K}(y)$ ${\ displaystyle p_ {K} (x)> p_ {K} (y)}$ $p_ {K} (x)> p_ {K} (y)$ urmează într-un mod evident.

Observăm că convexitatea de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , împreună cu presupunerea că $\{r>0:x\in rK\}$ ${\ displaystyle \ {r> 0: x \ in rK \}}$ $\ {r> 0: x \ în rK \}$ nu este gol, implică asta $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un set absorbant .

Faptul că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este echilibrat implică, de asemenea, că $\lambda x\in rK$ ${\ displaystyle \ lambda x \ in rK}$ $\ lambda x \ in rK$ dacă și numai dacă $x\in (r/|\lambda |)K$ ${\ displaystyle x \ in (r / | \ lambda |) K}$ $x \ in (r / | \ lambda |) K$ , prin urmare:

p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)

{\ displaystyle p_ {K} (\ lambda x) = \ inf \ left \ {r> 0: \ lambda x \ in rK \ right \} = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in {\ frac {r} {| \ lambda |}} K \ right \} = \ inf \ left \ {| \ lambda | {\ frac {r} {| \ lambda |}}> 0: x \ in {\ frac {r } {| \ lambda |}} K \ right \} = | \ lambda | p_ {K} (x)}

p_ {K} (\ lambda x) = \ inf \ left \ {r> 0: \ lambda x \ in rK \ right \} = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in {\ frac {r} {| \ lambda |}} K \ right \} = \ inf \ left \ {| \ lambda | {\ frac {r} {| \ lambda |}}> 0: x \ in {\ frac {r} {| \ lambda |}} K \ right \} = | \ lambda | p_ {K} (x)

Exemplu

Având în vedere un spațiu vectorial $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe teren $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , este $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ sale algebrice duale și sunt $\phi \in X'$ ${\ displaystyle \ phi \ în X '}$ $\ phi \ în X '$ funcționalele liniare definite pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care îl constituie. Luați în considerare întregul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dat de:

K=\{x\in X:|\phi (x)|\leq a\}\qquad a>0

{\ displaystyle K = \ {x \ în X: | \ phi (x) | \ leq a \} \ qquad a> 0}

K = \ {x \ în X: | \ phi (x) | \ leq a \} \ qquad a> 0

și definește:

p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

{\ displaystyle p (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK \ right \}}

p (x) = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in rK \ right \}

Atunci:

p(x)={\frac {1}{a}}|\phi (x)|

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {a}} | \ phi (x) |}

p (x) = {\ frac {1} {a}} | \ phi (x) |

Funcția (non-negativă) $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este un exemplu de funcționalitate Minkowski care este:

sub-aditiv, adică $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ ${\ displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$ $p (x + y) \ leq p (x) + p (y)$ .
omogen, adică $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ ${\ displaystyle p (\ alpha x) = | \ alpha | p (x)}$ $p (\ alfa x) = | \ alfa | p (x)$ pentru toți $\alpha \in K$ ${\ displaystyle \ alpha \ în K}$ $\ alpha \ în K$ .

Prin urmare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un seminorm pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , care îi oferă o topologie . Am notat asta $p(x)=0$ ${\ displaystyle p (x) = 0}$ $p (x) = 0$ nu implică $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și, în consecință, topologia rezultată dintr-o familie de astfel de seminorme nu este a lui Hausdorff .

Bibliografie

(EN) Anthony C. Thompson,Minkowski Geometry , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press , 1996, ISBN 0-521-40472-X .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) funcțional Minkowski , în PlanetMath .
( EN ) Proprietățile funcționale ale lui Minkowski , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică