Funcții trigonometrice complexe

Funcțiile trigonometrice complexe sunt generalizarea în câmpul numerelor complexe a funcțiilor trigonometrice normale definite în câmpul numerelor reale și sunt în general construite prin introducerea variabilei complexe în ele

z:=x+iy

{\ displaystyle z: = x + iy}

{\ displaystyle z: = x + iy}

Sinus și cosinus

Din formulele lui Euler , valabile pentru fiecare x:

{\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x \\ e ^ {- ix} = \ cos xi \ sin x \ end {cases}}}

{\ begin {cases} e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x \\ e ^ {{- ix}} = \ cos x-i \ sin x \ end {cases}}

obținem definițiile sinusului și cosinusului care sunt funcții întregi ale planului complex :

{\begin{cases}\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin z = {\ frac {e ^ {iz} -e ^ {- iz}} {2i}} \\\ cos z = {\ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} {2}} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ sin z = {\ frac {e ^ {{iz}} - e ^ {{- iz}}} {2i}} \\\ cos z = {\ frac {e ^ {{iz }} + e ^ {{- iz}}} {2}} \ end {cases}}

Oferim unele proprietăți (altele sunt ca proprietățile lor reale respective) ale funcțiilor sinus și cosinus:

$\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} z + \ cos ^ {2} z = 1}$ $\ sin ^ {2} z + \ cos ^ {2} z = 1$

${\begin{cases}\sin 2z=2\sin z\cos z\\\cos 2z=\cos ^{2}z-\sin ^{2}z\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin 2z = 2 \ sin z \ cos z \\\ cos 2z = \ cos ^ {2} z- \ sin ^ {2} z \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} \ sin 2z = 2 \ sin z \ cos z \\\ cos 2z = \ cos ^ {2} z- \ sin ^ {2} z \ end {cases}}$

${\begin{cases}\sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}\\\cos(z_{1}+z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin (z_ {1} + z_ {2}) = \ sin z_ {1} \ cos z_ {2} + \ cos z_ {1} \ sin z_ {2} \\ \ cos (z_ {1} + z_ {2}) = \ cos z_ {1} \ cos z_ {2} - \ sin z_ {1} \ sin z_ {2} \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} \ sin (z_ {1} + z_ {2}) = \ sin z_ {1} \ cos z_ {2} + \ cos z_ {1} \ sin z_ {2} \\\ cos ( z_ {1} + z_ {2}) = \ cos z_ {1} \ cos z_ {2} - \ sin z_ {1} \ sin z_ {2} \ end {cases}}$

$2\sin z_{1}\cos z_{2}=\sin(z_{1}+z_{2})+\sin(z_{1}-z_{2})$ ${\ displaystyle 2 \ sin z_ {1} \ cos z_ {2} = \ sin (z_ {1} + z_ {2}) + \ sin (z_ {1} -z_ {2})}$ ${\ displaystyle 2 \ sin z_ {1} \ cos z_ {2} = \ sin (z_ {1} + z_ {2}) + \ sin (z_ {1} -z_ {2})}$

Tangent și cotangent

Tangenta și cotangenta complexă sunt întotdeauna definite pornind de la sinus și cosinus:

{\begin{cases}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}&\,,\,\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}\\\sec z={\frac {1}{\cos z}}&\,,\,\csc z={\frac {1}{\sin z}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ tan z = {\ frac {\ sin z} {\ cos z}} & \ ,, \, \ cot z = {\ frac {\ cos z} {\ sin z} } \\\ sec z = {\ frac {1} {\ cos z}} & \ ,, \, \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ tan z = {\ frac {\ sin z} {\ cos z}} & \ ,, \, \ cot z = {\ frac {\ cos z} {\ sin z}} \\ \ sec z = {\ frac {1} {\ cos z}} & \ ,, \, \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}} \ end {cases}}

Observăm că atât tangenta, cât și secanta sunt analitice peste tot, cu excepția singularităților: $z={\frac {\pi }{2}}+n\pi$ ${\ displaystyle z = {\ frac {\ pi} {2}} + n \ pi}$ $z = {\ frac {\ pi} {2}} + n \ pi$ , care sunt punctele în care cosinusul din numitor este zero; invers, cotangenta și cosecanta au singularități în $z=n\pi$ ${\ displaystyle z = n \ pi}$ $z = n \ pi$ , care sunt punctele care anulează sinusul din numitor.

Funcții hiperbolice

{\begin{cases}\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\\\cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sinh z = {\ frac {e ^ {z} -e ^ {- z}} {2}} \\\ cosh z = {\ frac {e ^ {z} + e ^ {- z}} {2}} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ sinh z = {\ frac {e ^ {{z}} - e ^ {{- z}}} {2}} \\\ cosh z = {\ frac {e ^ {{z }} + e ^ {{- z}}} {2}} \ end {cases}}

;

{\begin{cases}\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}&\,,\,\coth z={\frac {1}{\tanh z}}\\\operatorname {sech} z={\frac {1}{\cosh z}}&\,,\,\operatorname {csch} z={\frac {1}{\sinh z}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ tanh z = {\ frac {\ sinh z} {\ cosh z}} & \ ,, \, \ coth z = {\ frac {1} {\ tanh z}} \ \\ operatorname {sech} z = {\ frac {1} {\ cosh z}} & \ ,, \, \ operatorname {csch} z = {\ frac {1} {\ sinh z}} \ end {cases} }}

{\ begin {cases} \ tanh z = {\ frac {\ sinh z} {\ cosh z}} & \ ,, \, \ coth z = {\ frac {1} {\ tanh z}} \\\ operatorname {sech} z = {\ frac {1} {\ cosh z}} & \ ,, \, \ operatorname {csch} z = {\ frac {1} {\ sinh z}} \ end {cases}}

Sinusul și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi ale întregului plan complex.

Unele proprietăți au văzut, de asemenea, legătura cu sinusul și cosinusul:

${\begin{cases}\sin z=-i\sinh(iz)&\,,\,\sinh z=-i\sin(iz)\\\cos z=\cosh(iz)&\,,\,\cosh z=\cos(iz)\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin z = -i \ sinh (iz) & \ ,, \, \ sinh z = -i \ sin (iz) \\\ cos z = \ cosh (iz) & \ ,, \, \ cosh z = \ cos (iz) \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin z = -i \ sinh (iz) & \ ,, \, \ sinh z = -i \ sin (iz) \\\ cos z = \ cosh (iz) & \ ,, \, \ cosh z = \ cos (iz) \ end {cases}}}$

$-\sinh ^{2}z+\cosh ^{2}z=1$ ${\ displaystyle - \ sinh ^ {2} z + \ cosh ^ {2} z = 1}$ $- \ sinh ^ {2} z + \ cosh ^ {2} z = 1$

${\begin{cases}\sinh(z_{1}+z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}+\cosh z_{1}\sinh z_{2}\\\cosh(z_{1}+z_{2})=\cosh z_{1}\cosh z_{2}+\sinh z_{1}\sinh z_{2}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sinh (z_ {1} + z_ {2}) = \ sinh z_ {1} \ cosh z_ {2} + \ cosh z_ {1} \ sinh z_ {2} \\ \ cosh (z_ {1} + z_ {2}) = \ cosh z_ {1} \ cosh z_ {2} + \ sinh z_ {1} \ sinh z_ {2} \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} \ sinh (z_ {1} + z_ {2}) = \ sinh z_ {1} \ cosh z_ {2} + \ cosh z_ {1} \ sinh z_ {2} \\\ cosh ( z_ {1} + z_ {2}) = \ cosh z_ {1} \ cosh z_ {2} + \ sinh z_ {1} \ sinh z_ {2} \ end {cases}}$

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică