Integrală Jacobi

Integrala Jacobi , care își datorează numele matematicianului german Karl Gustav Jacob Jacobi , este singura integrantă a mișcării (uniformă și analitică) a problemei circulare cu trei corpuri restrânse .

Utilizări

Punctele sale staționare sunt așa-numitele puncte Lagrangiene .

Cunoașterea valorii integralei Jacobi ne permite să determinăm suprafețele cu viteză zero (așa-numitele suprafețe Hill ) care încadrează zonele accesibile celui de-al treilea corp.

Integrala Jacobi a sistemului cometei Sun Jupiter , exprimată în referința inerțială în care Jupiter orbitează Soarele și se aproximează în ipoteza că centrul de masă al sistemului coincide cu cel al Soarelui și că cometa nu are întâlniri apropiate cu Jupiter, oferă invariantul Tisserand , a cărui valoare este conservată aproximativ între un pasaj al cometei și următorul, permițând recunoașterea cometelor deja observate chiar și după variații semnificative ale orbitei.

Definiție

Sistem Lagrangian cu constrângeri holonomice și forțe conservatoare

Să luăm în considerare un sistem lagrangian al lui Lagrangian $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate și ziceri $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ coordonatele de configurare e ${\dot {q}}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}}}$ $\ dot q$ respectivele viteze generalizate, apoi integralul Jacobi ia forma

$E(q,{\dot {q}},t)=\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}-L$ ${\ displaystyle E (q, {\ dot {q}}, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} {\ partial L \ over \ partial { \ dot {q}} _ {j}} - L}$ ${\ displaystyle E (q, {\ dot {q}}, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} {\ partial L \ over \ partial { \ dot {q}} _ {j}} - L}$

Luand in considerare $(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ ${\ displaystyle (q (t), {\ dot {q}} (t), t)}$ ${\ displaystyle (q (t), {\ dot {q}} (t), t)}$ ecuația mișcării, adică soluția ecuațiilor Euler - Lagrange , calculăm derivata în raport cu timpul de-a lungul soluției integralei Jacobi:

${\begin{alignedat}{2}{d \over dt}E(q(t),{\dot {q}}(t),t)&=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{\ddot {q}}_{j}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}+{\dot {q}}_{j}{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )}-\sum _{k=1}^{n}{\Bigl (}{\dot {q}}_{k}{\partial L \over \partial q_{k}}+{\ddot {q}}_{k}{\partial L \over {\dot {q}}_{k}}{\Bigr )}-{\partial L \over \partial t}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}{\Bigl (}{d \over dt}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )}{\Bigr )}-{\partial L \over \partial q_{j}}{\Bigr )}-{\partial L \over \partial t}\\&=-{\partial L \over \partial t}\\\end{alignedat}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} {d \ over dt} E (q (t), {\ dot {q}} (t), t) & = \ sum _ {j = 1} ^ { n} {\ Bigl (} {\ ddot {q}} _ {j} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} + {\ dot {q}} _ {j} {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} {\ Bigr)} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ Bigl (} { \ dot {q}} _ {k} {\ partial L \ over \ partial q_ {k}} + {\ ddot {q}} _ {k} {\ partial L \ over {\ dot {q}} _ { k}} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial t} \\ & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} {\ Bigl ( } {d \ over dt} {\ Bigl (} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} {\ Bigr)} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial q_ {j}} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial t} \\ & = - {\ partial L \ over \ partial t} \\\ end {alignat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} {d \ over dt} E (q (t), {\ dot {q}} (t), t) & = \ sum _ {j = 1} ^ { n} {\ Bigl (} {\ ddot {q}} _ {j} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} + {\ dot {q}} _ {j} {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} {\ Bigr)} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ Bigl (} { \ dot {q}} _ {k} {\ partial L \ over \ partial q_ {k}} + {\ ddot {q}} _ {k} {\ partial L \ over {\ dot {q}} _ { k}} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial t} \\ & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} {\ Bigl ( } {d \ over dt} {\ Bigl (} {\ partial L \ over \ partial {\ dot {q}} _ {j}} {\ Bigr)} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial q_ {j}} {\ Bigr)} - {\ partial L \ over \ partial t} \\ & = - {\ partial L \ over \ partial t} \\\ end {alignat}}}$

Astfel, dacă ${\partial L \over \partial t}=0$ ${\ displaystyle {\ partial L \ over \ partial t} = 0}$ ${\ displaystyle {\ partial L \ over \ partial t} = 0}$ . asa de $E(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ ${\ displaystyle E (q (t), {\ dot {q}} (t), t)}$ ${\ displaystyle E (q (t), {\ dot {q}} (t), t)}$ este o cantitate conservată de-a lungul soluțiilor.

Mai mult, pentru un sistem Lagrangian cu constrângeri holonomice, fixe și ideale și cu forțe conservatoare, integrala Jacobi coincide cu energia totală a sistemului $E=T+V$ ${\ displaystyle E = T + V}$ ${\ displaystyle E = T + V}$ .

Sistem sinodic

Sistemul rotativ.

Unul dintre sistemele de referință utilizate este așa-numitul sistem sinodic sau co-rotativ, având originea axelor care coincid cu centrul de greutate al celor trei corpuri și cu axa x aleasă de-a lungul îmbinării maselor μ ₁ , μ ₂ și unități de lungime egale cu distanța lor. Deoarece sistemul se rotește împreună cu cele două mase, poziția lor asupra referinței astfel identificate rămâne constantă, cu coordonatele respectiv (-μ ₁ , 0) și (μ ₂ , 0) ^[1] .

În sistemul de coordonate $x\,\!,y\,\!$ ${\ displaystyle x \, \!, y \, \!}$ ${\ displaystyle x \, \!, y \, \!}$ , constanta Jacobi este definită ca:

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})-({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})

{\ displaystyle C_ {J} = n ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2 ({\ frac {\ mu _ {1}} {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}) - ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2})}

{\ displaystyle C_ {J} = n ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2 ({\ frac {\ mu _ {1}} {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}) - ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2})}

unde este:

$n={\frac {2\pi }{T}}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {T}}}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {T}}}$ este viteza unghiulară medie de rotație, numită și mișcare medie ( $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este perioada orbitală )
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} = Gm_ {1} \, \ !, \ mu _ {2} = Gm_ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} = Gm_ {1} \, \ !, \ mu _ {2} = Gm_ {2}}$ , pentru cele două mase m ₁ , m ₂ și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta gravitațională universală
$r_{1}\,\!,r_{2}$ ${\ displaystyle r_ {1} \, \!, r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {1} \, \!, r_ {2}}$ sunt distanțele particulelor testate față de cele două mase m ₁ și m ₂

Observați cum integrala Jacobi este minus de două ori energia totală pe unitate de masă în cadrul de referință rotativ: primul termen se datorează energiei potențiale centrifuge, al doilea reprezintă potențialul gravitațional și al treilea cinetica energetică .

Sistem sideral

Sistem de referință inerțial.

În cadrul de referință inerțial sideral (ξ, η, ζ) , masele orbitează în jurul centrului de greutate. În aceste coordonate, constanta Jacobi ia forma:

C_{J}=2\cdot ({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})+2n(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})-({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})

{\ displaystyle C_ {J} = 2 \ cdot ({\ frac {\ mu _ {1}} {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}) + 2n (\ xi {\ dot {\ eta}} - \ eta {\ dot {\ xi}}) - ({\ dot {\ xi}} ^ {2} + {\ dot {\ eta}} ^ { 2} + {\ dot {\ zeta}} ^ {2})}

{\ displaystyle C_ {J} = 2 \ cdot ({\ frac {\ mu _ {1}} {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}) + 2n (\ xi {\ dot {\ eta}} - \ eta {\ dot {\ xi}}) - ({\ dot {\ xi}} ^ {2} + {\ dot {\ eta}} ^ { 2} + {\ dot {\ zeta}} ^ {2})}

Derivare

În cadrul de rotație co-rotativ, accelerațiile pot fi exprimate ca derivate ale unei singure funcții scalare $U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}$ ${\ displaystyle U (x, y, z) = {\ frac {n ^ {2}} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + {\ frac {\ mu _ {1} } {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}}$ ${\ displaystyle U (x, y, z) = {\ frac {n ^ {2}} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + {\ frac {\ mu _ {1} } {r_ {1}}} + {\ frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}}$

Folosind reprezentarea lagrangiană a ecuațiilor mișcării:

${\begin{matrix}{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}\\{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}\\{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ ddot {x}} - 2n {\ dot {y}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta x}} \\ {\ ddot {y}} + 2n {\ dot {x}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta y}} \\ {\ ddot {z}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta z}} \ end { matrice}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ ddot {x}} - 2n {\ dot {y}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta x}} \\ {\ ddot {y}} + 2n {\ dot {x}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta y}} \\ {\ ddot {z}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta z}} \ end { matrice}}}$

Înmulțind cele trei ecuații respectiv cu ${\dot {x}},{\dot {y}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}, {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}, {\ dot {y}}}$ Și ${\dot {z}}$ ${\ displaystyle {\ dot {z}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {z}}}$ și adăugându-le, obținem:

${\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ dot {y}} {\ ddot {y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ delta U} {\ delta y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ delta U} {\ delta z}} {\ dot {z}} = {\ frac {dU} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ dot {y}} {\ ddot {y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} = {\ frac {\ delta U} {\ delta x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ delta U} {\ delta y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ delta U} {\ delta z}} {\ dot {z}} = {\ frac {dU} {dt}}}$

Prin integrare,

${\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} = 2U-C_ {J}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} = 2U-C_ {J}}$