Limita inversă

În matematică , limita inversă (numită și limită proiecțională ) este o construcție care, date obiectelor legate între ele prin morfisme , oferă un obiect nou. Limita inversă poate fi definită în fiecare categorie .

Definiție formală

Limita inversă a grupurilor

Începem cu definirea unui sistem invers (sau proiectiv ) de grupuri și omomorfisme . Fie ( I , ≤) un set parțial ordonat și direct (nu toți autorii necesită ca I să fie direct) și ( A _i ) _{i ∈ I} o familie de grupuri. Atunci f _ij : A _j → A _i pentru i ≤ j (notați ordinea) o familie de omomorfisme cu următoarele proprietăți:

f _ii este identitatea din A _i pentru toți i ,
f _ik = f _ij sau f _jk pentru toate i ≤ j ≤ k .

Atunci mulțimea de perechi ( A _i , f _ij ) se numește un sistem invers de grupuri și morfisme pe I.

Definim limita inversă a sistemului inverse (A _i, f _ij) ca subgrupul de produsul direct al A _i

\varprojlim A_{i}:={\Big \{}(a_{i})\in \prod _{i\in I}A_{i}\;{\Big |}\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\mbox{ per ogni }}i\leq j{\Big \}}.

{\ displaystyle \ varprojlim A_ {i}: = {\ Big \ {} (a_ {i}) \ in \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \; {\ Big |} \; a_ {i } = f_ {ij} (a_ {j}) {\ mbox {pentru fiecare}} i \ leq j {\ Big \}}.}

{\ displaystyle \ varprojlim A_ {i}: = {\ Big \ {} (a_ {i}) \ in \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \; {\ Big |} \; a_ {i } = f_ {ij} (a_ {j}) {\ mbox {pentru fiecare}} i \ leq j {\ Big \}}.}

Limita inversă, pe care pentru comoditate o vom nota cu A , este prevăzută cu proiecții naturale π _i : A → A _i care selectează componenta a i- a a produsului direct. În plus, limita inversă are proprietatea universală descrisă în secțiunea următoare. În cele din urmă, dacă diferitele grupuri A _i sunt grupuri topologice (iar morfismele sunt homomorfisme continue), atunci A este, de asemenea, un grup topologic în ceea ce privește topologia moștenită de la produsul direct.

Aceeași construcție poate fi realizată chiar dacă A _i în loc să fie grupuri sunt mulțimi , inele , module (pe un inel fix), algebre (pe un câmp fix) etc., iar homomorfismele sunt homomorfisme pentru categoriile corespunzătoare. Limita inversă va aparține, de asemenea, categoriei respective.

Definiție generală

Limita inversă poate fi definită în mod abstract în orice categorie printr-o proprietate universală. Fie ( X _i , f _ij ) un sistem invers de obiecte și morfisme dintr-o categorie C. Limita inversă a acestui sistem este un obiect X în C împreună cu morfisme π _i : X → X _i (numite proiecții ) care satisfac π _i = f _ij sau π _j pentru toate i ≤ j . Perechea ( X , π _i ) trebuie să fie universală în sensul că pentru fiecare altă pereche ( Y , ψ _i ) există un morfism unic u : Y → X astfel încât următoarea diagramă să treacă:

pentru fiecare i ≤ j . Limita inversă este de obicei denotată ca

X=\varprojlim X_{i},

{\ displaystyle X = \ varprojlim X_ {i},}

{\ displaystyle X = \ varprojlim X_ {i},}

lăsând înțeles sistemul invers ( X _i , f _ij ).

Contrar a ceea ce se întâmplă pentru obiectele algebrice, în unele cazuri este posibil ca limita inversă să nu existe. Cu toate acestea, dacă există, este unic în sensul că toate limitele inverse ale unui sistem invers sunt izomorfe între ele. Cu alte cuvinte, dacă X și X ′ sunt două limite inverse ale aceluiași sistem, atunci există un singur izomorfism X ′ → X care face naveta cu proiecțiile.

Exemple

Inelul întregilor p-adici poate fi definit ca limita inversă a inelelor Z / p ⁿ Z (vezi aritmetica modulară ) unde mulțimea indicilor I este mulțimea numerelor naturale , cu ordonarea obișnuită și morfismul din Z / p ⁿ Z la Z / p ^m Z este definit ca modulul de reducere p ^m pentru fiecare m ≤ n. Topologia naturală a întregilor rădăcini p coincide cu cea moștenită de la limita inversă dacă topologia discretă este setată pe toate inelele Z / p ⁿ Z.
Inelul R [ t ] al seriei formale de putere pe un inel comutativ R poate fi considerat ca fiind limita inversă a inelelor R [ t ] / t ⁿ R [ t ], indexate prin numere naturale cu ordinea canonică și cu morfism de la R [ t ] / t ⁿ R [ t ] la R [ t ] / t ^m R [ t ] dat de proiecția naturală, pentru fiecare m ≤ n.
Grupurile profinite pot fi definite ca limite inverse ale grupurilor finite cu topologie discretă.
Dacă mulțimea indicilor I a unui sistem invers ( X _i , f _ij ) are un m maxim atunci proiecția naturală π _m : X → X _m este un izomorfism.
Dacă ( I , =) este ordinea banală, atunci limita inversă a sistemului invers corespunzător nu este altceva decât produsul .

Bibliografie

Nicolas Bourbaki , Algebra I , Springer, 1989, ISBN 978-3-540-64243-5 ,OCLC 40551484 .
( EN ) Nicolas Bourbaki , Topologie generală: capitolele 1-4 , Springer, 1989, ISBN 978-3-540-64241-1 ,OCLC 40551485 .
( EN ) Saunders Mac Lane , Categorii pentru matematicianul de lucru , 2nd, Springer, septembrie 1998, ISBN 0-387-98403-8 .
( EN ) Barry Mitchell , Inele cu mai multe obiecte , în Advances in Mathematics , vol. 8, 1972, pp. 1–161, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (72) 90002-3 , MR 0294454 .
( EN ) Amnon Neeman , Un contraexemplu la o „teoremă” din 1962 în algebră omologică (cu apendice de Pierre Deligne) , în Inventiones Mathematicae , vol. 148, nr. 2, 2002, pp. 397–420, DOI : 10.1007 / s002220100197 , MR 1906154 .
( EN ) Jan-Erik Roos , Sur les foncteurs dérivés de lim. Aplicații. , în CR Acad. Sci. Paris , vol. 252, 1961, pp. 3702-3704, MR 0132091 .
( EN ) Jan-Erik Roos , Funcții derivate ale limitelor inverse revizuite , în J. London Math. Soc. (2) , vol. 73, nr. 1, 2006, pp. 65–83, DOI : 10.1112 / S0024610705022416 , MR 2197371 .
( EN ) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4 . (secțiunea 3.5)

Elemente conexe

Dualul limitei inverse este limita directă (sau inductivă).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică