Modus tollens

Modus tollens ( MT ), prescurtarea latinei modus tollendo tollens („cale care îndepărtează”, literalmente „cale care îndepărtează cu eliminarea”), este o regulă de inferență a logicii propoziționale complet dezvoltată pentru prima dată de medievală logicieni și deja cunoscuți de stoici . Înțelesul său este:

„felul care înlătură adevărul unei propoziții, eliminând-o pe cea a alteia”.

În notație cu operatori logici :

[(p\rightarrow q)\land \neg q]\rightarrow \neg p

{\ displaystyle [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q] \ rightarrow \ neg p}

{\ displaystyle [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q] \ rightarrow \ neg p}

Termenul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ia numele de antecedent , $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ se numește consecvent . Ambele litere reprezintă propoziții logice . $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ este o conectivitate logică , numită negație . Propunerea $\neg q$ ${\ displaystyle \ neg q}$ ${\ displaystyle \ neg q}$ este propunerea opusă la $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , negat prin conectiv $\neg \,\!,$ ${\ displaystyle \ neg \, \!,}$ $\ neg \, \!,$ și este indicat alternativ cu ${\bar {q}}\,\!,$ ${\ displaystyle {\ bar {q}} \, \!,}$ ${\ bar {q}} \, \!,$ și se citește „nu q” sau „q negat”.

În plus:

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o condiție suficientă pentru $q\,\!;$ ${\ displaystyle q \, \!;}$ $q \, \!;$
$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este o condiție necesară pentru $p\,\!.$ ${\ displaystyle p \, \!.}$ $p \, \!.$

adică: q (dacă este adevărat) poate fi implicat de un alt termen decât p , în timp ce q (dacă este adevărat) este necesar pentru p adevărat .

Modul tollens fusese deja studiat de stoici care elaboraseră așa-numitul raționament anapodictic (nu demonstrativ, de la sine înțeles). Aceste argumente, echivalate în mod eronat de unii cu silogismele aristotelice, diferă de fapt de primul în următoarele aspecte:

Absența cuantificatorilor (existențială ( $\exists$ ${\ displaystyle \ există}$ $\ există$ ) și universal ( $\forall$ ${\ displaystyle \ forall}$ $\ pentru toți$ )).
Punctul de sprijin este propunerea și nu termenii (logica lui Aristotel este predominant terministică sau predicativă).
Dovezi sau imediate (termenul mediu lipsește).
Nu sunt nici demonstrative, nici euristice , enunțând adevăruri deja cunoscute.

Modus tollens este un caz particular de silogism ipotetic în care a doua premisă este o propoziție a cărei valoare de adevăr nu este derivată deductiv, ci acceptată pe baza dovezilor empirice. Stoicii au aprofundat cu privire la Aristotel (care se concentrase pe silogisme declarative sau apofantice) studiul propozițiilor ipotetice și disjunctivelor.

Exemplu de modus tollens

Dacă este zi, există lumină . (implicație: p , apoi q )
Dar nu există lumină . ( nu q )
Prin urmare, nu este zi . (concluzie)

Acest (și alte exemple) de anapodictieni au fost colectate de Sextus Empiricus în schițele pironice.

Demonstrarea adevărului absolut al modus tollens prin contraexemplu

Pentru a demonstra că concluziile modus tollens pot fi greșite, trebuie să dovedim acest lucru

\nvdash [(p\rightarrow q)\land \neg q]\rightarrow \neg p

{\ displaystyle \ nvdash [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q] \ rightarrow \ neg p}

{\ displaystyle \ nvdash [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q] \ rightarrow \ neg p}

Prin urmare, pentru legea implicațiilor logice care

$\vdash [(p\rightarrow q)\land \neg q]$ ${\ displaystyle \ vdash [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q]}$ ${\ displaystyle \ vdash [(p \ rightarrow q) \ land \ neg q]}$
$\nvdash \neg p$ ${\ displaystyle \ nvdash \ neg p}$ ${\ displaystyle \ nvdash \ neg p}$

Din a doua obținem, prin legea negației logice că $\vdash p$ ${\ displaystyle \ vdash p}$ ${\ displaystyle \ vdash p}$ (cel)

Primul îl împărțim în

(p\rightarrow q)

{\ displaystyle (p \ rightarrow q)}

{\ displaystyle (p \ rightarrow q)}

(j)

Și

\neg q

{\ displaystyle \ neg q}

{\ displaystyle \ neg q}

(k)

iar valoarea sa este 1 numai atunci când ambele propoziții j și k sunt ambele adevărate.

\vdash \neg q

{\ displaystyle \ vdash \ neg q}

{\ displaystyle \ vdash \ neg q}

prin urmare

\nvdash q

{\ displaystyle \ nvdash q}

{\ displaystyle \ nvdash q}

Prin urmare, am obținut cele două valori de adevăr ale prepozițiilor atomice pentru care raționamentul Modus tollens poate fi fals. Analizând cu atenție j, observăm totuși că poate fi adevărat, fiind q = 0, numai dacă p = 0, dar acest lucru este în contradicție cu i.

Prin urmare, nu există o valoare de adevăr atribuibilă propozițiilor p și q care să facă concluzia lui Modus tollens falsă.

Aceeași concluzie este imediat dedusă din tabelul de adevăr al implicației logice.

`p`	`q`	$p\rightarrow q$ ${\ displaystyle p \ rightarrow q}$ ${\ displaystyle p \ rightarrow q}$
F.	F.	V.
F.	V.	V.
V.	F.	F.
V.	V.	V.

Principala premisă este implicația logică (a treia coloană). Citind tabelul în sens invers, dacă premisa majoră este menținută adevărată și „q” este falsă (premisa minoră), se încadrează în mod necesar în primul caz, care raportează că și p este fals.

Modus tollendo ponens

Distinct de regula modus tollendo tollens este cea a modus tollendo ponens formalizată după cum urmează.

p,\neg (p\land q)\vdash \neg q

{\ displaystyle p, \ neg (p \ land q) \ vdash \ neg q}

{\ displaystyle p, \ neg (p \ land q) \ vdash \ neg q}

,

ceea ce este demonstrat de următorii pași intermediari ^[1]

dependent de liniile nr.	n. rând	formula bine formată	regula calculului propozițional aplicată	aplicat liniilor nr.
1	(1)	$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$	presupunere (A)
2	(2)	$\neg (p\land q)$ ${\ displaystyle \ neg (p \ land q)}$ ${\ displaystyle \ neg (p \ land q)}$	presupunere (A)
3	(3)	$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$	presupunere (A)
1.3	(4)	$p\land q$ ${\ displaystyle p \ land q}$ ${\ displaystyle p \ land q}$	introducerea conjuncției (I _∧ )	1, 3
1,2,3	(5)	$(p\land q)\land \neg (p\land q)$ ${\ displaystyle (p \ land q) \ land \ neg (p \ land q)}$ ${\ displaystyle (p \ land q) \ land \ neg (p \ land q)}$	introducerea conjuncției (I _∧ )	4, 2
1.2	(6)	$\neg q$ ${\ displaystyle \ neg q}$ ${\ displaystyle \ neg q}$	Reducerea ad absurdum (RAA)	3, 5

Dovada presupune trei variabile de formulă bine formate în cele două variabile propoziționale p și q . Numărul ipotezelor este arbitrar, dar vizează dovedirea tezei care este indicată în dreapta simbolului afirmației $\vdash$ ${\ displaystyle \ vdash}$ $\ vdash$ . În linia (3) ipotezele celor două variabile p și q sunt unite. În (4), această ultimă linie este unită cu (2), care încalcă principiul non-contradicției pentru care un wff și negarea sa nu pot fi simultan adevărate.

Prezența unei contradicții face posibilă aplicarea regulii reducerii la imposibil (sau reducere ad absurdum ) care impune negarea presupunerii care coincide cu negarea tezei. De fapt, pentru ca contradicția liniei (5) să fie adevărată, toate cele trei ipoteze ale liniilor (1), (2) și (3) trebuie să fie adevărate. Regula RAA constă tocmai în negarea tezei (q) într-o altă presupunere ( $\neg q$ ${\ displaystyle \ neg q}$ ${\ displaystyle \ neg q}$ la linia (3)); contradicția rezultată în linia (5), conduce în (6) la negarea (presupunerii) negării tezei din (3), care este echivalentă cu afirmarea tezei în sine. De fapt, regula dublei negații afirmă că două negative afirmă.

Notă

^ Edward John Lemmon și Massimo Prampolini, Elemente de logică cu exerciții rezolvate , Biblioteca universală Laterza, n. 182, ed. I, Bari, Roma, Laterza, 1986, pp. 40-41, ISBN 978-88-420-2772-0 ,OCLC 46148164 .

Elemente conexe

linkuri externe

Modus tollens , în Dicționar de filosofie , Institutul Enciclopediei Italiene , 2009.
( EN ) Modus tollens / Modus tollens (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Edward John Lemmon și Massimo Prampolini, Elemente de logică cu exerciții rezolvate , Biblioteca universală Laterza, n. 182, ed. I, Bari, Roma, Laterza, 1986, pp. 40-41, ISBN 978-88-420-2772-0 ,OCLC 46148164 .

[1]