Rădăcină numerică

În matematică , rădăcina numerică (sau digitală , din rădăcina digitală engleză) a unui număr este rezultatul sumei cifrelor sale, iterat pentru a obține o valoare dintr-o singură cifră, deci între 0 și 9 ( baza 10). Rădăcina numerică este analogul în ceea ce privește adunarea rădăcinii numerice multiplicative în raport cu înmulțirea .

În mod normal, rădăcina are deci sens doar pentru numere întregi și la rândul său exprimă un număr întreg; se pare, de asemenea, că rădăcina numerică este diferită în funcție de baza utilizată și că nu poate fi considerată naiv o sumă până la o singură cifră, deoarece această definiție ar deveni eronată dacă se aplică numerelor exprimate în baze mai mari de 10 dacă nu altele semnele identificabile sunt utilizate corespunzător ca cifre suplimentare față de cele utilizate în mod obișnuit.

Rădăcina numerică a unui număr întreg n se obține cu un proces format din pași reductivi succesivi , fiecare dintre aceștia constând în obținerea dintr-un număr întreg al cifrelor sale din scrierea din baza b.

Să facem câteva exemple limitându-ne la baza 10 și deci la notații zecimale

Rădăcina numerică a lui 456 este egală cu rădăcina numerică a 4 + 5 + 6 = 15, adică este egală cu 1 + 5 = 6.

Pentru rădăcina numerică a numărului întreg 65.536 trecem prin 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 pentru a ajunge la 2 + 5 = 7.

Desigur, rădăcina numerică a unui număr întreg ab inferior coincide cu întregul în sine.

Rădăcina numerică dintr-o bază dată este deci o funcție surjectivă a mulțimii de numere întregi pozitive pe mulțime ${0,1,2,\ldots ,b-1},$ ${\ displaystyle {0,1,2, \ ldots, b-1},}$ ${\ displaystyle {0,1,2, \ ldots, b-1},}$ iar rezultatul este restul clasei modulo $b-1,$ ${\ displaystyle b-1,}$ ${\ displaystyle b-1,}$ vezi Aritmetica modulară .

Pentru baza 10, de exemplu, este ușor de observat că succesiunea rădăcinilor numerice corespunzătoare succesiunii numerelor întregi vede secvența numerelor întregi de la 1 la 9 repetată la nesfârșit (cu periodicitate 9, desigur). De aici rezultă că calculul rădăcinilor numerice este în general foarte accelerat de considerații asupra congruențelor (vezi dovada lui 9 ). Formula pentru calcularea rădăcinii numerice este deci:

r(n)={\begin{cases}0,&{\text{se }}n=0,\\9,&{\text{se }}n\equiv 0{\bmod {9}}{\text{ e }}n\neq 0,\\n{\bmod {9}},&{\text{se }}n\not \equiv 0{\bmod {9}}.\end{cases}}

{\ displaystyle r (n) = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} n = 0, \\ 9 și {\ text {se}} n \ equiv 0 {\ bmod {9} } {\ text {e}} n \ neq 0, \\ n {\ bmod {9}} și {\ text {se}} n \ not \ equiv 0 {\ bmod {9}}. \ end {cases }}}

{\ displaystyle r (n) = {\ begin {cases} 0 și {\ text {se}} n = 0, \\ 9 și {\ text {se}} n \ equiv 0 {\ bmod {9} } {\ text {e}} n \ neq 0, \\ n {\ bmod {9}} și {\ text {se}} n \ not \ equiv 0 {\ bmod {9}}. \ end {cases }}}

Pasul reductiv introdus mai sus este o funcție finală între numere întregi: pentru această funcție finală numerele de la 1 la $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt puncte fixe . Această funcție finală definește un digraf infinit pe numere întregi care se dovedește a fi în esență un agregat de $b-1$ ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle b-1}$ contraarborescențe având ca rădăcini numerele de la 1 la $b-1.$ ${\ displaystyle b-1.}$ ${\ displaystyle b-1.}$

Pentru unele seturi particulare de numere întregi există restricții interesante asupra valorilor posibile ale rădăcinii numerice.

Rădăcinile numerice ale întregilor pătrate sunt doar 1, 4, 7 și 9 (de fapt ele sunt pătratele din $\mathbb {Z} _{9}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {9}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {9}}$ ).
Rădăcinile numerice ale cuburilor perfecte sunt 1, 8 și 9 (de fapt ele sunt cuburile din $\mathbb {Z} _{9}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {9}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {9}}$ ).
Rădăcinile numerice ale numerelor triunghiulare sunt 1, 3, 6 sau 9.
Rădăcinile numerice ale numerelor prime, altele decât 3, sunt 1, 2, 4, 5, 7 și 8 (de fapt, numerele cu rădăcini numerice 3, 6, 9 sunt divizibile cu 3).
Rădăcinile numerice ale puterilor lui 2 sunt 1, 2, 4, 5, 7, 8 (de fapt numerele cu rădăcini numerice 3, 6, 9 sunt divizibile cu 3).
Toate numerele perfecte , cu excepția 6, au rădăcina numerică 1.
Rădăcina numerică a unui număr de stea este 1 sau 4.
Rădăcina numerică a unui multiplu de 9 este 9.

Aceste fapte pot fi utilizate pentru a verifica dacă un număr întreg nu aparține unui set de unul dintre tipurile de mai sus: este un caz de verificare parțială bazat pe o condiție necesară, dar nu suficientă.

Suma teosofică a unui număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ in conformitate $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ folosește calculul rădăcinii numerice, după ce a efectuat suma primelor $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ (în aceeași bază și set numeric). De exemplu, în baza 10, suma teosofică a lui 4 este: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (1 + 0) = 1.

Numărul de pași pentru a ajunge la rădăcina numerică a unui număr se numește persistență aditivă . Persistențele aditive ale primilor numere întregi sunt listate în secvența A031286 a OEIS , în timp ce primele numere care au $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca persistență aditivă pot fi consultate, pentru fiecare $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ în secvența A006050 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, numeric Radice , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică