Patru patru

Quattro quattro ( Patru patru în engleză) este un puzzle matematic. Obiectivul jocului este de a găsi, pentru fiecare număr natural ( 0 inclus), o expresie matematică al cărei rezultat este numărul luat în considerare. În expresia matematică pot fi folosiți diferiți operatori matematici și unele funcții, dar ceea ce este esențial este că există doar și doar patru cifre 4 .

Un document care conține acest joc poate fi găsit în „Recreații și eseuri matematice” de la WW Rouse Ball, publicat în 1892 ^[1] .

Reguli

Doar patru cifre 4 trebuie să fie prezente în expresia matematică (nu sunt permise alte cifre).
Utilizarea constantelor nu este permisă; de exemplu: $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , etc.
Expresiile sunt evaluate cu prioritatea oferită de matematică.
Operatorii clasici sunt permiși:
- adaos " $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ",
- scădere " $-$ ${\ displaystyle -}$ $-$ ",
- multiplicare " $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ ",
- diviziune " $:$ ${\ displaystyle:}$ ${\ displaystyle:}$ ",
- paranteză " $($ ${\ displaystyle (}$ ${\ displaystyle (}$ " Și " $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ ", pentru a schimba prioritatea firească a operatorilor.
Sunt permiși următorii operatori și funcții:
- juxtapunere (sau concatenare); de exemplu scrieți „ $4\ 4$ ${\ displaystyle 4 \ 4}$ ${\ displaystyle 4 \ 4}$ "se potrivește cu valoarea $44$ ${\ displaystyle 44}$ ${\ displaystyle 44}$ ,
- punct zecimal; de exemplu scrieți „ $,4$ ${\ displaystyle, 4}$ ${\ displaystyle, 4}$ "se potrivește cu valoarea $0,4$ ${\ displaystyle 0,4}$ ${\ displaystyle 0,4}$ (după cum puteți vedea, prezența „0” este implicită, dar dacă nu scrieți nu încalcă prima regulă),
- exponențierea; de exemplu scrieți $4^{4}$ ${\ displaystyle 4 ^ {4}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {4}}$ se potrivește cu valoarea $256$ ${\ displaystyle 256}$ ${\ displaystyle 256}$ ,
- rădăcină pătrată " ${\sqrt {\ }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\}}}$ "; de exemplu ${\sqrt {4}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}}$ se potrivește cu valoarea $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ,
- a patra rădăcină " ${\sqrt[{4}]{\ }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {\}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {\}}}$ "; de exemplu ${\sqrt[{4}]{4\times 4}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {4 \ ori 4}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {4 \ ori 4}}}$ se potrivește cu valoarea $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ,
- overline, adică repetarea infinită a cifrei: $,{\overline {4}}$ ${\ displaystyle, {\ overline {4}}}$ ${\ displaystyle, {\ overline {4}}}$ se potrivește cu valoarea $0,44444444\ldots =4/9$ ${\ displaystyle 0.44444444 \ ldots = 4/9}$ ${\ displaystyle 0.44444444 \ ldots = 4/9}$ ,
- factorial " $!$ ${\ displaystyle!}$ ${\ displaystyle!}$ "; de exemplu $4!$ ${\ displaystyle 4!}$ ${\ displaystyle 4!}$ se potrivește cu valoarea $24$ ${\ displaystyle 24}$ $24$ ,
- subfactorial " $!$ ${\ displaystyle!}$ ${\ displaystyle!}$ "plasat în fața numărului; de exemplu $!4$ ${\ displaystyle! 4}$ ${\ displaystyle! 4}$ se potrivește cu valoarea $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$ ,
- procentul operator " $\%$ ${\ displaystyle \%}$ ${\ displaystyle \%}$ "; de exemplu $4\%$ ${\ displaystyle 4 \%}$ ${\ displaystyle 4 \%}$ se potrivește cu valoarea $0,04$ ${\ displaystyle 0.04}$ ${\ displaystyle 0.04}$ ,
- funcția gamma " $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ ": $\Gamma (x)=(x-1)!$ ${\ displaystyle \ Gamma (x) = (x-1)!}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x) = (x-1)!}$ ; de exemplu $\Gamma (4)$ ${\ displaystyle \ Gamma (4)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (4)}$ se potrivește cu valoarea $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ .
În general, toți ceilalți operatori sau funcții nu sunt permise și în special următoarele nu sunt permise:
- reciprocul " $1/4$ ${\ displaystyle 1/4}$ $1/4$ ", în acest caz" 1 "care poate fi citit, chiar dacă face parte din operatorul reciproc" $1/{\ }$ ${\ displaystyle 1 / {\}}$ ${\ displaystyle 1 / {\}}$ „introduce scrierea cifrei„ 1 ”și, prin urmare, încalcă prima regulă,
- funcția anterioară " $\operatorname {prec} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {prec} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {prec} (x)}$ "care returnează numărul natural anterior de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ,
- următoarea funcție " $\operatorname {succ} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {succ} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {succ} (x)}$ "care returnează următorul număr natural de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ,
- funcție întreagă " $\operatorname {int} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {int} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {int} (x)}$ "care returnează partea întreagă a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ,
- funcție fracționată " $\operatorname {frac} (x)$ ${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x)}$ "care returnează partea zecimală a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ,
- în general orice funcție care poate aproxima valoarea,
- toate funcțiile trigonometrice; de exemplu: " $\sin$ ${\ displaystyle \ sin}$ $\ stânga$ , $\cos$ ${\ displaystyle \ cos}$ $\ cos$ , $\tan$ ${\ displaystyle \ tan}$ ${\ displaystyle \ tan}$ ", etc.
- toate funcțiile logaritmice: " $\ln$ ${\ displaystyle \ ln}$ ${\ displaystyle \ ln}$ , $\log$ ${\ displaystyle \ log}$ ${\ displaystyle \ log}$ "
- utilizarea parantezelor de lângă virgulă " $,$ ${\ displaystyle,}$ ${\ displaystyle,}$ ", deoarece scrierea (sintaxa) nu este corectă; exemplu: $,(4!)=0,24$ ${\ displaystyle, (4!) = 0.24}$ ${\ displaystyle, (4!) = 0.24}$ nu este permis.

În ceea ce privește logaritmul , nu este permis deoarece s-a demonstrat că este posibil, cu următoarea metodă, să se genereze orice număr natural, prin urmare ar permite să existe o soluție banală a puzzle-ului ^[2] :

Această soluție se bazează pe 3 lucruri:

puteți adăuga în mod repetat n rădăcini pătrate fără a adăuga cifre
rădăcina pătrată poate fi scrisă și ca exponent (x ^ (1/2))
exponenții au un invers: logaritmul.

\underbrace {{\sqrt {\sqrt {\cdots }}}{\sqrt {4}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}

{\ displaystyle \ underbrace {{\ sqrt {\ sqrt {\ cdots}}} {\ sqrt {4}}} _ {n} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

{\ displaystyle \ underbrace {{\ sqrt {\ sqrt {\ cdots}}} {\ sqrt {4}}} _ {n} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

Scriind rădăcini pătrate repetate în această formă putem izola n, care este numărul rădăcinilor pătrate

4^{(1/2)^{n}}

{\ displaystyle 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

{\ displaystyle 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}

putem izola exponenții folosind un logaritm cu o bază adecvată

x=\log _{a}a^{x}

{\ displaystyle x = \ log _ {a} a ^ {x}}

{\ displaystyle x = \ log _ {a} a ^ {x}}

mai întâi folosim a $\log _{4}$ ${\ displaystyle \ log _ {4}}$ ${\ displaystyle \ log _ {4}}$ a izola $(1/2)^{n}$ ${\ displaystyle (1/2) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (1/2) ^ {n}}$

\log _{4}4^{(1/2)^{n}}=(1/2)^{n}

{\ displaystyle \ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}} = (1/2) ^ {n}}

{\ displaystyle \ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}} = (1/2) ^ {n}}

așa că am rămas cu:

(1/2)^{n}

{\ displaystyle (1/2) ^ {n}}

{\ displaystyle (1/2) ^ {n}}

și acum putem face același lucru pentru a izola n

\log _{(1/2)}(1/2)^{n}=n

{\ displaystyle \ log _ {(1/2)} (1/2) ^ {n} = n}

{\ displaystyle \ log _ {(1/2)} (1/2) ^ {n} = n}

apoi, punând totul împreună:

n=\log _{(1/2)}\left(\log _{4}4^{(1/2)^{n}}\right)

{\ displaystyle n = \ log _ {(1/2)} \ left (\ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}} \ right)}

{\ displaystyle n = \ log _ {(1/2)} \ left (\ log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}} \ right)}

Acum, putem rescrie baza (1/2) folosind doar 4 și exponentul (1/2) înapoi la forma rădăcină pătrată:

n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {{\sqrt {\sqrt {\cdots }}}{\sqrt {4}}} _{n}

{\ displaystyle n = \ log _ {{\ sqrt {4}} / 4} \ log _ {4} \ underbrace {{\ sqrt {\ sqrt {\ cdots}}} {\ sqrt {4}}} _ { n}}

{\ displaystyle n = \ log _ {{\ sqrt {4}} / 4} \ log _ {4} \ underbrace {{\ sqrt {\ sqrt {\ cdots}}} {\ sqrt {4}}} _ { n}}

Am folosit patru 4 și acum numărul rădăcinilor pătrate pe care le adăugăm este egal cu orice număr dorim

Paul Bourke îi atribuie lui Ben Rudiak-Gould o descriere diferită a modului în care patru paturi pot fi rezolvate folosind logaritmi naturali (ln (n)) pentru a reprezenta orice număr întreg pozitiv n ca:

n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}

{\ displaystyle n = - {\ sqrt {4}} {\ frac {\ ln \ left [\ left (\ ln \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} {) n} \ right) / \ ln 4 \ right]} {\ ln {4}}}}

{\ displaystyle n = - {\ sqrt {4}} {\ frac {\ ln \ left [\ left (\ ln \ underbrace {\ sqrt {\ sqrt {\ cdots {\ sqrt {4}}}}} {) n} \ right) / \ ln 4 \ right]} {\ ln {4}}}}

Soluții

Exemple de soluții acceptate

Acestea sunt exemple care îndeplinesc condițiile stabilite de puzzle:

$0=44-44$ ${\ displaystyle 0 = 44-44}$ ${\ displaystyle 0 = 44-44}$
$16=4+4+4+4$ ${\ displaystyle 16 = 4 + 4 + 4 + 4}$ ${\ displaystyle 16 = 4 + 4 + 4 + 4}$
$256=4\times 4\times 4\times 4$ ${\ displaystyle 256 = 4 \ ori 4 \ ori 4 \ ori 4}$ ${\ displaystyle 256 = 4 \ ori 4 \ ori 4 \ ori 4}$
$1\,001={\sqrt {\sqrt {\sqrt {\left({\frac {4}{,4}}\right)^{4!}}}}}+\Gamma ({\sqrt {4}})$ ${\ displaystyle 1 \, 001 = {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {, 4}} \ right) ^ {4!}}}}} + \ Gamma ({\ sqrt {4}})}$ ${\ displaystyle 1 \, 001 = {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {, 4}} \ right) ^ {4!}}}}} + \ Gamma ({\ sqrt {4}})}$
$39\,456=4!\times \left({\frac {(\Gamma (4))!}{,{\overline {4}}}}+4!\right)$ ${\ displaystyle 39 \, 456 = 4! \ times \ left ({\ frac {(\ Gamma (4))!} {, {\ overline {4}}}} + 4! \ right)}$ ${\ displaystyle 39 \, 456 = 4! \ times \ left ({\ frac {(\ Gamma (4))!} {, {\ overline {4}}}} + 4! \ right)}$
$331\,776=4!\times 4!\times 4!\times 4!$ ${\ displaystyle 331 \, 776 = 4! \ times 4! \ times 4! \ times 4!}$ ${\ displaystyle 331 \, 776 = 4! \ times 4! \ times 4! \ times 4!}$

Exemple de soluții nevalide

Cu toate acestea, aceste exemple nu îndeplinesc condițiile stabilite de puzzle:

$9={\frac {1}{4}}\times 4+4+4$ ${\ displaystyle 9 = {\ frac {1} {4}} \ times 4 + 4 + 4}$ ${\ displaystyle 9 = {\ frac {1} {4}} \ times 4 + 4 + 4}$ : se folosește operatorul reciproc, care încalcă prima regulă.
$12=4+4+4$ ${\ displaystyle 12 = 4 + 4 + 4}$ ${\ displaystyle 12 = 4 + 4 + 4}$ : există mai puțin de patru cifre 4.
$15=4+4+4+3$ ${\ displaystyle 15 = 4 + 4 + 4 + 3}$ ${\ displaystyle 15 = 4 + 4 + 4 + 3}$ : există alte cifre decât 4.
$17=4+4+4+4+{\frac {\pi }{\pi }}$ ${\ displaystyle 17 = 4 + 4 + 4 + 4 + {\ frac {\ pi} {\ pi}}}$ ${\ displaystyle 17 = 4 + 4 + 4 + 4 + {\ frac {\ pi} {\ pi}}}$ : se folosește o constantă.
$20=4+4+4+4+4$ ${\ displaystyle 20 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4}$ ${\ displaystyle 20 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4}$ : există mai mult de patru cifre 4.

Soluții multiple

În mai multe cazuri, pot exista mai multe expresii matematice valide care returnează același număr. De exemplu, pentru număr $16$ ${\ displaystyle 16}$ $16$ următoarele soluții sunt echivalente:

16=4+4+4+4\ =\ 4\times 4+4-4\ =\ {\frac {4!+4!}{4}}+4\ =\ \ ,4\times (44-4)

{\ displaystyle 16 = 4 + 4 + 4 + 4 \ = \ 4 \ times 4 + 4-4 \ = \ {\ frac {4! +4!} {4}} + 4 \ = \ \, 4 \ times (44-4)}

{\ displaystyle 16 = 4 + 4 + 4 + 4 \ = \ 4 \ times 4 + 4-4 \ = \ {\ frac {4! +4!} {4}} + 4 \ = \ \, 4 \ times (44-4)}

În acest caz, puteți alege expresia matematică mai simplă decât celelalte.

Nu există o regulă precisă pentru determinarea celei mai simple expresii, dar se poate face astfel:

Fiecărui operator sau funcție i se atribuie un scor care va crește pe baza dificultății calculului (de exemplu " ${\sqrt {\ }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\}}}$ „va avea un scor mai mare decât” $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ „deoarece calculul primului operator este mai complex decât calculul celui de-al doilea operator): scorul de expresie va fi dat de suma scorurilor diferiților operatori prezenți.
Cea mai simplă expresie va fi cea cu cei mai puțini operatori sau funcții.
În caz de egalitate, cea mai simplă expresie va fi cea cu cel mai mic scor.

Deoarece nu există o constrângere specifică în atribuirea scorurilor diferiților operatori, alegerea făcută poate duce la rezultate diferite.

Soluții pentru numere de la 0 la 25

Următoarele sunt soluțiile primelor douăzeci și șase de numere naturale, în unele cazuri există, evident, mai multe soluții.

0=44-44

{\ displaystyle 0 = 44-44}

{\ displaystyle 0 = 44-44}

1=44:44

{\ displaystyle 1 = 44: 44}

{\ displaystyle 1 = 44: 44}

2=4:4+4:4

{\ displaystyle 2 = 4: 4 + 4: 4}

{\ displaystyle 2 = 4: 4 + 4: 4}

3=(4+4+4):4

{\ displaystyle 3 = (4 + 4 + 4): 4}

{\ displaystyle 3 = (4 + 4 + 4): 4}

4=4\times (4-4)+4

{\ displaystyle 4 = 4 \ times (4-4) +4}

{\ displaystyle 4 = 4 \ times (4-4) +4}

5=(4\times 4+4):4

{\ displaystyle 5 = (4 \ ori 4 + 4): 4}

{\ displaystyle 5 = (4 \ ori 4 + 4): 4}

6=4\times ,4+4,4

{\ displaystyle 6 = 4 \ ori, 4 + 4.4}

{\ displaystyle 6 = 4 \ ori, 4 + 4.4}

7=44:4-4

{\ displaystyle 7 = 44: 4-4}

{\ displaystyle 7 = 44: 4-4}

8=4+4,4-,4

{\ displaystyle 8 = 4 + 4.4-, 4}

{\ displaystyle 8 = 4 + 4.4-, 4}

9=4:4+4+4

{\ displaystyle 9 = 4: 4 + 4 + 4}

{\ displaystyle 9 = 4: 4 + 4 + 4}

10=44:4,4

{\ displaystyle 10 = 44: 4.4}

{\ displaystyle 10 = 44: 4.4}

11=4:{\ },4+4:4

{\ displaystyle 11 = 4: {\}, 4 + 4: 4}

{\ displaystyle 11 = 4: {\}, 4 + 4: 4}

12=(44+4):4

{\ displaystyle 12 = (44 + 4): 4}

{\ displaystyle 12 = (44 + 4): 4}

13=4!-44:4

{\ displaystyle 13 = 4! -44: 4}

{\ displaystyle 13 = 4! -44: 4}

14=4\times (4-,4)-,4

{\ displaystyle 14 = 4 \ times (4-, 4) -, 4}

{\ displaystyle 14 = 4 \ times (4-, 4) -, 4}

15=44:4+4

{\ displaystyle 15 = 44: 4 + 4}

{\ displaystyle 15 = 44: 4 + 4}

16=,4\times (44-4)

{\ displaystyle 16 =, 4 \ times (44-4)}

{\ displaystyle 16 =, 4 \ times (44-4)}

17=4:4+4\times 4

{\ displaystyle 17 = 4: 4 + 4 \ ori 4}

{\ displaystyle 17 = 4: 4 + 4 \ ori 4}

18=44\times ,4+,4

{\ displaystyle 18 = 44 \ ori, 4 +, 4}

{\ displaystyle 18 = 44 \ ori, 4 +, 4}

19=4!-4-4:4

{\ displaystyle 19 = 4! -4-4: 4}

{\ displaystyle 19 = 4! -4-4: 4}

20=4\times (4:4+4)

{\ displaystyle 20 = 4 \ times (4: 4 + 4)}

{\ displaystyle 20 = 4 \ times (4: 4 + 4)}

21=(4,4+4):,4

{\ displaystyle 21 = (4,4 + 4):, 4}

{\ displaystyle 21 = (4,4 + 4):, 4}

22=44\times {\sqrt {4}}:4

{\ displaystyle 22 = 44 \ times {\ sqrt {4}}: 4}

{\ displaystyle 22 = 44 \ times {\ sqrt {4}}: 4}

23=(4\times 4!-4):4

{\ displaystyle 23 = (4 \ ori 4! -4): 4}

{\ displaystyle 23 = (4 \ ori 4! -4): 4}

24=4\times 4+4+4

{\ displaystyle 24 = 4 \ ori 4 + 4 + 4}

{\ displaystyle 24 = 4 \ ori 4 + 4 + 4}

25=(4\times 4!+4):4

{\ displaystyle 25 = (4 \ ori 4! +4): 4}

{\ displaystyle 25 = (4 \ ori 4! +4): 4}

Liste de soluții

Mai jos este o listă (neexhaustivă) de soluții pentru acest puzzle (acordați atenție faptului că simbolul " $.$ ${\ displaystyle.}$ ${\ displaystyle.}$ " Decat " $,$ ${\ displaystyle,}$ ${\ displaystyle,}$ „ca separator zecimal, de asemenea, unii operatori sunt scrise în expresii diferite pentru comoditate, de exemplu” $,{\overline {4}}$ ${\ displaystyle, {\ overline {4}}}$ ${\ displaystyle, {\ overline {4}}}$ „este adesea denumit„ .4 ~ ”).

(RO) Introducere în Four Fours , pe johnvalentine.co.uk. Adus pe 9 aprilie 2017 .
( RO ) Puzzle Four Fours - Soluție , pe mathsisfun.com . Adus pe 9 aprilie 2017 .
( RO ) Cheia de răspuns definitivă Four Fours , pe dwheeler.com . Adus la 22 iunie 2021 .

Variante

Variațiile acestui puzzle pot fi create pe baza altor opțiuni:

folosiți două sau trei cifre 4,
folosiți cinci, șase sau mai multe cifre 4,
înlocuiți setul („4, 4, 4, 4”) cu un alt set de cifre. De exemplu, alegând anul nașterii lui Galileo Galilei „1564”, în expresie se pot folosi numerele („1, 5, 6, 4”),
folosiți cinci cifre 5,
folosiți șase cifre 6,

si asa mai departe.

Notă

^ (EN) W. W. Rouse Ball, Recreații și eseuri matematice , p. 14.
^ (EN) Mathematics Stack Exchange , pe math.stackexchange.com.

Elemente conexe

Matematică recreativă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) W. W. Rouse Ball, Recreații și eseuri matematice , p. 14.

[2] (EN) Mathematics Stack Exchange , pe math.stackexchange.com.

[1]

[2]