Întreg de Eisenstein

Numere întregi Eisenstein ca puncte de intersecție a unei rețele triunghiulare în planul complex

În matematică , un număr întreg Eisenstein , numit după matematicianul Ferdinand Eisenstein , este un număr complex al formei:

z=a+b\,\omega

{\ displaystyle z = a + b \, \ omega}

{\ displaystyle z = a + b \, \ omega}

unde a și b sunt numere întregi și

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} (- 1 + i {\ sqrt {3}}) = e ^ {2 \ pi i / 3}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} (- 1 + i {\ sqrt {3}}) = e ^ {2 \ pi i / 3}}

este o rădăcină cubică a unității . Numerele întregi Eisenstein formează o rețea triunghiulară în planul complex , spre deosebire de numerele întregi Gauss care formează o rețea dreptunghiulară în planul complex.

Proprietate

Numerele întregi Eisenstein formează un inel comutativ de numere algebrice în câmpul numerelor algebrice Q (√ - 3). De asemenea, formează un domeniu euclidian .

Pentru a vedea că numerele întregi Eisenstein sunt numere întregi algebrice, rețineți că fiecare z = a + b ω este o rădăcină a polinomului monic

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

{\ displaystyle z ^ {2} - (2a-b) z + (a ^ {2} -ab + b ^ {2}).}

{\ displaystyle z ^ {2} - (2a-b) z + (a ^ {2} -ab + b ^ {2}).}

În special, ω satisface ecuația

\omega ^{2}+\omega +1=0.

{\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0.}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0.}

Grupul de unități din inelul de numere întregi Eisenstein este un grup ciclic format din rădăcinile celei de-a șasea unități din planul complex. În special sunt

{± 1, ± ω sau ± ω ² }

acești numere întregi Eisenstein sunt singurele cu o valoare absolută a unității.

Produsul a două numere întregi Eisenstein ( a + bω) ori ( c + dω) este scris explicit ca

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

{\ displaystyle (a + b \ omega) \ cdot (c + d \ omega) = (ac-bd) + (bc + ad-bd) \ omega.}

{\ displaystyle (a + b \ omega) \ cdot (c + d \ omega) = (ac-bd) + (bc + ad-bd) \ omega.}

Norma unui întreg Eisenstein este pur și simplu pătratul modulului său și este dată de

{|a+b\omega |}^{2}\ =\,a^{2}-ab+b^{2}\ =\ {\tfrac {1}{4}}({(2a{-}b)}^{2}+3b^{2}),

{\ displaystyle {| a + b \ omega |} ^ {2} \ = \, a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {4}} ({(2a {-} b)} ^ {2} + 3b ^ {2}),}

{\ displaystyle {| a + b \ omega |} ^ {2} \ = \, a ^ {2} -ab + b ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {4}} ({(2a {-} b)} ^ {2} + 3b ^ {2}),}

Conjugatul lui ω satisface relația

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}.

{\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = \ omega ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = \ omega ^ {2}.}

Numere prime ale lui Eisenstein

Dacă x și y sunt numere întregi Eisenstein, x este declarat a diviza y dacă există un Eisenstein întreg z astfel încât

y = z x

Aceasta extinde noțiunea de divizibilitate pentru numere întregi obișnuite. Mai mult, noțiunea de primalitate poate fi extinsă; un număr întreg Eisenstein neunitar x este un prim Eisentein dacă singurii săi divizori sunt de forma ux și u unde u este oricare dintre cele șase unități.

Se poate arăta că un prim ordinar (sau prim rațional ) al formei $x^{2}-xy+y^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -xy + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -xy + y ^ {2}}$ pot fi luate în considerare $(x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)$ ${\ displaystyle (x + \ omega y) (x + \ omega ^ {2} y)}$ ${\ displaystyle (x + \ omega y) (x + \ omega ^ {2} y)}$ și, prin urmare, nu prime în numere întregi Eisentein. Mai mult, un număr de forma x ² - xy + y ² este un prim rațional dacă și numai dacă x + ω y este un prim al Eisenteinului.