Întregul lui Gauss

Întregi Gauss ca puncte ale unei rețele pe planul complex

Un număr întreg Gauss (sau Gaussian ) este un număr complex ale cărui părți reale și imaginare sunt numere întregi . Întregul $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ al întregilor Gaussieni, echipați cu operațiile obișnuite de adunare și multiplicare între numere complexe, este un inel .

Definiție

În mod formal, numărul întreg Gauss constituie mulțimea

\mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}.

{\ displaystyle \ mathbb {Z} [i] = \ {a + bi | a, b \ in \ mathbb {Z} \}.}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} [i] = \ {a + bi | a, b \ in \ mathbb {Z} \}.}

Inelul întreg Gauss este un domeniu de integritate , un inel de factorizare unic , un inel ideal principal și un domeniu euclidian , dar nu este un inel ordonat .

Proprietate

Normă

Norma este o funcție care asociază cu fiecare număr întreg Gauss un număr întreg negativ definit ca

N(a+bi)=a^{2}+b^{2}.

{\ displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2}.}

{\ displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2}.}

Norma este multiplicativă , adică

N(zw)=N(z)N(w).

{\ displaystyle N (zw) = N (z) N (w).}

{\ displaystyle N (zw) = N (z) N (w).}

Elemente inversabile

Elementele inversabile ( unitățile ) din $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ acestea sunt toate și numai elementele normei 1, adică următoarele patru numere:

1,-1,i,-i.

{\ displaystyle 1, -1, i, -i.}

{\ displaystyle 1, -1, i, -i.}

Primele lui Gauss

Reprezentarea numerelor întregi Gauss cu „primele” marcate cu roșu

La fel ca numerele întregi , numerele întregi Gauss pot fi scrise (aproape) unic ca produs al „primelor” , numite primele Gauss . Unele prime „comune” sunt primele Gauss, în timp ce altele devin numere compuse; de exemplu 2 = (1 + i ) (1 - i ) și 5 = (2 + i ) (2 - i ).

Mai precis:

numerele prime congruente cu 3 modulo 4 sunt prime Gauss;
numerele prime congruente cu 1 modul 4 sunt produsul a două prime Gauss distincte, p = a ² + b ² = (a + bi) (a-bi) ( teorema lui Fermat pe sumele a două pătrate );
2 este, cu excepția unui inversabil (în numere întregi „semnul”), pătratul unui prim gaussian: (1 + i) ² = 2 i ;

În general, un număr întreg Gauss $a+bi$ ${\ displaystyle a + bi}$ ${\ displaystyle a + bi}$ este prim dacă și numai dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

unul între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este nul și celălalt este un prim congruent la 3 modulo 4;
$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt ambele non-nule și $N(a+bi)=a^{2}+b^{2}$ ${\ displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2}}$ este egal cu 2 sau este egal cu un prim congruent cu 1 modul 4.

Primele gaussiene sunt infinite, deoarece numerele prime congruente cu 3 modulo 4 sunt infinite.

Câmpul cotientului

Câmpul coeficienților numerelor întregi Gauss este câmpul raționalelor Gauss (sau Gaussians )

\mathbb {Q} (i)=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Q} \}

{\ displaystyle \ mathbb {Q} (i) = \ {a + bi \ mid a, b \ in \ mathbb {Q} \}}

{\ displaystyle \ mathbb {Q} (i) = \ {a + bi \ mid a, b \ in \ mathbb {Q} \}}

,

format din numere complexe a + bi ale căror părți reale și imaginare, a și b , sunt ambele numere raționale .

Acest câmp este o extensie a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ de gradul 2, deci este un câmp al numerelor .

Ca toate câmpurile numerice, este o extensie finită și separabilă a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , și cu topologia euclidiană moștenită din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ nu este un spațiu complet .

Ca toate extensiile de gradul 2, $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i) / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i) / \ mathbb {Q}}$ este normal , din Galois , abelian, cu grupul Galois izomorf a $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}}$ .

În plus $\mathbb {Q} (i)$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$ ${\ mathbb {Q}} (i)$ , fiind câmpul de divizare al polinomului x ⁴ -1 pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , este un câmp ciclotomic cu un inel întreg este $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ .

Conjecturi deschise

Prin reprezentarea numerelor complexe ca un plan peste numere reale , cele două linii de numere reale și numere pur imaginare conțin numere prime Gaussiene infinite. Nu se cunoaște nicio altă linie pentru care deține această proprietate, în special nu se știe dacă există primi Gaussieni ai formei (1+ ki ) ^[1]

Notă

^ Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, capitolul. 6.IV (conjectura lui Hardy & Littlewood E și conjectura F)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe întregul Gauss

linkuri externe

http://www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM este un applet Java care calculează expresiile care conțin numere întregi Gauss și le factorizează în Gaussians timpurii.
http://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM este un applet Java care permite o vizualizare grafică a primilor Gaussieni.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, capitolul. 6.IV (conjectura lui Hardy & Littlewood E și conjectura F)

[1]