Secțiunea spirală

Secțiunea spirală ca secțiune plană a unui tor

O secțiune Spiric sau Spiric Perseu este un caz special al unei secțiuni torice , care este intersecția unui plan cu un tor . Secțiunile spirale sunt secțiuni torice în care planul care intersectează torul este paralel cu axa de simetrie de rotație a acestuia. Au fost descoperite în jurul anului 150 î.Hr. de topograful grec Perseu și au fost primele secțiuni torice descrise.

Descrierea matematică

În general, secțiunile spirale sunt curbe plane identificate printr-o ecuație de gradul patru ( quartic ) cu trei parametri . Să vedem prin ce pași putem ajunge la această ecuație.

Un tor poate fi descris ca suprafața obținută din mișcarea rotativă a unui cerc cu o rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ (numit cerc generator ) în jurul unei linii drepte în afara acestuia (numită axa de revoluție ), astfel încât planul cercului să conțină întotdeauna axa de revoluție. Prin urmare, centrul circumferinței are o distanță constantă de axa de revoluție, pe care o indicăm cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Să presupunem că într-un sistem ortogonal de referință cartesian torul este centrat la origine, că axa sa de revoluție (numită și axa de simetrie de rotație a torului) coincide cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și că asii $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ zaceți în planul simetriei oglinzii pentru tor. În acest caz, ecuația torului este:

$\left(r^{2}-a^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left(x^{2}+z^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (r ^ {2} -a ^ {2} + z ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + z ^ {2} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left (r ^ {2} -a ^ {2} + z ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + z ^ {2} \ dreapta)}$

Secțiunile spirale pot fi obținute prin intersecția torului cu un plan de ecuație $z=c$ ${\ displaystyle z = c}$ $z = c$ , unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ reprezintă distanța dintre planul secant al torului și axa de revoluție; asa de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ variază între și $r+a$ ${\ displaystyle r + a}$ ${\ displaystyle r + a}$ .

Aceste curbe sunt caracterizate în mod unic prin parametrul c, iar cea referitoare la un anumit c are ca ecuație:

$\left(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left(x^{2}+c^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (r ^ {2} -a ^ {2} + c ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + c ^ {2} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left (r ^ {2} -a ^ {2} + c ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + c ^ {2} \ dreapta)}$

Nu există secțiuni spirale în care $c>r+a$ ${\ displaystyle c> r + a}$ ${\ displaystyle c> r + a}$ , deoarece în acest caz avionul este prea departe de tor pentru a-l putea intersecta.

Trebuie remarcat faptul că ecuația de mai sus ar putea fi recalificată prin plasare $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ fără pierderea generalității. Mai exact privind fix $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ obținem așa-numita ecuație în formă normală, aceasta identifică o familie de curbe de gradul patru cu doi parametri ( a și c ) și fiecare dintre aceste curbe identifică o clasă de similaritate a secțiunilor spirale (cele referitoare la diferite valori ale lui r ).

Clasificarea secțiunilor spirale

Să observăm mai întâi că curbele sunt invariante prin reflexie cu privire la axele Ox și Oy, la fel ca și torul și planul secant $z=c$ ${\ displaystyle z = c}$ $z = c$ .

Să examinăm acum ce secțiuni spirale sunt obținute pe măsură ce parametrul variază $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

(1) Dacă $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ , secțiunea spirală este formată din două cercuri de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , centrată respectiv pe puncte $(-r,0)$ ${\ displaystyle (-r, 0)}$ ${\ displaystyle (-r, 0)}$ Și $(r,0)$ ${\ displaystyle (r, 0)}$ ${\ displaystyle (r, 0)}$ .

(2) Dacă $0<c<r-a$ ${\ displaystyle 0 <c <ra}$ ${\ displaystyle 0 <c <r-a}$ , secțiunea este formată din două ovale dispuse simetric față de axă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

(3) Dacă $c=r-a$ ${\ displaystyle c = ra}$ ${\ displaystyle c = r-a}$ , cele două ovale se ating într-un punct și se formează o curbă în formă de opt, numită hipopedă , care a fost studiată și de Proclus (și este de fapt adesea numită hipopodă a lui Proclus ) și care a fost folosită de Eudossus în descrierea mișcărilor cerești. Ecuația sa se obține apoi prin substituire $r-a$ ${\ displaystyle ra}$ ${\ displaystyle r-a}$ in loc de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în ecuația generală a unei secțiuni spirice; după câțiva pași, ajungem la:

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4r^{2}y^{2}=4ar\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} + 4r ^ {2} y ^ {2} = 4ar \ left (x ^ {2} + y ^ {2 } \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} + 4r ^ {2} y ^ {2} = 4ar \ left (x ^ {2} + y ^ {2 } \ dreapta)}$

(4) Dacă $r-a<c<r$ ${\ displaystyle ra <c <r}$ ${\ displaystyle r-a <c <r}$ , se obține o curbă închisă care are o îngustare în centru, $perx=0$ ${\ displaystyle perx = 0}$ ${\ displaystyle perx = 0}$ .

(5) Cazul $c=r$ ${\ displaystyle c = r}$ ${\ displaystyle c = r}$ este pur și simplu un caz de tranziție între precedent și următor.

(6) Dacă $r<c<r+a$ ${\ displaystyle r <c <r + a}$ ${\ displaystyle r <c <r + a}$ , secțiunea spirală este ovală.

(7) Dacă $c=r+a$ ${\ displaystyle c = r + a}$ ${\ displaystyle c = r + a}$ , secțiunea spirală este redusă la un singur punct (care corespunde originii din ecuație).

De sine $c>r+a$ ${\ displaystyle c> r + a}$ ${\ displaystyle c> r + a}$ , după cum sa menționat mai sus, nu există o secțiune spirală din cauza planului $z=c$ ${\ displaystyle z = c}$ ${\ displaystyle z = c}$ nu mai poate intersecta torul.

Exemple notabile de secțiuni spirale

Pe lângă hipoped , există și alte secțiuni spirale de importanță istorică.

Unul dintre acestea este ovalul Cassini (într-adevăr, familia ovalelor Cassini), așa-numitele pentru că au fost studiate în secolul al XVII-lea de astronomul italo-francez Jean-Dominique Cassini .

Aceste curbe au proprietatea remarcabilă de a fi locusul punctelor planului pentru care produsul distanțelor de la două puncte numite focare este constant.

Ecuația lor generală este:

$\left((x-f)^{2}+y^{2}\right)\left((x+f)^{2}+y^{2}\right)=p^{4},$ ${\ displaystyle \ left ((xf) ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ left ((x + f) ^ {2} + y ^ {2} \ right) = p ^ {4}, }$ ${\ displaystyle \ left ((xf) ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ left ((x + f) ^ {2} + y ^ {2} \ right) = p ^ {4}, }$

unde este $(-f,0)$ ${\ displaystyle (-f, 0)}$ ${\ displaystyle (-f, 0)}$ Și $(f,0)$ ${\ displaystyle (f, 0)}$ ${\ displaystyle (f, 0)}$ sunt coordonatele focarelor, în timp ce $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ este produsul distanțelor față de incendii.

Ca secțiuni spirale, ele corespund cazului în care $c=a$ ${\ displaystyle c = a}$ ${\ displaystyle c = a}$ și deci la ecuație

$\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)^{2}=4r^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right),$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + a ^ {2} \ dreapta),}$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4r ^ {2} \ left (x ^ {2} + a ^ {2} \ dreapta),}$

care poate fi rescrisă și în formă

$\left((x-r)^{2}+y^{2}\right)^{2}\left((x+r)^{2}+y^{2}\right)^{2}=4a^{2}r^{2}.$ ${\ displaystyle \ left ((xr) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} \ left ((x + r) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2 } = 4th ^ {2} r ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ left ((xr) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} \ left ((x + r) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2 } = 4th ^ {2} r ^ {2}.}$

în care se evidențiază că ovalele lui Cassini au puncte ca focalizare $(-r,0)$ ${\ displaystyle (-r, 0)}$ ${\ displaystyle (-r, 0)}$ Și $(r,0)$ ${\ displaystyle (r, 0)}$ ${\ displaystyle (r, 0)}$ și că produsul distanțelor față de incendii este $2ar$ ${\ displaystyle 2ar}$ ${\ displaystyle 2ar}$ .

Un oval special Cassini este lemniscatul Bernoulli (de la numele matematicianului elvețian Jakob Bernoulli ), a cărui ecuație este derivată din cea a ovalelor Cassini prin plasarea $r=2a$ ${\ displaystyle r = 2a}$ ${\ displaystyle r = 2a}$ :

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2r^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right).$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 2r ^ {2} \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = 2r ^ {2} \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right).}$

Lemniscatul lui Bernoulli este o curbă de figura opt: de fapt, poate fi văzut și ca un caz particular de hipoped.

linkuri externe

Istoria MacTutor , la www-groups.dcs.st-and.ac.uk .
Descrierea MathWorld , la mathworld.wolfram.com .
Descrierea 2Dcurves.com , pe 2dcurves.com .