Teorema lui Bohr-Van Leeuwen

Teorema Bohr-Van Leeuwen afirmă că atunci când mecanica statistică și mecanica clasică sunt aplicate în mod consecvent, media termică a magnetizării este întotdeauna zero. Acest lucru face din magnetismul solidelor un fenomen pur cuantic și înseamnă că fizica clasică nu poate justifica diamagnetismul . Din această teoremă rezultă și incapacitatea fizicii clasice de a explica triboelectricitatea . ^[1]

Istorie

Ceea ce are acum numele teoremei lui Bohr-Van Leeuwen a fost descoperit de Niels Bohr în 1911 în disertația sa de doctorat ^[2] și a fost redescoperit ulterior de Hendrika Johanna van Leeuwen în teza sa de doctorat în 1921. ^[3] În 1932, Van Vleck a oficializat și s-a dezvoltat pe baza teoremei inițiale a lui Bohr într-o carte pe care a scris-o despre susceptibilitatea electrică și magnetică. ^[4]

Aspectul semnificativ al acestei descoperiri este că fizica clasică nu prezice unele lucruri precum paramagnetismul , diamagnetismul și feromagnetismul și, prin urmare, este necesară fizica cuantică pentru a explica evenimentele magnetice. ^[5] Acest rezultat, „poate cea mai deflaționată publicație din toate timpurile”, ^[6] ar fi putut contribui la dezvoltarea lui Bohr a unei teorii cvasiclasice a atomului de hidrogen în 1913.

Demonstrație

Demonstrație mai intuitivă

Teorema Bohr-Van Leeuwen se aplică unui sistem izolat care nu se poate roti. Dacă sistemul izolat se poate roti ca răspuns la un câmp magnetic extern, atunci teorema este invalidă. ^[7] Mai mult, dacă există o singură stare de echilibru termic la o anumită temperatură și într-un câmp dat, iar sistemul are timp să revină la echilibru după aplicarea unui câmp, atunci nu va exista magnetizare.

Probabilitatea ca un sistem să fie într-o anumită stare de mișcare este prezisă de statisticile Maxwell-Boltzmann ca fiind proporționale cu $\exp(-U/k_{\text{B}}T)$ ${\ displaystyle \ exp (-U / k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ displaystyle \ exp (-U / k _ {\ text {B}} T)}$ , unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este energia sistemului, $k_{\text{B}}$ ${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$ ${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$ este constanta lui Boltzmann și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută . Această energie este egală cu energia cinetică $(mv^{2}/2)$ ${\ displaystyle (mv ^ {2} / 2)}$ ${\ displaystyle (mv ^ {2} / 2)}$ pentru o particulă cu masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și energie potențială . ^[7]

Câmpul magnetic nu contribuie la energia potențială. Forța Lorentz asupra unei particule cu sarcină $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ și viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ Și

\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}

unde este $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ este câmpul electric e $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ este densitatea fluxului magnetic . Rata de muncă este $\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$ și nu depinde de $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ . Prin urmare, energia nu depinde de câmpul magnetic, deci distribuția mișcărilor nu depinde de câmpul magnetic. ^[7]

La un câmp nul, nu va exista nicio mișcare netă a particulelor încărcate, deoarece sistemul nu poate roti. Prin urmare, va exista un moment magnetic mediu zero. Deoarece distribuția mișcărilor nu depinde de câmpul magnetic, momentul în echilibru termic rămâne pentru orice câmp magnetic. ^[7]

Demonstrație mai formală

Pentru a reduce complexitatea probei, vom folosi un sistem cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ electroni.

Acest lucru este adecvat, deoarece cea mai mare parte a magnetismului dintr-un solid este transportată de electroni, iar dovada se generalizează cu ușurință la mai mult de un tip de particulă încărcată.

Fiecare electron are o sarcină negativă $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ si masa $m_{\text{e}}$ ${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$ .

Dacă locația sa este $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ iar viteza este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ , produce un curent $\mathbf {j} =e\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$ și un moment magnetic ^[5]

\mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}

Ecuația de mai sus arată că momentul magnetic este liniar în viteză, deci momentul magnetic total într-o direcție dată trebuie să fie o funcție liniară a formei

\mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},

{\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}

{\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}

unde punctul reprezintă o derivată în timp și $\mathbf {a} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ sunt coeficienți vectoriali dependenți de coordonatele poziției $\{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$ . ^[5]

Statistica Maxwell-Boltzmann oferă probabilitatea ca a n-a particulă să aibă impuls $\mathbf {p} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$ și locație $\mathbf {r} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$ ca

dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},

{\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [- {\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ right]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}

{\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [- {\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ right]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}

unde este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este Hamiltonianul , energia totală a sistemului. ^[5]

Media termică a oricărei funcții $f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}}$ din aceste coordonate generalizate este deci

\langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.

{\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}

{\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}

În prezența unui câmp magnetic,

{\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ right) ^ {2} + e \ phi (\ mathbf {q}),}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ right) ^ {2} + e \ phi (\ mathbf {q}),}

unde este $\mathbf {A} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$ este potențialul vector magnetic e $\phi (\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}$ este potențialul electric scalar. Pentru fiecare particulă, componentele impulsului $\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ și locație $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _i$ sunt legate de ecuațiile mecanicii hamiltoniene :

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & = - \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {p} _ {i}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & = - \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {p} _ {i}. \ end {align}}}

Prin urmare,

{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i},

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i},}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i},}

asa de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o funcție liniară a impulsului $\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ . ^[5]

Momentul mediat termic,

\langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},

{\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}

{\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}

este suma termenilor proporțională cu integralele formei

\int _{-\infty }^{\infty }pdp,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} pdp,}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} pdp,}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ reprezintă una dintre coordonatele impulsului

Integrandul este o funcție ciudată a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , apoi anulați.

Prin urmare, $\langle \mu \rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$ . ^[5]

Aplicații

Teorema Bohr-Van Leeuwen este utilă în multe aplicații, inclusiv fizica plasmei . ^[8]

Notă

^ (EN) Robert Alicki și Alejandro Jenkins, Teoria cuantică a triboelectricității , în Physical Review Letters, vol. 125, nr. 18, 30 octombrie 2020, p. 186101, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.186101 , ISSN 0031-9007 ( WC ACNP ) , arXiv : 1904.11997 .
^ Niels Bohr, The Doctor's Disertation (text și traducere) , în Rosenfeld (ed.), Early Works (1905-1911) , Niels Bohr Collected Works , vol. 1, Elsevier , 1972 [publicat inițial ca „Studier over Metallernes Elektrontheori”, Københavns Universitet (1911)] , pp. 163, 165–393, DOI : 10.1016 / S1876-0503 (08) 70015-X , ISBN 978-0-7204-1801-9 .
^ Hendrika Johanna Van Leeuwen, Problèmes de la théorie électronique du magnétisme , în Journal de Physique et le Radium , vol. 2, nr. 12, 1921, pp. 361-377, DOI : 10.1051 / jphysrad: 01921002012036100 .
^ JH Van Vleck, Teoria susceptibilităților electrice și magnetice , Clarendon Press , 1932, ISBN 0-19-851243-0 .
^ ^A ^b ^c ^d ^și ^f (EN) Amikam Aharoni, Introducere în teoria feromagnetismului , Clarendon Press , 1996, pp. 6-7, ISBN 0-19-851791-2 .
^ JH Van Vleck, Mecanica cuantică: cheia înțelegerii magnetismului (prelegere Nobel, 8 decembrie 1977) , în Lundqvist (ed.), Prelegeri Nobel în fizică 1971-1980 , World Scientific , 1992, ISBN 981-02-0726- 3 .
^ ^a ^b ^c ^d Richard P. Feynman , Robert B. Leighton și Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, 2006, pp. 34-8, ISBN 978-0465024940 .
^ Stabilitatea plasmei și teorema lui Bohr-Van Leeuwen , ntrs.nasa.gov , 1967.

linkuri externe

( EN ) La începutul secolului al XX-lea: relativitatea și mecanica cuantică aduc în sfârșit înțelegere , pe tcd.ie (arhivat din original la 13 decembrie 2014) .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] (EN) Robert Alicki și Alejandro Jenkins, Teoria cuantică a triboelectricității , în Physical Review Letters, vol. 125, nr. 18, 30 octombrie 2020, p. 186101, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.186101 , ISSN 0031-9007 ( WC ACNP ) , arXiv : 1904.11997 .

[2] Niels Bohr, The Doctor's Disertation (text și traducere) , în Rosenfeld (ed.), Early Works (1905-1911) , Niels Bohr Collected Works , vol. 1, Elsevier , 1972 [publicat inițial ca „Studier over Metallernes Elektrontheori”, Københavns Universitet (1911)] , pp. 163, 165–393, DOI : 10.1016 / S1876-0503 (08) 70015-X , ISBN 978-0-7204-1801-9 .

[3] Hendrika Johanna Van Leeuwen, Problèmes de la théorie électronique du magnétisme , în Journal de Physique et le Radium , vol. 2, nr. 12, 1921, pp. 361-377, DOI : 10.1051 / jphysrad: 01921002012036100 .

[vanVleck-4] JH Van Vleck, Teoria susceptibilităților electrice și magnetice , Clarendon Press , 1932, ISBN 0-19-851243-0 .

[Aharoni-5] A ^b ^c ^d ^și ^f (EN) Amikam Aharoni, Introducere în teoria feromagnetismului , Clarendon Press , 1996, pp. 6-7, ISBN 0-19-851791-2 .

[6] JH Van Vleck, Mecanica cuantică: cheia înțelegerii magnetismului (prelegere Nobel, 8 decembrie 1977) , în Lundqvist (ed.), Prelegeri Nobel în fizică 1971-1980 , World Scientific , 1992, ISBN 981-02-0726- 3 .

[Feynman-7] Richard P. Feynman , Robert B. Leighton și Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, 2006, pp. 34-8, ISBN 978-0465024940 .

[8] Stabilitatea plasmei și teorema lui Bohr-Van Leeuwen , ntrs.nasa.gov , 1967.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]