Teorema lui Euclid-Euler

În matematică , teorema Euclid - Euler este o teoremă care leagă numerele perfecte de primii Mersenne . Teorema afirmă că fiecare număr par perfect este de formă $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ , unde este $2^{n}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ $2 ^ {{n}} - 1$ este un număr prim, numit și prim Mersenne.

Se presupune că există infinit multe prime Mersenne. Deși validitatea conjecturii rămâne necunoscută, aceasta este echivalentă, prin teorema Euclid-Euler, cu afirmarea existenței unor numere pare infinite. Cu toate acestea, nici măcar nu se știe dacă există un număr perfect impar. ^[1]

Afirmație

Un număr perfect este un număr natural care este egal cu suma divizorilor proprii , adică excluzându-se pe sine. Un prim Mersenne este un număr prim al formei $M_{p}=2^{p}-1$ ${\ displaystyle M_ {p} = 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle M_ {p} = 2 ^ {p} -1}$ , unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ trebuie să fie și prim.

Teorema Euclid-Euler afirmă că un număr par este perfect dacă și numai dacă este de formă $2^{p-1}M_{p}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} M_ {p}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} M_ {p}}$ , unde este $M_{p}$ ${\ displaystyle M_ {p}}$ $M _ {{p}}$ este prima dintre Mersenne. ^[1]

Istorie

Euclid a dovedit asta $2^{p-1}(2^{p}-1)$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ este de fiecare dată un număr perfect $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ este primul (Euclid, Prop. IX.36). Acesta este rezultatul final al teoriei numerelor din Elementele sale, spre deosebire de cărțile ulterioare în care Euclid se ocupă de numere iraționale , geometrie solidă și raportul auriu . Euclid și-a exprimat rezultatul afirmând că dacă o serie geometrică finită cu valoarea inițială 1 și motivul 2 are un număr prim ca sumă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , asa de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ înmulțit cu ultimul termen $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din serie este un număr perfect. Cu alte cuvinte, suma $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ din seria finită este numărul prim al lui Mersenne $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ , în timp ce ultimul termen $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este puterea $2^{p-1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1}}$ . Euclid a dovedit asta $P. T.$ ${\ displaystyle PT}$ $PT$ este perfect observând că seria geometrică cu rațiunea 2 și începând cu P, cu același număr de termeni, este proporțională cu prima sumă; prin urmare, întrucât seria originală are suma $P=2T-1$ ${\ displaystyle P = 2T-1}$ ${\ displaystyle P = 2T-1}$ , a doua serie deține $P(2T-1)=2PT-P$ ${\ displaystyle P (2T-1) = 2PT-P}$ ${\ displaystyle P (2T-1) = 2PT-P}$ și, prin urmare, suma lor este egală cu $2PT$ ${\ displaystyle 2PT}$ ${\ displaystyle 2PT}$ , dublează numărul perfect ipotetic. Cu toate acestea, cele două serii sunt disjuncte unele de altele și, prin primalitatea lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , epuizați toți divizorii $P. T.$ ${\ displaystyle PT}$ $PT$ . De aici și separatorii de $P. T.$ ${\ displaystyle PT}$ $PT$ au suma egală cu $2PT$ ${\ displaystyle 2PT}$ ${\ displaystyle 2PT}$ , care este definiția unui număr perfect. ^[2]

Peste un mileniu după Euclid, Alhazen (c. 1000 d.Hr.) a conjecturat că fiecare număr par perfect este de forma $2^{p-1}(2^{p}-1)$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ cu $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ mai întâi, dar nu a reușit niciodată să o demonstreze. ^[3]

Abia în secolul al XVIII-lea, Euler a reușit să demonstreze că formula $2^{p-1}(2^{p}-1)$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ produce toate numerele pare perfecte. ^[1] ^[4] Cu alte cuvinte, există o relație unu-la-unu între numerele pare perfecte și primii Mersenne.

Demonstrație

Dovada lui Euler este scurtă ^[1] și depinde de faptul că funcția sigma este o funcție multiplicativă, adică dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt doi numere întregi relativ prime , atunci $\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$ ${\ displaystyle \ sigma (ab) = \ sigma (a) \ sigma (b)}$ ${\ displaystyle \ sigma (ab) = \ sigma (a) \ sigma (b)}$ . Pentru a face acest lucru, suma divizorilor unui număr trebuie să includă și numărul în sine, nu doar divizorii săi. Un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este perfect dacă și numai dacă $\sigma (n)=2n$ ${\ displaystyle \ sigma (n) = 2n}$ ${\ displaystyle \ sigma (n) = 2n}$ .

O direcție a teoremei (partea deja demonstrată de Euclid) rezultă imediat din proprietatea multiplicativă: fiecare prim Mersenne dă naștere unui număr par perfect. Cand $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ este primul, $\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)$ ${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1)}$ ${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1)}$ . Suma divizorilor lui $2^{p-1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1}}$ Este egal cu $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ , în timp ce primalitatea lui $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ presupune că $\sigma (2^{p}-1)=2^{p}$ ${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p} -1) = 2 ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p} -1) = 2 ^ {p}}$ , întrucât singurii săi divizori sunt 1 și el însuși. Înlocuind ceea ce a fost găsit, obținem acest lucru

\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)=(2^{p}-1)2^{p}=2(2^{p-1}(2^{p}-1)).

{\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1) = (2 ^ {p} -1) 2 ^ {p} = 2 (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)).}

{\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1) = (2 ^ {p} -1) 2 ^ {p} = 2 (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)).}

Prin urmare, $2^{p-1}(2^{p}-1)$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)}$ este un număr perfect. ^[5] ^[6] ^[7]

Prin cealaltă implicație a teoremei, fie $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un număr perfect, parțial factorizat ca $2^{k}x$ ${\ displaystyle 2 ^ {k} x}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k} x}$ , cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fotografii. De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este perfect, trebuie să ai asta

2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).

{\ displaystyle 2 ^ {k + 1} x = \ sigma (2 ^ {k} x) = (2 ^ {k + 1} -1) \ sigma (x).}

{\ displaystyle 2 ^ {k + 1} x = \ sigma (2 ^ {k} x) = (2 ^ {k + 1} -1) \ sigma (x).}

Numarul $2^{k+1}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ este cel puțin 3 și trebuie să se împartă sau să fie egală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , singurul factor ciudat al membrului stâng, prin urmare $y=x/(2^{k+1}-1)$ ${\ displaystyle y = x / (2 ^ {k + 1} -1)}$ ${\ displaystyle y = x / (2 ^ {k + 1} -1)}$ este un divizor propriu al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Prin împărțirea ambelor părți ale ecuației la factorul comun $2^{k+1}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ primesti

2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{\text{altri divisori}}=2^{k+1}y+{\text{altri divisori}}.

{\ displaystyle 2 ^ {k + 1} y = \ sigma (x) = x + y + {\ text {alți divizori}} = 2 ^ {k + 1} y + {\ text {alți divizori}}.}

{\ displaystyle 2 ^ {k + 1} y = \ sigma (x) = x + y + {\ text {alți divizori}} = 2 ^ {k + 1} y + {\ text {alți divizori}}.}

Pentru ca egalitatea să fie verificată, nu trebuie să existe alți divizori. În consecință, $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie să fie 1 și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ trebuie să fie o primă a formei $2^{k+1}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} -1}$ . ^[5] ^[6] ^[7]

Notă

^ ^a ^b ^c ^d John Stillwell, Matematica și istoria ei , Texte de licență în matematică , Springer, 2010, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8 . .
^ Euclid , Cele treisprezece cărți ale elementelor, tradus cu introducere și comentarii de Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (cărțile III - IX) , 2, Dover, 1956, pp. 421-426. .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St. Andrews .
^ ( LA ) Leonhard Euler , De numeris amicibilibus [ Despre numere amiabile ] , în Commentationes arithmeticae , vol. 2, 1849, pp. 627-636. . A se vedea în special secțiunea 8, p. 88.
^ ^a ^b Larry Gerstein, Introducere în structuri și dovezi matematice, Texte de licență în matematică, Springer, 2012, Teorema 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3 . .
^ ^a ^b Chris K. Caldwell,O dovadă că toate numerele perfecte sunt o putere de două ori mai mare decât Mersenne prime , Prime Pages . Accesat la 2 decembrie 2014 . .
^ ^a ^b Giancarlo Travaglini, The Number Number, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy , London Mathematical Society Student Texts, vol. 81, Cambridge University Press, 2014, pp. 26-27, ISBN 978-1-107-04403-6 . .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[stillwell-1] John Stillwell, Matematica și istoria ei , Texte de licență în matematică , Springer, 2010, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8 . .

[2] Euclid , Cele treisprezece cărți ale elementelor, tradus cu introducere și comentarii de Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (cărțile III - IX) , 2, Dover, 1956, pp. 421-426. .

[3] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St. Andrews .

[4] ( LA ) Leonhard Euler , De numeris amicibilibus [ Despre numere amiabile ] , în Commentationes arithmeticae , vol. 2, 1849, pp. 627-636. . A se vedea în special secțiunea 8, p. 88.

[imsp-5] Larry Gerstein, Introducere în structuri și dovezi matematice, Texte de licență în matematică, Springer, 2012, Teorema 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3 . .

[pp-6] Chris K. Caldwell,O dovadă că toate numerele perfecte sunt o putere de două ori mai mare decât Mersenne prime , Prime Pages . Accesat la 2 decembrie 2014 . .

[ntfagd-7] Giancarlo Travaglini, The Number Number, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy , London Mathematical Society Student Texts, vol. 81, Cambridge University Press, 2014, pp. 26-27, ISBN 978-1-107-04403-6 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]