Câmp cuadratic

În teoria numerelor algebrice , un câmp pătratic este un câmp algebric $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ gradul doi pe domeniul raționalelor $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . Functia $d\mapsto \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ${\ displaystyle d \ mapsto \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle d \ mapsto \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ este o bijecție din mulțimea tuturor numerelor întregi fără pătrate $d\neq 0,1$ ${\ displaystyle d \ neq 0,1}$ ${\ displaystyle d \ neq 0,1}$ la setul tuturor câmpurilor pătratice. De sine $d>0,$ ${\ displaystyle d> 0,}$ ${\ displaystyle d> 0,}$ câmpul pătratic corespunzător se numește câmpul pătratic real , dacă $d<0$ ${\ displaystyle d <0}$ ${\ displaystyle d <0}$ câmpul pătratic corespunzător se numește câmp pătratic complex sau câmp pătratic imaginar , în funcție de faptul dacă este sau nu un subcâmp al câmpului numerelor reale .

Câmpurile pătratice au fost studiate inițial ca parte a teoriei formelor pătrate binare . Deși teoria câmpului pătratic a fost studiată pe larg, unele probleme rămân încă nerezolvate. Problema numărului clasei este una dintre cele mai importante.

Inel întreg

Elementele inelului de numere întregi ale unui câmp pătratic se numesc numere întregi pătratice . Luați în considerare un câmp pătratic $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$ cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ un întreg fără pătrate . Acest lucru nu este restrictiv așa cum este ${\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} D}} = a {\ sqrt {D}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} D}} = a {\ sqrt {D}}}$ , pentru fiecare număr întreg pozitiv $la,$ ${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle a,}$ implica $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}).$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Orice număr întreg pătratic poate fi scris în formă $a+b\omega ,$ ${\ displaystyle a + b \ omega,}$ ${\ displaystyle a + b \ omega,}$ cu $a,b\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ Și

\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}},&{\text{se }}D\equiv 2,3{\pmod {4}},\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2},&{\text{se }}D\equiv 1{\pmod {4}}.\end{cases}}

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {cases} {\ sqrt {D}} și {\ text {se}} D \ equiv 2,3 {\ pmod {4}}, \\ {{1 + {\ sqrt {D}}} \ over 2} și {\ text {se}} D \ equiv 1 {\ pmod {4}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {cases} {\ sqrt {D}} și {\ text {se}} D \ equiv 2,3 {\ pmod {4}}, \\ {{1 + {\ sqrt {D}}} \ over 2} și {\ text {se}} D \ equiv 1 {\ pmod {4}}. \ end {cases}}}

Atâta timp cât $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cazul este lipsit de pătrate $D\equiv 0{\pmod {4}}$ ${\ displaystyle D \ equiv 0 {\ pmod {4}}}$ ${\ displaystyle D \ equiv 0 {\ pmod {4}}}$ nu se poate întâmpla. ^[1]

Discriminator

Pentru un întreg pătrat diferit de zero $d,$ ${\ displaystyle d,}$ ${\ displaystyle d,}$ discriminantul câmpului pătratic $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ de sine $d\equiv 1{\bmod {4}},$ ${\ displaystyle d \ equiv 1 {\ bmod {4}},}$ ${\ displaystyle d \ equiv 1 {\ bmod {4}},}$ Și $4d$ ${\ displaystyle 4d}$ ${\ displaystyle 4d}$ in caz contrar. De exemplu, dacă $d=-1,$ ${\ displaystyle d = -1,}$ ${\ displaystyle d = -1,}$ asa de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul raționalelor gaussiene și discriminantul este $-4.$ ${\ displaystyle -4.}$ ${\ displaystyle -4.}$ Motivul acestei distincții este că inelul întregilor lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este generat de ${\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$ în primul caz și din ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ In secunda.

Ansamblul discriminanților de câmp pătratic este exact ansamblul discriminanților fundamentali .

Factorizarea primilor ca produs al idealurilor

Orice număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ dă naștere unui ideal $p{\mathcal {O}}_{K}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ în inelul numerelor întregi ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ a unui câmp pătratic $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$ Din teoria generală a factorizării idealurilor prime în extensiile Galois, rezultă că putem avea doar următoarele cazuri: ^[2]

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este inert: Idealul $p{\mathcal {O}}_{K}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ este un ideal primar.; Inelul coeficient este câmpul finit cu $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ elemente: ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {F} _{p^{2}}.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / p {\ mathcal {O}} _ {K} = \ mathbb {F} _ {p ^ {2}}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / p {\ mathcal {O}} _ {K} = \ mathbb {F} _ {p ^ {2}}.}$
$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se rupe: Idealul $p{\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K} = {\ mathfrak {p}} _ {1} {\ mathfrak {p}} _ {2}}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K} = {\ mathfrak {p}} _ {1} {\ mathfrak {p}} _ {2}}$ este produsul a două idealuri prime distincte ${\mathfrak {p}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}}$ Și ${\mathfrak {p}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2}}$ din ${\mathcal {O}}_{K}.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}.}$; Inelul coeficient este produsul ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / p {\ mathcal {O}} _ {K} = \ mathbb {F} _ {p} \ times \ mathbb {F} _ {p}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / p {\ mathcal {O}} _ {K} = \ mathbb {F} _ {p} \ times \ mathbb {F} _ {p}.}$
$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este ramificat: Idealul $p{\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}^{2}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K} = {\ mathfrak {p}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K} = {\ mathfrak {p}} ^ {2}}$ este pătratul unui ideal prim ${\mathfrak {p}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak {p}$ din ${\mathcal {O}}_{K}.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}.}$; Inelul coeficient conține elemente nilpotente diferite de zero.

Al treilea caz apare dacă și numai dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte discriminantul $D. .$ ${\ displaystyle D.}$ ${\ displaystyle D.}$ Primul și al doilea caz apar atunci când simbolul Kronecker $\left({\frac {D}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {D} {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {D} {p}} \ right)}$ Este egal cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $+1,$ ${\ displaystyle +1,}$ ${\ displaystyle +1,}$ respectiv. De exemplu, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim impar care nu se împarte $D.,$ ${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle D,}$ asa de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se rupe dacă și numai dacă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este un pătrat modulo $p .$ ${\ displaystyle p.}$ ${\ displaystyle p.}$ Primele două cazuri au, într-un sens, o probabilitate egală de apariție pentru $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care variază între numere prime, vezi teorema densității lui Chebotarev . ^[3]

Legea reciprocității pătratice implică faptul că comportamentul factorizării unui prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ într-un câmp pătratic depinde doar de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ modul $D.,$ ${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle D,}$ unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este câmpul discriminant.

Grupul clasei

Grupul de clase al unei extensii pătratice de câmpuri poate fi determinat folosind limita Minkowski și simbolul Kronecker datorită finitudinii grupului de clase. ^[4] Un câmp pătratic $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ are discriminant

\Delta _{K}={\begin{cases}d,&{\text{se }}d=4k+1,\\4d,&{\text{se }}d=4k+2{\text{ oppure }}4k+3.\end{cases}}

{\ displaystyle \ Delta _ {K} = {\ begin {cases} d și {\ text {se}} d = 4k + 1, \\ 4d și {\ text {se}} d = 4k + 2 { \ text {or}} 4k + 3. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Delta _ {K} = {\ begin {cases} d și {\ text {se}} d = 4k + 1, \\ 4d și {\ text {se}} d = 4k + 2 { \ text {or}} 4k + 3. \ end {cases}}}

deci limita Minkowski este

M_{K}={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|d|}},&{\text{se }}d<0{\text{ e }}d=4k+1,\\{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {|d|}},&{\text{se }}d<0{\text{ e }}d=4k+2{\text{ oppure }}4k+3,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {|d|}},&{\text{se }}d>0{\text{ e }}d=4k+1,\\{\sqrt {|d|}},&{\text{se }}d>0{\text{ e }}d=4k+2{\text{ oppure }}4k+3.\\\end{cases}}

{\ displaystyle M_ {K} = {\ begin {cases} {\ frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d <0 {\ text { e}} d = 4k + 1, \\ {\ frac {4} {\ pi}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d <0 {\ text {e}} d = 4k + 2 {\ text {sau}} 4k + 3, \\ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d> 0 { \ text {e}} d = 4k + 1, \\ {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d> 0 {\ text {e}} d = 4k + 2 {\ text {sau}} 4k + 3. \\\ end {cases}}}

{\ displaystyle M_ {K} = {\ begin {cases} {\ frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d <0 {\ text { e}} d = 4k + 1, \\ {\ frac {4} {\ pi}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d <0 {\ text {e}} d = 4k + 2 {\ text {sau}} 4k + 3, \\ {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d> 0 { \ text {e}} d = 4k + 1, \\ {\ sqrt {| d |}} și {\ text {se}} d> 0 {\ text {e}} d = 4k + 2 {\ text {sau}} 4k + 3. \\\ end {cases}}}

Prin urmare, grupul claselor ideale este generat de idealuri prime a căror normă este mai mică de $M_{K}.$ ${\ displaystyle M_ {K}.}$ ${\ displaystyle M_ {K}.}$ Acestea pot fi determinate analizând defalcarea idealurilor $p{\mathcal {O}}_{K}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle p {\ mathcal {O}} _ {K}}$ pentru primul $p\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Z}}$ cu $|p|<M_{k}$ ${\ displaystyle | p | <M_ {k}}$ ${\ displaystyle | p | <M_ {k}}$ ^[2] ^{pagina 72} . Aceste descompuneri pot fi găsite folosind teorema Kummer-Dedekind .

Subdomenii quadratice ale câmpurilor ciclotomice

Subcâmpul pătratic al primului câmp ciclotomic

Un exemplu clasic de construire a unui câmp pătratic este acela de a lua singurul subcâmp pătratic din câmpul ciclotomic generat de o rădăcină primitivă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -thth din unitate, cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr prim impar. Unicitatea este o consecință a teoriei lui Galois : există un subgrup unic de index 2 în grupul Galois de pe $\mathbb {Q} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Câmpul pătratic discriminant este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pentru $p\equiv 1{\bmod {4}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ bmod {4}}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ bmod {4}}}$ Și $-p$ ${\ displaystyle -p}$ ${\ displaystyle -p}$ pentru $p\equiv 3{\bmod {4}}.$ ${\ displaystyle p \ equiv 3 {\ bmod {4}}.}$ ${\ displaystyle p \ equiv 3 {\ bmod {4}}.}$ Intr-adevar $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ prin urmare, este singura care se ramifică în câmpul ciclotomic $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este singurul prim care poate împărți discriminantul câmpului pătratic. Aceasta exclude „ceilalți” discriminatori $-4p$ ${\ displaystyle -4p}$ ${\ displaystyle -4p}$ Și $4p$ ${\ displaystyle 4p}$ ${\ displaystyle 4p}$ respectiv.

Alte câmpuri ciclotomice

Celelalte câmpuri ciclotomice au grupuri Galois cu 2-torsiune suplimentară și, prin urmare, conțin cel puțin trei câmpuri pătratice. În general un câmp pătratic cu discriminant $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ poate fi obținut ca un subcâmp al unui câmp ciclotomic de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ -rădăcinile unității. Aceasta exprimă faptul că conductorul unui câmp pătratic este valoarea absolută a discriminantului său, un caz special al formulei conductor-discriminant .

Ordinele câmpurilor pătratice cu discriminant mic

Tabelul următor prezintă câteva mici ordine discriminante ale câmpurilor pătratice. Ordinea maximă a unui câmp de număr algebric este inelul său întreg, iar ordinea maximă discriminantă este câmpul discriminantă. Discriminantul unei ordine non-maxime este produsul discriminantului de ordinul maxim corespunzător de pătratul determinantului matricei care exprimă o bază a ordinii non-maxime pe baza ordinii maxime.

Pentru inele de numere întregi reale pătratice, numărul de clase ideale, care măsoară eșecul factorizării unice, este dat în OEIS A003649 ; pentru cazul imaginar, acestea sunt furnizate în OEIS A000924 .

Ordin	Discriminator	Numărul clasei	Unitate	Comentarii
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$	−20	2	± 1	Clase ideale $(1),(2,1+{\sqrt {-5}})$ ${\ displaystyle (1), (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (1), (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {-19}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-19}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-19}}) / 2]}$	−19	1	± 1	Stăpânire cu idealuri principale , nu euclidiene
$\mathbb {Z} [2{\sqrt {-1}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [2 {\ sqrt {-1}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [2 {\ sqrt {-1}}]}$	−16	1	± 1	Comandă non-maximă
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {-15}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-15}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-15}}) / 2]}$	−15	2	± 1	Clase ideale $(1),(2,(1+{\sqrt {-15}})/2)$ ${\ displaystyle (1), (2, (1 + {\ sqrt {-15}}) / 2)}$ ${\ displaystyle (1), (2, (1 + {\ sqrt {-15}}) / 2)}$
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$	−12	1	± 1	Comandă non-maximă
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {-11}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-11}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-11}}) / 2]}$	−11	1	± 1	Euclidian
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-2}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-2}}]}$	−8	1	± 1	Euclidian
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {-7}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-7}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-7}}) / 2]}$	−7	1	± 1	Întreg Kleinian
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$	−4	1	$\pm 1,\pm i$ ${\ displaystyle \ pm 1, \ pm i}$ ${\ displaystyle \ pm 1, \ pm i}$ ciclic de ordinul 4	Numere întregi gaussiene
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {-3}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-3}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {-3}}) / 2]}$	−3	1	$\pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2$ ${\ displaystyle \ pm 1, (\ pm 1 \ pm {\ sqrt {-3}}) / 2}$ ${\ displaystyle \ pm 1, (\ pm 1 \ pm {\ sqrt {-3}}) / 2}$	Numere întregi Eisenstein
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-21}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-21}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-21}}]}$	-84	4		Grup de clasă neciclic ( $C_{2}\times C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2} \ times C_ {2}}$ $C_ {2} \ ori C_ {2}$ )
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {5}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {5}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {5}}) / 2]}$	5	1	$\pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}$ ${\ displaystyle \ pm ((1 + {\ sqrt {5}}) / 2) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm ((1 + {\ sqrt {5}}) / 2) ^ {n}}$ (normă $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ )
$\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}]}$	8	1	$\pm (1+{\sqrt {2}})^{n}$ ${\ displaystyle \ pm (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n}}$ (normă $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ )
$\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {3}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {3}}]}$	12	1	$\pm (2+{\sqrt {3}})^{n}$ ${\ displaystyle \ pm (2 + {\ sqrt {3}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm (2 + {\ sqrt {3}}) ^ {n}}$ (standard 1)
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {13}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {13}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {13}}) / 2]}$	13	1	$\pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}$ ${\ displaystyle \ pm ((3 + {\ sqrt {13}}) / 2) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm ((3 + {\ sqrt {13}}) / 2) ^ {n}}$ (normă $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ )
$\mathbb {Z} [(1+{\sqrt {17}})/2]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {17}}) / 2]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [(1 + {\ sqrt {17}}) / 2]}$	17	1	$\pm (4+{\sqrt {17}})^{n}$ ${\ displaystyle \ pm (4 + {\ sqrt {17}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm (4 + {\ sqrt {17}}) ^ {n}}$ (normă $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ )
$\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {5}}]}$	20	2	$\pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}$ ${\ displaystyle \ pm ({\ sqrt {5}} + 2) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ pm ({\ sqrt {5}} + 2) ^ {n}}$ (normă $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ )	Comandă non-maximă

Unele dintre aceste exemple sunt enumerate în Artin, Algebra (ed. ^{A II} -a), §13.8.

Notă

^ De ce este definit inelul pătratic întreg? , la math.stackexchange.com . Adus la 31 decembrie 2016 .
^ ^a ^b Stevenhagen, Number Rings ( PDF ), la websites.math.leidenuniv.nl , p. 36.
^ Samuel , pp. 76f
^ William Stein, Algebraic Number Theory, A Computational Approach ( PDF ), la wstein.org , pp. 77-86.

Bibliografie

( EN ) Duncan Buell,Forme pătratice binare: teoria clasică și calcule moderne , Springer-Verlag , 1989, Capitolul 6, ISBN 0-387-97037-1 .
( EN ) Pierre Samuel, Teoria algebrică a numerelor , Paris / Boston, Hermann / Houghton Mifflin Company, 1972, ISBN 978-0-901665-06-5 .
( EN ) Pierre Samuel, Teoria algebrică a numerelor , Dover, 2008, ISBN 978-0-486-46666-8 .
( EN ) IN Stewart și DO Tall, teoria numerelor algebrice , Chapman și Hall, 1979, capitolul 3.1, ISBN 0-412-13840-9 .

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Cadratic , în MathWorld , Wolfram Research.
(EN) Cadratic , în Enciclopedia Matematicii , Springer and the European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] De ce este definit inelul pătratic întreg? , la math.stackexchange.com . Adus la 31 decembrie 2016 .

[:0-2] Stevenhagen, Number Rings ( PDF ), la websites.math.leidenuniv.nl , p. 36.

[3] Samuel , pp. 76f

[4] William Stein, Algebraic Number Theory, A Computational Approach ( PDF ), la wstein.org , pp. 77-86.

[1]

[2]

[3]

[4]