Duplicarea cubului

Problema duplicării cubului , adică construcția unui cub care are dublu volumul față de cel al unui cub cu o margine dată, constituie, împreună cu problema trisecției unghiului și a quadraturii cerc , una dintre cele trei probleme clasice ale geometriei grecești.

Aceste trei probleme au apărut în perioada clasică a matematicii grecești ( 600 î.Hr. - 300 î.Hr. ) și au cuprins întreaga istorie a matematicii.

Problema duplicării cubului a ajuns la noi sub forma unui mit. Prima dovadă în acest sens este o scrisoare de la Eratostene către regele Ptolemeu III citată, șapte sute de ani mai târziu, de comentatorul Eutocio din Ascalona. Vorbește despre un tragic antic care, punând în scenă regele Minos în prezența mormântului în formă de cub în construcție, al regelui Glaucus, a spus: «micul mormânt pentru un rege: faceți-l dublu păstrându-și forma; prin urmare, toate părțile trebuie să se dubleze ”. Eratostene, după ce a observat că ordinea dată a fost greșită, deoarece prin dublarea laturilor unui cub obții un altul cu un volum de opt ori mai mare, raportează că așa-numita „problemă a duplicării cubului” s-a născut în rândul cărturarilor.

A doua mărturie, cunoscută sub numele de Problema Delian , este de la expozantul Theon of Smyrna . El, citându-l pe Eratostene, relatează că locuitorii din Delos , după ce au pus la îndoială oracolul lui Apollo despre cum să scape de ciumă, primiseră ordinul de a construi un altar, de formă cubică, cu un volum dublu comparativ cu cel existent.

Problemele clasice, precum și toate problemele matematicii, nu sunt bine puse decât după ce setul de instrumente alocate pentru rezolvarea lor a fost specificat.

Imposibilitatea de a duplica cubul folosind doar drepte și busole

Pentru a demonstra imposibilitatea de a duplica un cub doar cu utilizarea riglei și busolei, este necesar, în primul rând, să specificați ce înseamnă a face o construcție cu rigla și busola.

Efectuarea unei construcții cu rigla și busola înseamnă, în termeni simpli, determinarea obiectelor geometrice, pornind de la alte obiecte date, folosind rigla și busola ca unice instrumente.

Trebuie remarcat faptul că prin „linie” nu ne referim la un instrument pentru măsurarea sau marcarea distanțelor, ci doar o tijă rigidă care permite doar trasarea liniilor: prin urmare, ne referim la o linie nemarcată.

Problemele de construcție și, prin urmare, problema duplicării cubului, au fost studiate intens de secole și fără rezultate; după o lungă perioadă de încercări nereușite, ideea a început să se strecoare printre matematicieni că astfel de probleme erau de nerezolvat.

Cu toate acestea, pentru a studia rezolvabilitatea sau nu a problemelor clasice, a fost necesar să se aștepte până când s-au pus bazele algebrei moderne.

Problema duplicării cubului se reduce, algebric, la construcția cu rigla și busola numărului ${\sqrt[{3}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ sqrt [{3}] {2}}$ . Pentru a demonstra imposibilitatea unei astfel de construcții, este necesar să se formalizeze, în termeni algebrici, ideea intuitivă a „construcției cu rigla și busola”.

Să presupunem că este dat un set de puncte $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ în planul euclidian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ și luăm în considerare două tipuri de operații:

Operațiunea 1 (linie): trasați o linie dreaptă care leagă oricare două puncte ale $P_{0}.$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$
Operațiunea 2 (busolă): desenați un cerc al cărui centru este un punct de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ și a cărei rază este egală cu distanța dintre două puncte de $P_{0}.$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$
Definiția 1 : punctele de intersecție a două linii drepte, două cercuri, o linie dreaptă și un cerc, trasate cu operațiile 1 și 2, se spune că sunt construibile într-un singur pas de $P_{0}.$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$
Definiția 2 : un punct $r\in \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ se spune că este construibil din $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ dacă există o secvență finită $r_{1},\ldots ,r_{n}=r$ ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n} = r}$ ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n} = r}$ de puncte de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ astfel încât, pentru fiecare $i=1,\ldots ,n,$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n,}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n,}$ ideea $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ este construibil într-un singur pas din întreg $P_{0}\cup \{r_{1},\ldots ,r_{i-1}\}.$ ${\ displaystyle P_ {0} \ cup \ {r_ {1}, \ ldots, r_ {i-1} \}.}$ ${\ displaystyle P_ {0} \ cup \ {r_ {1}, \ ldots, r_ {i-1} \}.}$

Exemplu

Arătăm cum se poate realiza construcția standard a unui punct mediu al unui segment dat cu aceste considerații.

Să presupunem că avem două puncte de date $p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ si asta e $P_{0}=\{p_{1},p_{2}\}.$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ {p_ {1}, p_ {2} \}.}$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ {p_ {1}, p_ {2} \}.}$

desenați segmentul $p_{1}p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ (operația 1);
desenează cercul cu centrul $p_{1}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ $p_ {1}$ și raza $p_{1}p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ (operația 2);
desenează cercul cu centrul $p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ $p_ {2}$ și raza $p_{1}p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ (operația 2);
identifică cum $r_{1},r_{2}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ punctele de intersecție ale acestor două cercuri;
desenați segmentul $r_{1}r_{2}$ ${\ displaystyle r_ {1} r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {1} r_ {2}}$ (operația 1);
identifică cum $r_{3}$ ${\ displaystyle r_ {3}}$ $r_3$ intersecția dintre segmente $p_{1}p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ Și $r_{1}r_{2}.$ ${\ displaystyle r_ {1} r_ {2}.}$ ${\ displaystyle r_ {1} r_ {2}.}$

Apoi succesiunea $r_{1},r_{2},r_{3}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ definește construcția punctului de mijloc al $p_{1}p_{2}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} p_ {2}}$ iar acest lucru este construibil din $P_{0}.$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$

Să analizăm acum problema din punctul de vedere al teoriei câmpurilor .

La fiecare pas de construcție asociem subcâmpul lui $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate din coordonatele punctelor construite.

Așa să fie $K_{0}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ subcâmpul de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate din coordonate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a punctului în $P_{0}.$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$ ${\ displaystyle P_ {0}.}$

De sine $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ are coordonate $(x_{i},y_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_i, y_i)$ apoi, inductiv, definim $K_{i}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ $K_ {i}$ câmpul obținut din $K_{i-1}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}}$ adăugând $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ așa să fie:

K_{i}:=K_{i-1}(x_{i},y_{i}).

{\ displaystyle K_ {i}: = K_ {i-1} (x_ {i}, y_ {i}).}

{\ displaystyle K_ {i}: = K_ {i-1} (x_ {i}, y_ {i}).}

Evident că avem asta

$K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}\subseteq \mathbb {R} .$ ${\ displaystyle K_ {0} \ subseteq K_ {1} \ subseteq \ ldots \ subseteq K_ {n} \ subseteq \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle K_ {0} \ subseteq K_ {1} \ subseteq \ ldots \ subseteq K_ {n} \ subseteq \ mathbb {R}.}$

Lema 1

Cu notațiile anterioare $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ sunt zerouri, în $K_{i},$ ${\ displaystyle K_ {i},}$ ${\ displaystyle K_ {i},}$ a unui polinom la gradul al doilea al $K_{i-1}.$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$

Demonstrație

Coordonatele $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ a punctului $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ se obțin prin intersectarea a două linii, două cercuri sau o linie și un cerc.

Dovedim lema în ultimul caz .

Lasa-i sa fie $LA, B., C.$ ${\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ punctele de coordonate $(p,q),(r,s),(t,u)$ ${\ displaystyle (p, q), (r, s), (t, u)}$ ${\ displaystyle (p, q), (r, s), (t, u)}$ în $K_{i-1}.$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$

Desenați linia $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ iar circumferința centrului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și raza $w .$ ${\ displaystyle w.}$ ${\ displaystyle w.}$ $w^{2}\in K_{i-1}$ ${\ displaystyle w ^ {2} \ în K_ {i-1}}$ ${\ displaystyle w ^ {2} \ în K_ {i-1}}$ de cand $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ este distanța dintre două puncte la coordonatele în $K_{i-1}.$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$

Ecuația liniei $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și

{\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}

{\ displaystyle {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}}}

{\ displaystyle {\ frac {x-p} {r-p}} = {\ frac {y-q} {s-q}}}

iar ecuația circumferinței este

\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}.

{\ displaystyle \ left (xt \ right) ^ {2} + \ left (yu \ right) ^ {2} = w ^ {2}.}

{\ displaystyle \ left (x-t \ right) ^ {2} + \ left (y-u \ right) ^ {2} = w ^ {2}.}

Coordonatele punctelor de intersecție se obțin prin rezolvarea sistemului

\left\{{\begin{matrix}{\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}\\\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}} \\\ left (xt \ right) ^ {2} + \ left (yu \ right) ^ {2} = w ^ {2} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}} \\\ left (xt \ right) ^ {2} + \ left (yu \ right) ^ {2} = w ^ {2} \ end {matrix}} \ right.}

De aici se obține

\left(x-t\right)^{2}+\left({\frac {(s-q)(x-p)}{r-p}}+q-u\right)^{2}=w^{2}.

{\ displaystyle \ left (xt \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {(sq) (xp)} {rp}} + qu \ right) ^ {2} = w ^ {2}.}

{\ displaystyle \ left (x-t \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {(s-q) (x-p)} {r-p}} + q-u \ right) ^ {2} = w ^ {2}.}

Abscisa punctelor de intersecție $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este zero al unui polinom de gradul doi în $K_{i-1}.$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ displaystyle K_ {i-1}.}$ Același lucru este valabil și pentru ordonată.

Teorema 1

De sine $r=\left(x,y\right)$ ${\ displaystyle r = \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle r = \ left (x, y \ right)}$ este construibil dintr-un subset $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ din $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ si daca $K_{0}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ este subcâmpul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate din coordonatele punctelor de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ apoi gradele de

\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]

{\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right]}

{\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right]}

Și

\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]

{\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (y \ right): K_ {0} \ right]}

{\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (y \ right): K_ {0} \ right]}

sunt puteri ale $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Demonstrație

Are asta

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 1}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 1}$ dacă polinomul de gradul doi din care $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este un zero este reductibil

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 2}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 2}$ dacă polinomul de gradul doi din care $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este un zero este ireductibil

și, în mod similar,

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 1}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 1}$ dacă polinomul de gradul doi din care $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ este un zero este reductibil

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 2}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = 2}$ dacă polinomul de gradul doi din care $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ este un zero este ireductibil

În plus

\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\right]=\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\left(x_{i}\right)\right]\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]\in \{1.2.4\}

{\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i}, y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = \ left [K_ {i-1} \ left ( x_ {i}, y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right) \ right] \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right ): K_ {i-1} \ right] \ in \ {1.2.4 \}}

{\ displaystyle \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i}, y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ right] = \ left [K_ {i-1} \ left ( x_ {i}, y_ {i} \ right): K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right) \ right] \ left [K_ {i-1} \ left (x_ {i} \ right ): K_ {i-1} \ right] \ in \ {1.2.4 \}}

Prin urmare $\left[K_{i}:K_{i-1}\right]$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i}: K_ {i-1} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {i}: K_ {i-1} \ right]}$ este o putere a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Și, prin inducție, $\left[K_{n}:K_{0}\right],$ ${\ displaystyle \ left [K_ {n}: K_ {0} \ right],}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {n}: K_ {0} \ right],}$ este o putere a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Dar, având în vedere că, $\left[K_{n}:K_{0}\left(x\right)\right]\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]=\left[K_{n}:K_{0}\right]$ ${\ displaystyle \ left [K_ {n}: K_ {0} \ left (x \ right) \ right] \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right] = \ left [K_ {n}: K_ {0} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {n}: K_ {0} \ left (x \ right) \ right] \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right] = \ left [K_ {n}: K_ {0} \ right]}$ , rezultă că $\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]$ ${\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (x \ right): K_ {0} \ right]}$ este o putere a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

În mod similar $\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]$ ${\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (y \ right): K_ {0} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [K_ {0} \ left (y \ right): K_ {0} \ right]}$ este o putere a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Teorema 2

Cubul nu poate fi duplicat folosind o riglă și busolă.

Demonstrație

Să luăm în considerare un cub cu o margine unitară.

Este $P_{0}=\left\{\left(0;0\right),\left(1;0\right)\right\}$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ left \ {\ left (0; 0 \ right), \ left (1; 0 \ right) \ right \}}$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ left \ {\ left (0; 0 \ right), \ left (1; 0 \ right) \ right \}}$ și, prin urmare, în acest caz este $K_{0}=\mathbb {Q} .$ ${\ displaystyle K_ {0} = \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle K_ {0} = \ mathbb {Q}.}$

Dacă cubul ar fi duplicabil, atunci am putea construi un punct de coordonate $\left(\alpha ;0\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ alpha; 0 \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ alpha; 0 \ right)}$ astfel încât
$\,\alpha ^{3}=2$ ${\ displaystyle \, \ alpha ^ {3} = 2}$ ${\ displaystyle \, \ alpha ^ {3} = 2}$ și, prin urmare, prin teorema1, $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbb {Q} \ left (\ alpha \ right): \ mathbb {Q} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbb {Q} \ left (\ alpha \ right): \ mathbb {Q} \ right]}$ ar trebui să fie o putere a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Dar $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este zero din polinom $t^{3}-2$ ${\ displaystyle t ^ {3} -2}$ ${\ displaystyle t ^ {3} -2}$ care este ireductibil pe $\mathbb {Q} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

În plus $t^{3}-2$ ${\ displaystyle t ^ {3} -2}$ ${\ displaystyle t ^ {3} -2}$ este cel mai mic polinom dintre $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Și $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]=3$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbb {Q} \ left (\ alpha \ right): \ mathbb {Q} \ right] = 3}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbb {Q} \ left (\ alpha \ right): \ mathbb {Q} \ right] = 3}$ .

Aceasta demonstrează imposibilitatea duplicării cubului cu rigla și busola.

Soluții la problemă

Abandonând constrângerea utilizării numai a riglei și busolei, problema duplicării cubului devine solubilă și există mai multe construcții posibile.

Reducerea lui Hipocrate din Chios

Hipocrate din Chios , discipol al lui Pitagora , care a trăit între 460 î.Hr. și 380 î.Hr. , pare să fi fost primul care a rezolvat problema duplicării cubului urmând metoda de reducere. Această metodă constă în transformarea unei probleme în alta, odată rezolvată problema primitivă.

Dintre pitagoreici se știa cum se introduce un segment mediu x proporțional între două segmente date $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ adică se știa cum se construiesc segmente care să verifice proporția $a:x=x:b.$ ${\ displaystyle a: x = x: b.}$ ${\ displaystyle a: x = x: b.}$

Cu toate acestea, extinderea la cazul inserării a două segmente nu a fost cunoscută $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y,$ ${\ displaystyle y,}$ ${\ displaystyle y,}$ medii proporționale între două segmente date, astfel încât proporția să merite $a:x=x:y=y:b.$ ${\ displaystyle a: x = x: y = y: b.}$ ${\ displaystyle a: x = x: y = y: b.}$

Ideea, atribuită lui Hipocrate din Chios, constă în reducerea problemei duplicării cubului la cea a inserării a două mijloace proporționale între două segmente date, problemă care, cu un limbaj mai modern, poate fi astfel afirmată.

Având în vedere două segmente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ construiește încă două $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ asta cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ luate ca termeni extremi, formează un lanț de relații egale, adică

{\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{b}}.

{\ displaystyle {\ frac {a} {x}} = {\ frac {x} {y}} = {\ frac {y} {b}}.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {x}} = {\ frac {x} {y}} = {\ frac {y} {b}}.}

Din acest lanț de relații egale ia naștere

\left\{{\begin{matrix}x={\frac {ab}{y}}\\x^{2}=ay\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = {\ frac {ab} {y}} \\ x ^ {2} = ay \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = {\ frac {ab} {y}} \\ x ^ {2} = ay \ end {matrix}} \ right.}

de la care

x^{3}=a^{2}b

{\ displaystyle x ^ {3} = a ^ {2} b}

{\ displaystyle x ^ {3} = a ^ {2} b}

Segmentul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este deci latura unui cub echivalent cu un dreptunghi paralelipiped cu o margine pătrată $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și având înălțime $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . În special, dacă scriem b = ma (m număr rațional), obținem:

x^{3}=ma^{3},

{\ displaystyle x ^ {3} = but ^ {3},}

{\ displaystyle x ^ {3} = but ^ {3},}

adică un cub de margine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ echivalentă cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ori un cub de margine $la .$ ${\ displaystyle a.}$ ${\ displaystyle a.}$ Prin plasare $m=2,$ ${\ displaystyle m = 2,}$ ${\ displaystyle m = 2,}$ acesta este $b=2a,$ ${\ displaystyle b = 2a,}$ ${\ displaystyle b = 2a,}$ primesti

x^{3}=2a^{3},

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3},}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3},}

cădem din nou în problema duplicării cubului deoarece $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este partea unui cub având de două ori volumul laturii $la .$ ${\ displaystyle a.}$ ${\ displaystyle a.}$

Odată cu descoperirea atribuită lui Hipocrate din Chios , dificultatea se schimbase doar ca formă și nu se obținuse alt avantaj decât acela de a prezenta întrebarea primitivă ca o problemă a geometriei plane.

Soluția Architei

Archite din Taranto , care a trăit aproximativ între 430 î.Hr. și 360 î.Hr. , a oferit o soluție tridimensională la problema Delos, care poate fi acum descrisă cu ușurință folosind limbajul modern al geometriei analitice.

Este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ latura cubului de duplicat și, în raport cu un sistem ortogonal de referință cartezian de origine $SAU,$ ${\ displaystyle O,}$ ${\ displaystyle O,}$ este $C=(a,0,0)$ ${\ displaystyle C = (a, 0,0)}$ ${\ displaystyle C = (a, 0,0)}$ centrul cercurilor de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ întins în planuri perpendiculare pe axe.

Prin cercul central $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ perpendicular pe axa absciselor, se construiește un con circular drept având vârful la origine; prin cercul central $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ întins în planul topoarelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se trece un cilindru; cercul care se află în plan $SAU X z$ ${\ displaystyle Oxz}$ ${\ displaystyle Oxz}$ este rotit în jurul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât să genereze un taur .

Ecuațiile acestor trei suprafețe sunt, respectiv:

x^{2}=y^{2}+z^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {2} + z ^ {2}}

{\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {2} + z ^ {2}}

2ax=x^{2}+y^{2}

{\ displaystyle 2ax = x ^ {2} + y ^ {2}}

{\ displaystyle 2ax = x ^ {2} + y ^ {2}}

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {2} = 4a ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {2} = 4a ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ dreapta).}

Se intersectează într-un punct a cărui abscisă este $a{\sqrt[{3}]{2}}$ ${\ displaystyle a {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ displaystyle a {\ sqrt [{3}] {2}}}$ . Prin urmare, lungimea acestui segment reprezintă partea dorită a cubului.

Rezultatul obținut de Archita apare și mai extraordinar dacă ținem cont că a ajuns la soluția sa sintetic, fără utilizarea coordonatelor carteziene.

Soluții de Menecmo

Menecmo a fost un elev al lui Eudoss și a trăit la mijlocul secolului al IV-lea î.Hr .; lui îi datorăm două soluții diferite pentru problema duplicării cubului.

Prima soluție

Folosind notațiile moderne de geometrie analitică, soluția se obține cu ușurință ca intersecție a două parabole.

Să luăm în considerare două parabole, ale ecuațiilor

y^{2}=2ax

{\ displaystyle y ^ {2} = 2ax}

{\ displaystyle y ^ {2} = 2ax}

Și

x^{2}=ay

{\ displaystyle x ^ {2} = ay}

{\ displaystyle x ^ {2} = ay}

Din intersecția lor se obține

x^{4}=a^{2}y^{2}=2a^{3}x

{\ displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} y ^ {2} = 2a ^ {3} x}

{\ displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} y ^ {2} = 2a ^ {3} x}

prin urmare, neglijând soluția $x=0,$ ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle x = 0,}$ este situat

x^{3}=2a^{3}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

prin urmare

x=a{\sqrt[{3}]{2}}.

{\ displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

Intersectând cele două parabole obținem astfel un punct a cărui abscisă este partea cubului având un volum dublu față de volumul cubului atribuit.

A doua soluție

Folosind notațiile moderne de geometrie analitică, a doua soluție este obținută ca intersecție a unei parabole și a unei hiperbole . Luați în considerare parabola și hiperbola, respectiv a ecuațiilor:

y^{2}={\frac {a}{2}}x

{\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {a} {2}} x}

{\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {a} {2}} x}

xy=a^{2}

{\ displaystyle xy = a ^ {2}}

{\ displaystyle xy = a ^ {2}}

Din intersecția lor se obține

x^{3}=2a^{3}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

prin urmare

x=a{\sqrt[{3}]{2}}.

{\ displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

Intersectând parabola și hiperbola obținem astfel un punct a cărui abscisă este partea cubului având dublu volumul cubului atribuit.

Soluția Nicomedes

Nicomedes ( 250 î.Hr. - 180 î.Hr. ) a construit o curbă de gradul patru, pe care a denumit-o concoidă datorită asemănării cu o coajă, ceea ce i-a permis să rezolve unele probleme de inserție, inclusiv cele generate de problema duplicării cubului.

Pentru a genera concoidul, luați o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ exterioare acesteia (linia și punctul se numesc, respectiv, baza și polul concoidului) și ambele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ distanța dintre stâlp și bază. Conduceți orice linie dreaptă pentru stâlp $s,$ ${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle s,}$ sunt $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ Și $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ două segmente congruente unui segment dat de lungime $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numit interval, situat pe laturile opuse de la bază. Dupa cum $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe $r,$ ${\ displaystyle r,}$ ${\ displaystyle r,}$ ideea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ descrie concoidul. Să vedem cum, prin concoida Nicomedes, se rezolvă problema celor două mijloace proporționale. Lasa-i sa fie $LA B., LA D.,$ ${\ displaystyle AB, AD,}$ ${\ displaystyle AB, AD,}$ două segmente perpendiculare date, între care trebuie introduse mediile proporționale. Este $AD>AB$ ${\ displaystyle AD> AB}$ ${\ displaystyle AD> AB}$ iar pentru simplitate presupunem $AB=2a,AD=2b.$ ${\ displaystyle AB = 2a, AD = 2b.}$ ${\ displaystyle AB = 2a, AD = 2b.}$

Construiți dreptunghiul $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ identificate din segmentele de date; împărțind în jumătate $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ Se dă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ punct mediu, alăturați-vă acestui lucru $C.;$ ${\ displaystyle C;}$ ${\ displaystyle C;}$ prelungi $C. ȘI$ ${\ displaystyle CE}$ $EXISTĂ$ până te întâlnești în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ extensia de $LA B. .$ ${\ displaystyle AB.}$ ${\ displaystyle AB.}$ Din $G.,$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle G,}$ punctul de mijloc al $LA B.,$ ${\ displaystyle AB,}$ ${\ displaystyle AB,}$ trasează perpendicularul pe $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ și cu centrul în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și raza egală cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (jumatate de $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ ) tăiați perpendicularul în punct cu un arc de circumferință $H.,$ ${\ displaystyle H,}$ ${\ displaystyle H,}$ din partea $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ unde dreptunghiul nu este situat $LA B. C. D. .$ ${\ displaystyle ABCD.}$ ${\ displaystyle ABCD.}$ Alătură-te $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se realizează linia dreaptă $B. THE$ ${\ displaystyle BI}$ ${\ displaystyle BI}$ paralel cu $H. F. .$ ${\ displaystyle HF.}$ ${\ displaystyle HF.}$ Apoi trageți concoida având $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ca tricou polo, $B. THE$ ${\ displaystyle BI}$ ${\ displaystyle BI}$ ca bază și interval egal cu $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$

Concoida astfel descrisă îndeplinește linia dreaptă $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ intr-un loc $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și cele două linii $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $B. THE$ ${\ displaystyle BI}$ ${\ displaystyle BI}$ localizați pe $H. K.$ ${\ displaystyle HK}$ ${\ displaystyle HK}$ un segment $MK=b.$ ${\ displaystyle MK = b.}$ ${\ displaystyle MK = b.}$

Indicat cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ punctul de întâlnire al liniei $C. K.$ ${\ displaystyle CK}$ ${\ displaystyle CK}$ cu linia dreaptă $LA D.,$ ${\ displaystyle AD,}$ ${\ displaystyle AD,}$ se arată că cele două segmente $B. K.$ ${\ displaystyle BK}$ ${\ displaystyle BK}$ Și $D. L$ ${\ displaystyle DL}$ ${\ displaystyle DL}$ sunt cele două mijloace proporționale căutate. Într-adevăr, locul $BK=x$ ${\ displaystyle BK = x}$ ${\ displaystyle BK = x}$ Și $DL=y$ ${\ displaystyle DL = y}$ ${\ displaystyle DL = y}$ ca o consecință a construcțiilor făcute avem:

HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}

{\ displaystyle HG = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2}}}}

{\ displaystyle HG = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2}}}}

GK=a+x

{\ displaystyle GK = a + x}

{\ displaystyle GK = a + x}

si deci unind $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$

HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+\left(a+x\right)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}.

{\ displaystyle HK = {\ sqrt {HG ^ {2} + GK ^ {2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2} + \ left (a + x \ right) ^ { 2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}}.}

{\ displaystyle HK = {\ sqrt {HG ^ {2} + GK ^ {2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2} + \ left (a + x \ right) ^ { 2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}}.}

Dar din triunghiuri similare $B. M. K., F. H. K.$ ${\ displaystyle BMK, FHK}$ ${\ displaystyle BMK, FHK}$ urmează $FK:BK=HK:MK,$ ${\ displaystyle FK: BK = HK: MK,}$ ${\ displaystyle FK: BK = HK: MK,}$ și observând că $MK=b$ ${\ displaystyle MK = b}$ ${\ displaystyle MK = b}$ este asta $FK=4a+x,$ ${\ displaystyle FK = 4a + x,}$ ${\ displaystyle FK = 4a + x,}$ substituind proporția anterioară, avem:

{\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}

{\ displaystyle {\ frac {4a + x} {x}} = {\ frac {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}} {b}}}

{\ displaystyle {\ frac {4a + x} {x}} = {\ frac {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}} {b}}}

De aici se obține pătratul

{\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {16a ^ {2} + 8ax + x ^ {2}} {x ^ {2}}} = {\ frac {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}} {b ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {16a ^ {2} + 8ax + x ^ {2}} {x ^ {2}}} = {\ frac {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}} {b ^ {2}}}}

și eliminarea numitorilor

16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}.

{\ displaystyle 16a ^ {2} b ^ {2} + 8ab ^ {2} x + b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} + 2ax ^ {3}.}

{\ displaystyle 16a ^ {2} b ^ {2} + 8ab ^ {2} x + b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} + 2ax ^ {3}.}

Reducerea și transportul rezultatelor

x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {4} + 2ax ^ {3} -8ab ^ {2} x-16a ^ {2} b ^ {2} = 0}

{\ displaystyle x ^ {4} + 2ax ^ {3} -8ab ^ {2} x-16a ^ {2} b ^ {2} = 0}

sau

x^{3}\left(x+2a\right)-8ab^{2}\left(x+2a\right)=0

{\ displaystyle x ^ {3} \ left (x + 2a \ right) -8ab ^ {2} \ left (x + 2a \ right) = 0}

{\ displaystyle x ^ {3} \ left (x + 2a \ right) -8ab ^ {2} \ left (x + 2a \ right) = 0}

de la care

\left(x^{3}-8ab^{2}\right)\left(x+2a\right)=0

{\ displaystyle \ left (x ^ {3} -8ab ^ {2} \ right) \ left (x + 2a \ right) = 0}

{\ displaystyle \ left (x ^ {3} -8ab ^ {2} \ right) \ left (x + 2a \ right) = 0}

și a fi $\,x+2a$ ${\ displaystyle \, x + 2a}$ ${\ displaystyle \, x + 2a}$ non-zero (din moment ce $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ sunt măsurători de segmente) rezultă în mod necesar

x^{3}-8ab^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {3} -8ab ^ {2} = 0}

{\ displaystyle x ^ {3} -8ab ^ {2} = 0}

sau

x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}.

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2}.}

Din similitudinea triunghiurilor $L D. C., B. C. K.$ ${\ displaystyle LDC, BCK}$ ${\ displaystyle LDC, BCK}$ avem asta $2a:y=x:2b$ ${\ displaystyle 2a: y = x: 2b}$ ${\ displaystyle 2a: y = x: 2b}$ prin urmare,

xy=4ab

{\ displaystyle xy = 4ab}

{\ displaystyle xy = 4ab}

din care poți scrie

y={\frac {4ab}{x}}

{\ displaystyle y = {\ frac {4ab} {x}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {4ab} {x}}}

Ridicarea la a treia putere

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}

{\ displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {x ^ {3}}}}

{\ displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {x ^ {3}}}}

dar

x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2}}

prin urmare

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}

{\ displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {2 ^ {3} ab ^ {2}}}}

{\ displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {2 ^ {3} ab ^ {2}}}}

simplificând obținem

y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}

{\ displaystyle y ^ {3} = 2b \ left (2a \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle y ^ {3} = 2b \ left (2a \ right) ^ {2}}

Deci avem:

\left\{{\begin{matrix}xy=4ab\\x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}\\y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = 4ab \\ x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2} \\ y ^ {3} = 2b \ left (2a \ dreapta) ^ {2} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = 4ab \\ x ^ {3} = 2a \ left (2b \ right) ^ {2} \\ y ^ {3} = 2b \ left (2a \ dreapta) ^ {2} \ end {matrix}} \ right.}

A treia și prima egalitate, împărțită membru cu membru, dau

(1)

{\frac {y^{2}}{x}}=2a

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} = 2a}

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} = 2a}

acesta este

y^{2}=2ax.

{\ displaystyle y ^ {2} = 2ax.}

{\ displaystyle y ^ {2} = 2ax.}

La rândul lor, al doilea și primul membru împărțit cu membru dau:

(2)

{\frac {x^{2}}{y}}=2b,

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {y}} = 2b,}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {y}} = 2b,}

acesta este

x^{2}=2by.

{\ displaystyle x ^ {2} = 2by.}

{\ displaystyle x ^ {2} = 2by.}

În cele din urmă, se dovedește:

{\frac {2a}{y}}={\frac {y}{x}}={\frac {x}{2b}}

{\ displaystyle {\ frac {2a} {y}} = {\ frac {y} {x}} = {\ frac {x} {2b}}}

{\ displaystyle {\ frac {2a} {y}} = {\ frac {y} {x}} = {\ frac {x} {2b}}}

În special dacă $2a=L,$ ${\ displaystyle 2a = L,}$ ${\ displaystyle 2a = L,}$ Și $b=L,y$ ${\ displaystyle b = L, y}$ ${\ displaystyle b = L, y}$ este egal cu latura cubului care este dublul celei care are $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pe fiecare parte. De fapt, din (1) și (2) rezultă:

{\frac {y^{4}}{4a^{2}}}=2by

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {4}} {4a ^ {2}}} = 2by}

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {4}} {4a ^ {2}}} = 2by}

prin urmare

y^{3}=8a^{2}b

{\ displaystyle y ^ {3} = 8a ^ {2} b}

{\ displaystyle y ^ {3} = 8a ^ {2} b}

substituind valorile lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$

y^{3}=2L^{3}

{\ displaystyle y ^ {3} = 2L ^ {3}}

{\ displaystyle y ^ {3} = 2L ^ {3}}

extragerea rădăcinii cubului

y=L{\sqrt[{3}]{2}}

{\ displaystyle y = L {\ sqrt [{3}] {2}}}

{\ displaystyle y = L {\ sqrt [{3}] {2}}}

si daca $L=1,$ ${\ displaystyle L = 1,}$ ${\ displaystyle L = 1,}$ da ai

y={\sqrt[{3}]{2}}.

{\ displaystyle y = {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ displaystyle y = {\ sqrt [{3}] {2}}.}

Soluție diocle

Diocles ( c . 240 BC - c . 180 BC ) a construit, de asemenea, o curbă, numită acum cistoid Diocles , capabilă să rezolve grafic problema duplicării cubului. Luați în considerare o circumferință în diametru $SAU U$ ${\ displaystyle OU}$ ${\ displaystyle OU}$ și fie $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ linia este tangentă la punct $U .$ ${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle U.}$ Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ orice punct de pe linie $t .$ ${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle t.}$ Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ intersecția liniei $SAU T.$ ${\ displaystyle OT}$ ${\ displaystyle OT}$ și circumferința; pe $SAU T.$ ${\ displaystyle OT}$ ${\ displaystyle OT}$ ia în considerare punctul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $OM=KT.$ ${\ displaystyle OM = KT.}$ ${\ displaystyle OM = KT.}$ Locusul geometric al punctului $M.,$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle M,}$ cand $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ descrie tangenta $t,$ ${\ displaystyle t,}$ ${\ displaystyle t,}$ este cisoidul lui Diocles.

(introduceți imaginea4)

Să vedem cum putem rezolva problema duplicării cubului prin cistoid.

De sine $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este latura cubului care trebuie duplicată, considerăm cisoidul în raport cu circumferința diametrului $AB=a;$ ${\ displaystyle AB = a;}$ ${\ displaystyle AB = a;}$ reportează, pe tangenta în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la circumferinta un segment $AS=2a;$ ${\ displaystyle AS = 2a;}$ ${\ displaystyle AS = 2a;}$ comun $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu $B.,$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle B,}$ este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ intersecția dintre $S. B.$ ${\ displaystyle SB}$ ${\ displaystyle SB}$ cu cisoidul; a te alatura $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ intersecția dintre $U LA$ ${\ displaystyle UA}$ ${\ displaystyle UA}$ cu tangenta in $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ la circumferinta.

(introduceți imaginea5)

Pentru construcția efectuată avem asta $B. T.$ ${\ displaystyle BT}$ ${\ displaystyle BT}$ este partea cubului cu volum dublu al cubului lateral $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dat. Într-adevăr, triunghiurile $S. LA B.$ ${\ displaystyle SAB}$ $SAB$ e $U H B$ ${\displaystyle UHB}$ $UHB$ sono simili e dunque:

SA:AB=UH:HB.

{\displaystyle SA:AB=UH:HB.}

SA:AB=UH:HB.

Se scriviamo $\left(x,y\right)$ $\left(x,y\right)$ $\left(x,y\right)$ con $x\in \left[0,a\right]$ $x\in \left[0,a\right]$ $x\in \left[0,a\right]$ la coppia delle coordinate di un punto $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ della cissoide, la proporzione precedente diventa:

2a:a=y:\left(a-x\right)

2a:a=y:\left(ax\right)

2a:a=y:\left(a-x\right)

da cui

(1)

{\frac {y}{a-x}}=2.

{\frac {y}{ax}}=2.

{\frac {y}{a-x}}=2.

Tenendo conto che l'equazione della cissoide è

x^{3}=\left(a-x\right)y^{2}

x^{3}=\left(ax\right)y^{2}

x^{3}=\left(a-x\right)y^{2}

si ottiene

(2)

{\frac {1}{a-x}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

{\frac {1}{ax}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

{\frac {1}{a-x}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

Sostituendo la (2) nella (1) si ha

(3)

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

Si considerino ora i triangoli simili ATB e AUH; si può scrivere:

BT:AB=UH:AH

{\displaystyle BT:AB=UH:AH}

BT:AB=UH:AH

e quindi:

BT:a=y:x

{\displaystyle BT:a=y:x}

BT:a=y:x

da cui

BT={\frac {ya}{x}}.

BT={\frac {ya}{x}}.

BT={\frac {ya}{x}}.

Elevando al cubo si ottiene

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

e sostituendo in quest'ultima l'espressione (3) si ottiene

BT^{3}=2a^{3}.

BT^{3}=2a^{3}.

BT^{3}=2a^{3}.

Ciò dimostra che $B T$ ${\displaystyle BT}$ $BT$ è il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo di lato $a .$ ${\displaystyle a.}$ $a.$

Soluzione di Eratostene

Eratostene , come sappiamo da Eutocio , dette una soluzione meccanica del problema, progettando uno strumento, il mesolabio , con il quale era possibile inserire due medi proporzionali tra due segmenti assegnati.

Bibliografia

Doubling the cube , articolo in Encyclopaedia Britannica
Federigo Enriques (1987): Questioni riguardanti le matematiche elementari , parte seconda, Zanichelli

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Duplicazione del cubo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Doubling the cube su MacTutor
Cube Duplication su MathWorld
Il problema delle medie proporzionali: un dibattito rinascimentale , su dm.unipi.it . URL consultato il 5 aprile 2008 (archiviato dall' url originale il 23 giugno 2009) .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 19711 · LCCN ( EN ) sh85034645 · GND ( DE ) 4149044-7 · BNF ( FR ) cb17706466t (data) · BNE ( ES ) XX5550936 (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica