Indexul unui câmp vector

În matematică , indicele unui câmp vectorial într-un punct critic izolat sau de-a lungul unei curbe închise este un număr întreg legat de proprietățile topologice ale câmpului vectorial din vecinătatea punctului sau în interiorul curbei care este păstrat prin transformări continue și inversabile ale câmpul vector.

Câmp vectorial de-a lungul unei curbe

În acest exemplu, indicele câmpului vector de-a lungul dreptunghiului reprezentat în figură este -1: după cum puteți vedea, câmpul vector face o rotație completă în sensul acelor de ceasornic în timp ce curba este parcursă în sens invers acelor de ceasornic.

Luați în considerare un câmp vector continuu $V\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle V \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle V \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ in avion $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ și o curbă închisă $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ parametrizat de o funcție continuă $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ care nu conține puncte critice ale câmpului vectorial. În fiecare punct al curbei câmpul vectorului asociază un vector diferit de zero al planului. Parcurgerea tuturor punctelor curbei prin parametrizarea acesteia, vectorul de imagine $V(\gamma (t))$ ${\ displaystyle V (\ gamma (t))}$ ${\ displaystyle V (\ gamma (t))}$ va varia continuu și în cele din urmă va reveni la poziția inițială atunci când parametrul face o virare completă pe curbă. Faptul că vectorul revine la poziția sa inițială implică faptul că unghiul total pe care vectorul îl parcurge de-a lungul traseului punctului $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ de-a lungul curbei trebuie să fie un multiplu întreg $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a unui unghi rotund (posibil negativ sau zero).

Numarul $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ se numește indicele $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de-a lungul curbei $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și este notat prin:

I_{V}(\Gamma )

{\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma)}

{\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma)}

Definiții echivalente cu cele date se obțin prin definirea $I_{V}(\Gamma )$ ${\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma)}$ ${\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma)}$ ca:

indicele de înfășurare în raport cu originea curbei $V(\Gamma )$ ${\ displaystyle V (\ Gamma)}$ ${\ displaystyle V (\ Gamma)}$ imagine de $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ prin câmp $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$
gradul topologic al funcției continuă de la $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ definit în sine de:

t\mapsto {\frac {V(\gamma (t))}{\left\|V(\gamma (t))\right\|}}

{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {V (\ gamma (t))} {\ left \ | V (\ gamma (t)) \ right \ |}}}

{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {V (\ gamma (t))} {\ left \ | V (\ gamma (t)) \ right \ |}}}

unde parametrul este asumat

t

{\ displaystyle t}

t

a curbei

\Gamma

{\ displaystyle \ Gamma}

\Gamă

diverse în

S^{1}

{\ displaystyle S ^ {1}}

S ^ {1}

.

Invarianța homotopului

Principala proprietate a indicelui este aceea de a fi un invariant homotopic : dacă curba este deformată continuu $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ într-o altă curbă închisă astfel încât în timpul deformării numărul să nu traverseze niciodată un punct critic $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ trebuie să varieze continuu, deoarece câmpul vector este continuu, fiecare curbă poate fi parametrizată cu o funcție continuă și deformarea este dată de o homotopie care este o funcție continuă. Este ușor de crezut că unghiul măturat al împușcăturii de-a lungul unei curbe este continuu atunci când ne gândim la o curbă neînchisă în care unghiul măturat poate varia liber. Cu toate acestea, în cazul unei curbe închise, unghiul trebuie să fie un multiplu întreg $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a unui unghi rotund deci valorile posibile se află într-un set discret și condiția continuității implică faptul că valoarea lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ trebuie să rămână constantă. Dacă un punct critic este traversat în deformare, numărul $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ nu mai este bine definit, deoarece nu este posibil să se identifice unghiul care formează vectorul de imagine atunci când acesta este zero.

Indicele unui punct critic izolat

Să presupunem câmpul vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are un punct critic izolat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ . Va exista apoi un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ unde nu există alte puncte critice ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Luând în considerare în acest context o circumferință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ centrat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ , pentru invarianța homotopică, indicele câmpului vector de-a lungul curbei $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , $I_{V}(C)$ ${\ displaystyle I_ {V} (C)}$ ${\ displaystyle I_ {V} (C)}$ , nu depinde de raza circumferinței sau de faptul că curba considerată este un cerc sau orice altă curbă închisă care conține $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Numarul $I_{V}(C)$ ${\ displaystyle I_ {V} (C)}$ ${\ displaystyle I_ {V} (C)}$ de aceea depinde numai de punctul critic $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și nu din curba specială care a fost aleasă pentru a o calcula. Acest număr se numește indicele punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și este notat cu $I_{V}(x_{0})$ ${\ displaystyle I_ {V} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle I_ {V} (x_ {0})}$ .

Definiția dată poate fi extinsă și la puncte non- critice. Indicele unui punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ceea ce nu este critic este întotdeauna zero de fapt pentru continuitatea câmpului vectorial dacă ne restrângem la un vecinătate din ce în ce mai mic de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ unghiul pe care vectorii câmpului îl formează în vecinătate se va abate din ce în ce mai puțin de unghiul în care se formează câmpul vectorial $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Dacă vecinătatea este suficient de mică, variația maximă a unghiului într-o curbă conținută în vecinătate va fi mai mică decât un unghi rotund și, prin urmare, vectorul de imagine nu poate face nicio rotație de-a lungul curbei și, prin urmare, indicele de-a lungul acestei curbe este zero. Pe de altă parte, indicele trebuie să continue să fie zero de-a lungul oricărei curbe care înconjoară punctul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ fără a înconjura punctele critice, deoarece o astfel de curbă poate fi contractată la o curbă arbitrar mică în jur $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . De aici indicele unui punct non- critic $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este bine definit și este egal cu $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ .

Teorema indexului

Teorema indexului este un rezultat topologic important care leagă comportamentul unui câmp vector la marginea unei regiuni de comportamentul din interiorul acestuia.

Luați în considerare un câmp vector continuu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe o regiune a planului ale cărei puncte critice sunt izolate și o simplă curbă închisă $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ al cărui interior este cuprins în domeniul câmpului vectorial. Aceasta implică (prin teorema Bolzano-Weierstrass ) că punctele critice ale câmpului care se află în interiorul curbei $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ trebuie să fie un număr finit: $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \}}$ . Teorema indexului afirmă că în aceste ipoteze se menține următoarea relație:

I_{V}(\Gamma )=I_{V}(x_{1})+I_{V}(x_{2})+\ldots +I_{V}(x_{n})

{\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma) = I_ {V} (x_ {1}) + I_ {V} (x_ {2}) + \ ldots + I_ {V} (x_ {n})}

{\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma) = I_ {V} (x_ {1}) + I_ {V} (x_ {2}) + \ ldots + I_ {V} (x_ {n})}

În special dacă $I_{V}(\Gamma )\neq 0$ ${\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma) \ neq 0}$ ${\ displaystyle I_ {V} (\ Gamma) \ neq 0}$ atunci în interiorul curbei trebuie să existe neapărat cel puțin un punct critic.

Curba exterioară care înconjoară cele trei puncte poate fi transformată continuu în lipirea a trei curbe care înconjoară câte un punct

Dovada se bazează pe invarianța homotopică a indicelui: este posibilă deformarea continuă a curbei $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ astfel încât să conste în lipirea de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ curbe închise fiecare dintre ele înconjoară un punct critic și este posibil să se facă în așa fel încât în deformare curba să nu traverseze niciodată un punct critic. Această transformare a curbei trebuie să lase indicele neschimbat (datorită invarianței homotopice) și indicele de lipire a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ curbele închise vor fi egale cu suma indicilor curbelor individuale. De asemenea, indicele fiecăruia dintre acestea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ curba este (prin definiție) egală cu indicele punctului critic pe care îl înconjoară. Dacă nu există niciun punct în interiorul curbei, atunci indicele câmpului de-a lungul curbei este egal cu indicele oricărui punct ( non-critic ) conținut în ea, iar pentru punctele non-critice s-a arătat deja că l indexul este $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ prin urmare, relația pe care am vrut să o dovedim ia forma $0=0$ ${\ displaystyle 0 = 0}$ ${\ displaystyle 0 = 0}$ și de aceea este încă verificat.

Corolarele acestei teoreme sunt teorema punctului fix al lui Brouwer și teorema lui Poincaré-Hopf .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică