Lema lui Jordan

În matematică , lema lui Jordan (numită după creatorul său, matematicianul francez Camille Jordan ) este utilizată pentru soluția de integrale necorespunzătoare prin calcularea unor integrale de linie particulare.

Afirmație

Având o funcție $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ continua $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , este $\gamma _{R}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {R}}$ $\ gamma _ {R}$ un arc de circumferință centrat la originea planului și a razei Gaussiene $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a cărei abscisă curbiliniară se extinde între $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ , astfel încât $0\leq \theta _{1}<\theta _{2}\leq \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta _ {1} <\ theta _ {2} \ leq \ pi}$ $0 \ leq \ theta _ {1} <\ theta _ {2} \ leq \ pi$ . De sine
$\lim _{R\rightarrow +\infty }\max _{\theta \in [\theta _{1};\theta _{2}]}|f(Re^{i\theta })|=0,$ ${\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \ max _ {\ theta \ in [\ theta _ {1}; \ theta _ {2}]} | f (Re ^ {i \ theta}) | = 0,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \ max _ {\ theta \ in [\ theta _ {1}; \ theta _ {2}]} | f (Re ^ {i \ theta}) | = 0,}$
asa de
$\lim _{R\rightarrow +\infty }\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz=0,$ ${\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz = 0,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz = 0,}$
Unde $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este orice număr real pozitiv.

Observați că acest arc de circumferință se află în jumătatea superioară a planului Gaussian . De fapt este suficient ca. $\gamma _{R}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {R}}$ $\ gamma _ {R}$ este homotop la un arc de circumferință.

Demonstrație

Fiind prin ipoteză

\max _{z\in \gamma _{R}}\left|f(z)\right|=M_{R}\Rightarrow \lim _{R\rightarrow +\infty }M_{R}=0

{\ displaystyle \ max _ {z \ in \ gamma _ {R}} \ left | f (z) \ right | = M_ {R} \ Rightarrow \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} M_ {R} = 0}

\ max _ {{z \ in \ gamma _ {R}}} \ left | f (z) \ right | = M_ {R} \ Rightarrow \ lim _ {{R \ rightarrow + \ infty}} M_ {R} = 0

apoi parametrizarea $\gamma _{R}(t)=Re^{it}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {R} (t) = Re ^ {it}}$ $\ gamma _ {R} (t) = Re ^ {{it}}$

0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})e^{\omega iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})\right|\cdot \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | f (Re ^ {it}) e ^ {\ omega iRe ^ {it}} iR \ right | dt \ leq R \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | f (Re ^ {it}) \ right | \ cdot \ left | e ^ {i \ omega Re ^ {it}} \ right | dt \ leq M_ {R} R \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | e ^ {i \ omega Re ^ {it}} \ right | dt}

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | f (Re ^ {it}) e ^ {\ omega iRe ^ {it}} iR \ right | dt \ leq R \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | f (Re ^ {it}) \ right | \ cdot \ left | e ^ {i \ omega Re ^ {it}} \ right | dt \ leq M_ {R} R \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ left | e ^ {i \ omega Re ^ {it}} \ right | dt}

în special

\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}

{\ displaystyle \ left | e ^ {i \ omega Re ^ {it}} \ right | = \ left | e ^ {\ omega Ri (\ cos t + i \ sin t)} \ right | = \ left | e ^ {\ omega R (i \ cos t- \ sin t)} \ right | \ leq e ^ {- \ omega R \ sin t}}

\ left | e ^ {{i \ omega Re ^ {{it}}} \ right | = \ left | e ^ {{\ omega Ri (\ cos t + i \ sin t)}} \ right | = \ left | e ^ {{\ omega R (i \ cos t- \ sin t)}} \ right | \ leq e ^ {{- \ omega R \ sin t}}

asa de

0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_{R}R\int _{0}^{\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R\sin t}dt

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq M_ {R} R \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt \ leq M_ {R} R \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt = 2M_ {R} R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt}

0 \ leq \ left | \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz \ right | \ leq M_ {R} R \ int _ {{\ theta _ {1}}} ^ {{\ theta _ {2}}} e ^ {{- \ omega R \ sin t}} dt \ leq M_ {R} R \ int _ {0} ^ {{\ pi }} e ^ {{- \ omega R \ sin t}} dt = 2M_ {R} R \ int _ {0} ^ {{{\ frac {\ pi} {2}}}} e ^ {{- \ omega R \ sin t}} dt

functia $g(t)=\sin t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ ${\ displaystyle g (t) = \ sin t, \, t \ in {\ bigg [} 0, {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg]}}$ $g (t) = \ sin t, \, t \ in {\ bigg [} 0, {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg]}$ este mai mare decât funcția $h(t)={\frac {2}{\pi }}t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ ${\ displaystyle h (t) = {\ frac {2} {\ pi}} t, \, t \ in {\ bigg [} 0, {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg]}}$ $h (t) = {\ frac {2} {\ pi}} t, \, t \ in {\ bigg [} 0, {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg]}$ asa de

0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}dt=-2M_{R}R\left[e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\omega R}}=-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq 2M_ {R} R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} e ^ {- \ omega R {\ frac {2} {\ pi}} t} dt = -2M_ {R} R \ left [e ^ {- \ omega R { \ frac {2} {\ pi}} t} \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2 \ omega R}} = - { \ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R} \ left (e ^ {- \ omega R} -1 \ right)}

0 \ leq \ left | \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz \ right | \ leq 2M_ {R} R \ int _ {0} ^ {{{\ frac {\ pi} {2}}}} e ^ {{- \ omega R {\ frac {2} {\ pi}} t}} dt = -2M_ {R} R \ left [e ^ {{- \ omega R {\ frac {2} {\ pi}} t}} \ right] _ {0} ^ {{{\ frac {\ pi} {2}}}} \ cdot {\ frac { \ pi} {2 \ omega R}} = - {\ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R} \ left (e ^ {{- \ omega R}} - 1 \ right)

trecerea limitei pentru $R\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle R \ rightarrow + \ infty}$ $R \ rightarrow + \ infty$

0\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }\left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)=0

{\ displaystyle 0 \ leq \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} - {\ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R} \ left (e ^ {- \ omega R} -1 \ right) = 0}

0 \ leq \ lim _ {{R \ rightarrow + \ infty}} \ left | \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz \ right | \ leq \ lim _ {{R \ rightarrow + \ infty}} - {\ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R} \ left (e ^ {{- \ omega R}} - 1 \ right) = 0

sau afirmația.

Observații

Inainte de

Omitând ipoteza că $\lim _{R\to +\infty }M_{R}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {R \ to + \ infty} M_ {R} = 0}$ $\ lim _ {{R \ to + \ infty}} M_ {R} = 0$ următoarea estimare rămâne demonstrată

{\bigg |}\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz{\bigg |}\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}(1-e^{-\omega R})\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}

{\ displaystyle {\ bigg |} \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz {\ bigg |} \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega} } M_ {R} (1-e ^ {- \ omega R}) \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R}}

{\ bigg |} \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz {\ bigg |} \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega }} M_ {R} (1-e ^ {{- \ omega R}}) \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega}} M_ {R}

Al doilea

Ipoteza fundamentală a teoremei este că abscisa curbiliniară a arcului unei circumferințe variază în intervalul $\left[0,\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right]}$ $\ left [0, \ pi \ right]$ . Cazul cu pare să fie exclus $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ negativ, însă, lema rămâne valabilă cu ipoteza că abscisa curbiliniară a arcului de circumferință variază în intervalul $\left[\pi ,2\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ pi, 2 \ pi \ right]}$ $\ left [\ pi, 2 \ pi \ right]$ .

Dovada este analogă până la adăugarea de $-\sin t$ ${\ displaystyle - \ sin t}$ $- \ sin t$ cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , deoarece creșterea se obține pentru periodicitatea funcției sinusoidale

0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\pi }^{2\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=M_{R}R\int _{-\pi }^{0}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{-\omega R\sin t}dt\leq 2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{\omega R}dt

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq M_ {R} R \ int _ {\ pi} ^ {2 \ pi} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt = M_ {R} R \ int _ {- \ pi} ^ {0} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt = 2M_ {R} R \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {0} e ^ {- \ omega R \ sin t} dt \ leq 2M_ {R} R \ int _ {- { \ frac {\ pi} {2}}} ^ {0} și ^ {\ omega R} dt}

0 \ leq \ left | \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz \ right | \ leq M_ {R} R \ int _ {{\ pi}} ^ {{2 \ pi}} e ^ {{- \ omega R \ sin t}} dt = M_ {R} R \ int _ {{- \ pi}} ^ {0} e ^ {{- \ omega R \ sin t}} dt = 2M_ {R} R \ int _ {{- {\ frac {\ pi} {2}}}} ^ {0} e ^ {{- \ omega R \ sin t} } dt \ leq 2M_ {R} R \ int _ {{- {\ frac {\ pi} {2}}}} ^ {0} e ^ {{\ omega R}} dt

de aici si cresterea

0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \pi e^{\omega R}M_{R}

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) e ^ {i \ omega z} dz \ right | \ leq \ pi e ^ {\ omega R} M_ {R }}

0 \ leq \ left | \ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) e ^ {{i \ omega z}} dz \ right | \ leq \ pi e ^ {{\ omega R}} DOMNUL}

Al treilea

În anumite integrale este imposibil să se potrivească curba în semiplanul pozitiv cu un exponențial cu un exponent pozitiv sau invers. Un truc folosit pe scară largă este următorul.

De exemplu, ai putea avea o integrală ca aceasta:

\int _{\gamma _{R}}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {R}} f (z) \, e ^ {- i \ omega z} \, dz}

\ int _ {{\ gamma _ {R}}} f (z) \, e ^ {{- i \ omega z}} \, dz

cu o curbă în semiplanul pozitiv. Acest lucru se face prin împărțirea integralei în trei părți

\int _{\gamma _{R}}=\int _{\Gamma }-\int _{{\tilde {\gamma }}_{R}}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {R}} = \ int _ {\ Gamma} - \ int _ {{\ tilde {\ gamma}} _ {R}}}

\ int _ {{\ gamma _ {R}}} = \ int _ {{\ Gamma}} - \ int _ {{{\ tilde {\ gamma}} _ {R}}}

unde pe $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ se aplică teorema reziduală și această curbă este un cerc centrat la originea razei $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

În schimb pe ${\tilde {\gamma }}_{R}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {R}}$ ${\ tilde {\ gamma}} _ {R}$ Se aplică lema lui Jordan, deoarece curba este în jumătatea planului negativ cu exponențial la exponent negativ, deci integrala extinsă la ${\tilde {\gamma }}_{R}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {R}}$ ${\ tilde {\ gamma}} _ {R}$ aduce o contribuție nulă.

Al patrulea

Împreună cu lema cercului mare și lema cercului mic , este posibil să se rezolve tipologia integralei având singularități izolate , ambele pe toate $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ decât pe o curbă închisă și regulată a homotopului la un arc de circumferință.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică