Ludwig Schläfli

Ludwig Schläfli ( Grasswil , 15 ianuarie 1814 - Berna , 20 martie 1895 ) a fost un matematician elvețian , topograf și student la analize complexe .

Viața și lucrările

Tineret și educație

Ludwig Schläfli și-a petrecut cea mai mare parte a vieții în Elveția. S-a născut în Grasswil , orașul natal al mamei sale. Familia s-a mutat apoi în apropierea Burgdorf , unde tatăl său lucra ca negustor. Tatăl său și-ar fi dorit să-i urmeze urmele, dar Ludwig nu a arătat niciun talent pentru munca practică.

Dimpotrivă, datorită talentelor sale matematice, i s-a permis să frecventeze Gimnaziul din Berna în 1829. În acel moment învăța deja calculul diferențial citind Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen scris în 1761 de Abraham Gotthelf Kästner . În 1831 s-a mutat la Academia de la Berna pentru a-și continua studiile. În 1834 Akademie a devenit noua Universitate din Berna și aici Schläfli și-a început studiile teologice .

Predarea

După absolvirea în 1836, a fost angajat ca profesor la Liceul Thun ; a rămas aici până în 1847, studiind matematica și botanica în timpul liber și urmând la Universitatea din Berna o dată pe săptămână.

În 1843 a existat un moment decisiv în viața sa. Schläfli plănuise o vizită la Berlin pentru a intra în contact cu comunitatea matematică a orașului, în special Jakob Steiner , cunoscutul matematician elvețian. Totuși, în mod neașteptat, Steiner a ajuns la Berna, unde l-a întâlnit pe Schlăfli. Steiner a fost impresionat nu numai de cunoștințele matematice ale lui Schläfli, ci și de cunoștințele sale perfecte de italiană și franceză . Prin urmare, Steiner i-a propus lui Schläfli să-l ajute pe el și pe colegii săi berlinezi Carl Gustav Jacob Jacobi , Dirichlet și Carl Wilhelm Borchardt ca interpret într-o călătorie viitoare în Italia . Modul în care Steiner a legat această idee de prietenii săi indică în mod clar că Schläfli trebuie să fi fost neîndemânatic în treburile cotidiene:

... während er den Berliner Freunden den neugeworbenen Reisegefaehrten durch die Worte anpreis, der sei ein ländlicher Mathematiker bei Bern, für die Welt ein Esel, aber Sprachen lerne er wie ein Kinderspiel, den wollten sie als Dolmetscher mit sich nehmencher. [ADB]

Traducere în italiană:

... (Steiner) l-a recomandat pe noul companion de călătorie prietenilor săi din Berlin spunând că el (Schläfli) era un matematician de provincie care lucra lângă Berna, într-un „loc părăsit de Dumnezeu”, dar era capabil să învețe limbi ca și cum ar fi fost un copil joacă și că ar fi trebuit să-l ia ca traducător.

Prin urmare, Schläfli i-a însoțit pe cei patru matematicieni importanți în Italia și a beneficiat foarte mult de această călătorie. Au fost pe drum mai mult de șase luni, timp în care Schläfli, printre altele, a scris în italiană câteva lucrări matematice ale tovarășilor săi.

Maturitate

Schläfli a continuat să facă schimb de corespondență cu Steiner până în 1856. Scenariile care i-au fost deschise l-au încurajat să aplice în 1847 pentru un post la Universitatea din Berna pe care l-a obținut în 1848 (?). A rămas la această universitate până la pensionare, în 1891. Și-a petrecut timpul nededicat matematicii și predării studiului sanscritului , traducând textul sacru hindus Rig Veda în germană, până la moartea sa în 1895.

Spații de multe dimensiuni

Schläfli este unul dintre cei trei creatori de geometrie multidimensională, împreună cu Arthur Cayley și Bernhard Riemann . În jurul anului 1850, conceptul general de spațiu euclidian nu fusese încă dezvoltat - ci ecuații liniare în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele fuseseră bine înțelese. În deceniul care a început în 1840, William Rowan Hamilton și- a dezvoltat cuaternionii , în timp ce John Thomas Graves și Arthur Cayley octonionii . Aceste ultime două sisteme sunt tratate cu referire la baze de patru și respectiv opt elemente și au sugerat o interpretare analogă cu cea a coordonatelor carteziene în spații tridimensionale.

Din 1850 până în 1852 Schläfli a lucrat la lucrarea sa principală, Theorie der vielfachen Kontinuität , în care a început studiul geometriei liniare a spațiilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. El a definit și sfera $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional și și-a calculat volumul. Dorind ca lucrarea sa să fie publicată, a trimis-o la Academia din Viena, unde a fost respinsă din cauza dimensiunii sale. L-a trimis apoi la Berlin, cu aceleași rezultate. După o lungă pauză din motive birocratice, lui Schläfli i s-a cerut în 1854 să scrie o versiune mai scurtă, lucru pe care, înțeles, l-a refuzat. Steiner a încercat apoi să-l ajute publicând lucrarea în Journal für die reine und angewandte Mathematik , revista lui August Leopold Crelle , dar din anumite motive nici măcar această cale nu a putut fi parcursă: motivele exacte rămân necunoscute. Porțiuni din lucrare au fost publicate de Cayley în limba engleză în 1860. Prima publicare a întregului manuscris a avut loc abia în 1901, după moartea autorului. Prima recenzie a cărții a apărut în revista olandeză de matematică Nieuw Archief voor de Wiskunde în 1904, de către matematicianul olandez Pieter Hendrik Schoute .

În acești ani, Riemann a expus celebrul său Habilitationsvortrag (teza de abilitare) intitulat Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854) și a introdus conceptul de varietate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Conceptul de spații cu dimensiuni superioare începea să se dezvolte. Nu se știe dacă Riemann era conștient de opera lui Schläfli, dar cu siguranță ar fi fost util.

Mai jos este un extras din prefața Theorie der vielfachen Kontinuität , datorită importanței sale istorice:

Anzeige einer Abhandlung über die Theorie der vielfachen Kontinuität

Die Abhandlung, die ich hier der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzulegen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von

n

{\ displaystyle n}

n

Dimensionen, diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle fuer

n=2,3

{\ displaystyle n = 2.3}

{\ displaystyle n = 2.3}

in sich enthielte. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man zum Beispiel die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der

n

{\ displaystyle n}

n

Variabeln

x,y,\ldots

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Ungewöhnliche der Benennung liegt nur darin, daß ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die

n

{\ displaystyle n}

n

-fache Totalität; sind hingegen

1,2,3,\ldots

{\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}

{\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}

Gleichungen gegeben, so heißt bzw. die Gesamtheit ihrer Lösungen

n-1

{\ displaystyle n-1}

n-1

-fașe,

n-2

{\ displaystyle n-2}

n-2

-fașe,

n-3

{\ displaystyle n-3}

{\ displaystyle n-3}

-faces, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stars treten ken. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier gegebener Lösungen (

x,y,\ldots

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

), (

x',y',\ldots

{\ displaystyle x ', y', \ ldots}

{\ displaystyle x ', y', \ ldots}

) nenne und im einfachsten Fall durch

{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+\ldots }}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ ldots}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ ldots}}}

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heiße, [...]

Traducere în italiană:

Tratatul pe care am onoarea să îl prezint aici, la Academia Imperială de Științe, este o încercare de a crea și dezvolta o nouă ramură de analiză pe care aș dori să o numesc o geometrie

n

{\ displaystyle n}

n

dimensiuni, inclusiv geometriile planului și spațiului ca cazuri speciale pentru

n=2,3

{\ displaystyle n = 2.3}

{\ displaystyle n = 2.3}

. Eu numesc această teorie a continuității multiple, în același mod în care, în general, geometria spațiului este definită ca continuitate triplă. Ca și în această teorie, „grupul” de valori al coordonatelor sale determină un punct, așa că în această teorie un „grup” de valori dat de

n

{\ displaystyle n}

n

variabile

x,y,\ldots

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

va determina o soluție. Folosesc această expresie, deoarece așa se numește fiecare „grup” suficient de valori în cazul uneia sau mai multor ecuații cu multe variabile; singurul lucru neobișnuit despre această definiție este că o păstrez chiar și în absența oricărei ecuații care leagă variabilele. În acest caz numesc total (set) de soluții o totalitate de

n

{\ displaystyle n}

n

-varietate; în timp ce în cazul în care sunt date

1,2,3,\ldots

{\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}

{\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}

ecuații, totalul soluțiilor lor se numește (a) Continuu de respectiv

n-1

{\ displaystyle n-1}

n-1

-varietate,

n-2

{\ displaystyle n-2}

n-2

-varietate,

n-3

{\ displaystyle n-3}

{\ displaystyle n-3}

-varietate. Din notația soluțiilor unei totalități deducem independența pozițiilor lor relative (ale variabilelor) în sistemul de variabile utilizate, deoarece noile variabile ar putea să-și ia locul printr-o transformare. Această independență se exprimă în inalterabilitatea a ceea ce eu numesc distanța dintre două soluții date (

x,y,\ldots

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

{\ displaystyle x, y, \ ldots}

), (

x',y',\ldots

{\ displaystyle x ', y', \ ldots}

{\ displaystyle x ', y', \ ldots}

) și definit în cel mai simplu caz prin:

{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+\ldots }}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ ldots}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ ldots}}}

în timp ce în același mod numesc un sistem de variabile ortogonale [...]

Putem vedea cum Schläefli încă se gândește la punctele din spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional în ceea ce privește soluțiile de ecuații liniare și putem vedea mișcarea strălucită de a considera un sistem fără nicio ecuație , astfel încât să obținem toate punctele posibile ale $\mathbf {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ , așa cum am spune astăzi. El a răspândit acest concept în articolele publicate în anii 1850 și 1860 și s-a maturizat rapid. În 1867 Schläefli a început un articol scriind: „Să luăm în considerare spațiul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii de puncte. [...] „Acest lucru indică nu numai faptul că el stăpânea pe deplin subiectul, ci și faptul că cititorii săi nu aveau nevoie de o introducere îndelungată.

Politopi

În lucrarea sa Theorie der Vielfachen Kontinuität Schlaefli definește ceea ce el numește polyschems, astăzi numit polytopes , analogul multidimensională de poligoane și poliedre . El dezvoltă teoriile lor și găsește, printre altele, versiunea multidimensională a formulei lui Euler . Determinați politopii obișnuiți , adică rudele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională a poligoanelor regulate și a solidelor platonice . Se pare că există șase în patru dimensiuni și trei în toate dimensiunile superioare.

Deși Schläfli a fost destul de bine cunoscut colegilor săi în a doua jumătate a secolului, mai ales pentru contribuțiile sale la analiza complexă, lucrările sale timpurii în geometrie nu au primit atenția corectă pentru o lungă perioadă de timp. La începutul secolului al XX-lea, Pieter Hendrik Schoute a început să lucreze la politopi cu Alicia Boole Stott . Ea a obținut aceleași rezultate ca și Schläfli doar pentru politopi obișnuiți în patru dimensiuni și mai târziu și-a redescoperit cartea. Mai târziu, Willem Abraham Wijthoff a studiat politopii semireguli, iar munca sa a fost continuată de HSM Coxeter , John Horton Conway și alții. În această zonă de studiu deschisă de Ludwig Schläfli există încă multe probleme de rezolvat. Prin urmare, este corect să-l amintim ca unul dintre cei trei cărturari care au ghidat matematica în multe dimensiuni.

Bibliografie

[Sch] Ludwig Schläfli, Gesammelte Abhandlungen
[DSB] Dicționar de biografii științifice
[ADB] Algemeine Deutsche Biografien, Band 54, S.29—31. Biografie de Moritz Cantor, 1896
[Kas] Abraham Gotthelf Kästner , Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen , Göttingen, 1761
- Notă: Acesta este al treilea volum al operei lui Kästner Mathematische Anfangsgründe , care poate fi vizualizat online la Göttinger Digitalisierungszentrum .

Elemente conexe

Notare Schläfli

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Ludwig Schläfli

linkuri externe

( IT , DE , FR ) Ludwig Schläfli , pe hls-dhs-dss.ch , Dicționar istoric al Elveției .
( EN ) Ludwig Schläfli , pe MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
(EN) Ludwig Schläfli on Mathematics Genealogia Project , North Dakota State University.
( RO ) Lucrări de Ludwig Schläfli / Ludwig Schläfli (altă versiune) , în Biblioteca Deschisă , Internet Archive .

Controlul autorității	VIAF (EN) 113 316 205 · ISNI (EN) 0000 0000 8181 1518 · LCCN (EN) nr2001080371 · GND (DE) 118 795 082 · BNF (FR) cb12355338q (dată) · CERL cnp00589208 · WorldCat Identities (EN) lccn- nr2001080371

Portal Biografii

Portalul de matematică