Nefroida

Rularea unei circumferințe care generează un nefroid.

În geometrie , un nefroid este o curbă plană de ordinul șase special, care poate fi generată de un cerc de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ care se rostogolește de-a lungul unui alt cerc de rază $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ ; face, așadar, parte din setul de epicicloizi , din care constituie un caz particular, și anume cel în care raza celei mai mici circumferințe, numită „generatrix”, este jumătate din raza celei mai mari, numită „directrix”. ^[1]

Deși termenul nefroid, care literalmente înseamnă „în formă de rinichi”, a fost folosit pentru a descrie alte curbe, acesta a fost aplicat curbei discutate în această intrare de Richard Proctor în 1878 în cartea sa Geometria ciclurilor . ^[2]

Ecuații

Definiția nephroid.

Dă două cercuri de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ , dintre care ultimul având un centru fixat la coordonate $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ , și ei sunt $2\varphi$ ${\ displaystyle 2 \ varphi}$ $2 \ varphi$ unghiul de rulare al celei mai mici circumferințe și punctul $(2a,0)$ ${\ displaystyle (2a, 0)}$ ${\ displaystyle (2a, 0)}$ punctul de plecare al acestei rulări (așa cum se arată în figură), atunci nefroida obținută are următoarea reprezentare parametrică :

x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi ,

{\ displaystyle x (\ varphi) = 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi,}

{\ displaystyle x (\ varphi) = 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi,}

y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .

{\ displaystyle y (\ varphi) = 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi = 4a \ sin ^ {3} \ varphi, \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.}

{\ displaystyle y (\ varphi) = 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi = 4a \ sin ^ {3} \ varphi, \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.}

Inserarea de $x(\varphi )$ ${\ displaystyle x (\ varphi)}$ ${\ displaystyle x (\ varphi)}$ Și $y(\varphi )$ ${\ displaystyle y (\ varphi)}$ ${\ displaystyle y (\ varphi)}$ în ecuație

(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}

arată că această ecuație este o reprezentare implicită a curbei.

Obținerea reprezentării parametrice

Reprezentarea parametrică a unui nefroid poate fi ușor obținută din utilizarea numerelor complexe și reprezentarea lor ca plan complex . Mișcarea cercului mai mic poate fi împărțită în două rotații, una în jurul centrului său care, atunci când diametrul cercului se află pe jumătatea pozitivă a axei x, este la coordonatele $(3a,0)$ ${\ displaystyle (3a, 0)}$ ${\ displaystyle (3a, 0)}$ (punctul 3a), și unul în jurul centrului celei mai mari circumferințe, situat, după cum sa menționat, întotdeauna în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ (punctul 0). În planul complex o rotație de un punct $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în jurul punctului (originii) unui colț $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ poate fi obținut prin înmulțirea punctului $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ (număr complex) pentru $e^{i\varphi }$ ${\ displaystyle e ^ {i \ varphi}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ varphi}}$ . Asa ca

rotație

\Phi _{3}

{\ displaystyle \ Phi _ {3}}

{\ displaystyle \ Phi _ {3}}

în jurul punctului

3a

{\ displaystyle 3a}

{\ displaystyle 3a}

a unui colț

2\varphi

{\ displaystyle 2 \ varphi}

2 \ varphi

Și:

z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi },

{\ displaystyle z \ mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 \ varphi},}

{\ displaystyle z \ mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 \ varphi},}

rotație

\Phi _{0}

{\ displaystyle \ Phi _ {0}}

\ Phi _ {0}

în jurul unui colț

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

Și:

z\mapsto ze^{i\varphi }.

{\ displaystyle z \ mapsto ze ^ {i \ varphi}.}

{\ displaystyle z \ mapsto ze ^ {i \ varphi}.}

Un punct $p(\varphi )$ ${\ displaystyle p (\ varphi)}$ ${\ displaystyle p (\ varphi)}$ a nefroidului este generată de mișcarea punctului $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ , care, atunci când diametrul generatoarei se află pe jumătatea pozitivă a axei $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ este situat la coordonatele $(2a,0)$ ${\ displaystyle (2a, 0)}$ ${\ displaystyle (2a, 0)}$ , care efectuează o rotație $\Phi _{3}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3}}$ și apoi o rotație ulterioară $\Phi _{0}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {0}}$ $\ Phi _ {0}$ :

p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^{i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }.

{\ displaystyle p (\ varphi) = \ Phi _ {0} (\ Phi _ {3} (2a)) = \ Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) = (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) și ^ {i \ varphi} = 3ae ^ {i \ varphi} -ae ^ {i3 \ varphi}.}

{\ displaystyle p (\ varphi) = \ Phi _ {0} (\ Phi _ {3} (2a)) = \ Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) = (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) și ^ {i \ varphi} = 3ae ^ {i \ varphi} -ae ^ {i3 \ varphi}.}

De aici se obține

{\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi ,\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi .\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {cclcccc} x (\ varphi) & = & 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi & = & 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi , \ \ y (\ varphi) & = & 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi & = & 4a \ sin ^ {3} \ varphi. \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {cclcccc} x (\ varphi) & = & 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi & = & 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi , \ \ y (\ varphi) & = & 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi & = & 4a \ sin ^ {3} \ varphi. \ end {array}}}

(Următoarele funcții trigonometrice au fost aplicate în pași: $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi$ ${\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi, \ \ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi = 1, \ \ cos 3 \ varphi = 4 \ cos ^ {3} \ varphi -3 \ cos \ varphi, \; \ sin 3 \ varphi = 3 \ sin \ varphi -4 \ sin ^ {3} \ varphi}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi, \ \ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi = 1, \ \ cos 3 \ varphi = 4 \ cos ^ {3} \ varphi -3 \ cos \ varphi, \; \ sin 3 \ varphi = 3 \ sin \ varphi -4 \ sin ^ {3} \ varphi}$ .)

Obținerea reprezentării implicite

Dat

x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi) ^ {2} + (3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi) ^ {2} -4a ^ {2} = \ cdots = 6a ^ {2} (1- \ cos 2 \ varphi) = 12a ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi) ^ {2} + (3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi) ^ {2} -4a ^ {2} = \ cdots = 6a ^ {2} (1- \ cos 2 \ varphi) = 12a ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}

primesti

(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}.

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} \ sin ^ {6} \ varphi = 108a ^ { 4} (4a \ sin ^ {3} \ varphi) ^ {2} = 108a ^ {4} y ^ {2}.}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} \ sin ^ {6} \ varphi = 108a ^ { 4} (4a \ sin ^ {3} \ varphi) ^ {2} = 108a ^ {4} y ^ {2}.}

Orientare diferită

Dacă cuspizii sunt pe axă $y,$ ${\ displaystyle y,}$ ${\ displaystyle y,}$ atunci reprezentarea parametrică este

x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).

{\ displaystyle x = 3a \ cos \ varphi + a \ cos 3 \ varphi, \ quad y = 3a \ sin \ varphi + a \ sin 3 \ varphi).}

{\ displaystyle x = 3a \ cos \ varphi + a \ cos 3 \ varphi, \ quad y = 3a \ sin \ varphi + a \ sin 3 \ varphi).}

iar cel implicat este:

(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} x ^ {2}.}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} x ^ {2}.}

Proprietăți metrice

Pentru nefroida tratată anterior avem:

lungime : $L=24a$ ${\ displaystyle L = 24a}$ ${\ displaystyle L = 24a}$ ;
zonă: $A=12\pi a^{2}$ ${\ displaystyle A = 12 \ pi a ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = 12 \ pi a ^ {2}}$ ;
raza de curbură $\rho =|3a\sin \varphi |$ ${\ displaystyle \ rho = | 3a \ sin \ varphi |}$ ${\ displaystyle \ rho = | 3a \ sin \ varphi |}$ .

Demonstrațiile celor de mai sus pot fi date folosind reprezentarea parametrică introdusă anterior

x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi ,

{\ displaystyle x (\ varphi) = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi,}

{\ displaystyle x (\ varphi) = 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi,}

y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi

{\ displaystyle y (\ varphi) = 4a \ sin ^ {3} \ varphi}

{\ displaystyle y (\ varphi) = 4a \ sin ^ {3} \ varphi}

și derivatele celor două ecuații:

{\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi ),\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi ),

{\ displaystyle {\ dot {x}} = - 6a \ sin \ varphi (1-2 \ cos ^ {2} \ varphi), \ quad \ {\ ddot {x}} = - 6a \ cos \ varphi (5 -6 \ cos ^ {2} \ varphi),}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = - 6a \ sin \ varphi (1-2 \ cos ^ {2} \ varphi), \ quad \ {\ ddot {x}} = - 6a \ cos \ varphi (5 -6 \ cos ^ {2} \ varphi),}

{\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi ,\quad \quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3\cos ^{2}\varphi -1).

{\ displaystyle {\ dot {y}} = 12a \ sin ^ {2} \ varphi \ cos \ varphi, \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad {\ ddot {y}} = 12a \ sin \ varphi (3 \ cos ^ {2} \ varphi -1).}

{\ displaystyle {\ dot {y}} = 12a \ sin ^ {2} \ varphi \ cos \ varphi, \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad {\ ddot {y}} = 12a \ sin \ varphi (3 \ cos ^ {2} \ varphi -1).}

Lungime: $L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a.$ ${\ displaystyle L = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}}} \; d \ varphi = \ cdots = 12a \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \; d \ varphi = 24a.}$ ${\ displaystyle L = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}}} \; d \ varphi = \ cdots = 12a \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \; d \ varphi = 24a.}$

Zonă: $A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}.$ ${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ tfrac {1} {2}} | \ int _ {0} ^ {\ pi} [x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}}] \ ; d \ varphi | = \ cdots = 24a ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ varphi \; d \ varphi = 12 \ pi a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ tfrac {1} {2}} | \ int _ {0} ^ {\ pi} [x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}}] \ ; d \ varphi | = \ cdots = 24a ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ varphi \; d \ varphi = 12 \ pi a ^ {2}.}$

Raza de curbură: $\rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \varphi |.$ ${\ displaystyle \ rho = \ left | {\ frac {\ left ({{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}} \ right) ^ {\ frac {3 } {2}}} {{\ dot {x}} {\ ddot {y}} - {\ dot {y}} {\ ddot {x}}}} \ right | = \ cdots = | 3a \ sin \ varphi |.}$ ${\ displaystyle \ rho = \ left | {\ frac {\ left ({{\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2}} \ right) ^ {\ frac {3 } {2}}} {{\ dot {x}} {\ ddot {y}} - {\ dot {y}} {\ ddot {x}}}} \ right | = \ cdots = | 3a \ sin \ varphi |.}$

Nefroidul ca un plic al unei familii de circumferințe

Nefroidul obținut ca un înveliș al unei familii de circumferințe.

Este $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ o circumferință și sunt $D_{1}$ ${\ displaystyle D_ {1}}$ $D_ {1}$ Și $D_{2}$ ${\ displaystyle D_ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {2}}$ extremele diametrului $d_{12}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ , apoi plicul unei familii de cercuri, ^[3] având toate centrul în centru $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ și mită a $d_{12}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ ${\ displaystyle d_ {12}}$ , este un nefroid care are cuspizi la puncte $D_{1}$ ${\ displaystyle D_ {1}}$ $D_ {1}$ Și $D_{2}$ ${\ displaystyle D_ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {2}}$ .

Demonstrație

Este $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ circumferința $(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )$ ${\ displaystyle (2a \ cos \ varphi, 2a \ sin \ varphi)}$ ${\ displaystyle (2a \ cos \ varphi, 2a \ sin \ varphi)}$ cu centrul în punct $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ și raza $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ . Având în vedere diametrul situat pe axa absciselor (sau axa x), familia cercurilor are ecuații:

f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0.

{\ displaystyle f (x, y, \ varphi) = (x-2a \ cos \ varphi) ^ {2} + (y-2a \ sin \ varphi) ^ {2} - (2a \ sin \ varphi) ^ { 2} = 0.}

{\ displaystyle f (x, y, \ varphi) = (x-2a \ cos \ varphi) ^ {2} + (y-2a \ sin \ varphi) ^ {2} - (2a \ sin \ varphi) ^ { 2} = 0.}

Condiția plicului este:

f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0.

{\ displaystyle f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 2a (x \ sin \ varphi -y \ cos \ varphi -2a \ cos \ varphi \ sin \ varphi) = 0.}

{\ displaystyle f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 2a (x \ sin \ varphi -y \ cos \ varphi -2a \ cos \ varphi \ sin \ varphi) = 0.}

Se poate verifica cu ușurință că punctul nefroidului $p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )$ ${\ displaystyle p (\ varphi) = (6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \ ;, \; 4a \ sin ^ {3} \ varphi)}$ ${\ displaystyle p (\ varphi) = (6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \ ;, \; 4a \ sin ^ {3} \ varphi)}$ este o soluție a sistemului $f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0$ ${\ displaystyle f (x, y, \ varphi) = 0, \; f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 0}$ ${\ displaystyle f (x, y, \ varphi) = 0, \; f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 0}$ și, prin urmare, un punct al plicului familiei de cercuri.

Nefroida ca caustic de reflexie

Începutul construcției unui nefroid ca reflex caustic.

Nefroida construită ca un caustic al reflexiei.

Un nefroid poate fi obținut și ca reflex caustic ; se poate demonstra de fapt că, dacă un fascicul de linii paralele întâlnește un semicerc care îl reflectă, atunci razele reflectate sunt tangente la un nefroid. ^[1]

Demonstrație

Luați în considerare un cerc cu centrul la punctul de coordonate $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ și care are o rază de 4; această circumferință are următoarea reprezentare parametrică:

k(\varphi )=(4\cos \varphi ,4\sin \varphi ).

{\ displaystyle k (\ varphi) = (4 \ cos \ varphi, 4 \ sin \ varphi).}

{\ displaystyle k (\ varphi) = (4 \ cos \ varphi, 4 \ sin \ varphi).}

O tangentă la circumferința punctului $K=k(\varphi )$ ${\ displaystyle K = k (\ varphi)}$ ${\ displaystyle K = k (\ varphi)}$ are vector normal ${\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {t} = (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) ^ {T}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {t} = (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) ^ {T}}$ . După cum se arată în figură, raza reflectată are un vector normal ${\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {r} = (\ cos {\ color {red} 2} \ varphi, \ sin {\ color {red} 2} \ varphi) ^ {T}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {r} = (\ cos {\ color {red} 2} \ varphi, \ sin {\ color {red} 2} \ varphi) ^ {T}}$ și conținând punctul $K=(4\cos \varphi ,4\sin \varphi )$ ${\ displaystyle K = (4 \ cos \ varphi, 4 \ sin \ varphi)}$ ${\ displaystyle K = (4 \ cos \ varphi, 4 \ sin \ varphi)}$ . Prin urmare, raza reflectată face parte din linia dreaptă având ecuație

\cos {\color {red}2}\varphi \cdot x+\sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi ,

{\ displaystyle \ cos {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot x + \ sin {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot y = 4 \ cos \ varphi,}

{\ displaystyle \ cos {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot x + \ sin {\ color {red} 2} \ varphi \ cdot y = 4 \ cos \ varphi,}

care este tangentă la nefroid în acest punct

P=(3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi ).

{\ displaystyle P = (3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi, 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi).}

{\ displaystyle P = (3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi, 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi).}

Un nefroid vizibil în partea de jos a unei cești de ceai.

Evoluat și complicat al unui nefroid

Un nefroid și evoluția acestuia.
Punctul de pe circumferința oscilantă și centrul de curbură sunt evidențiate în magenta .

Evoluat

Evoluată unei curbe plane $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este o curbă obținută ca locus geometric al centrelor de curbură a $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . În special: pentru o curbă ${\vec {x}}={\vec {c}}(s)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s)}$ cu raza de curbură $\rho (s)$ ${\ displaystyle \ rho (s)}$ ${\ displaystyle \ rho (s)}$ reprezentarea evolutiei este:

{\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).

{\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s) + \ rho (s) {\ vec {n}} (s).}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s) + \ rho (s) {\ vec {n}} (s).}

Fiind ${\vec {n}}(s)$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$ vectorul unitate normal orientat corespunzător.

Pentru un nefroid avem în vedere că evoluția este un alt nefroid pe jumătate lată și rotit cu 90 ° (vezi figura).

Demonstrație

Nefroidul prezentat în figură are o reprezentare parametrică

x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi ,

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi, \ quad y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi,}

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi, \ quad y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi,}

cu vectorul normal unit orientat spre centrul curburii

{\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}

{\ displaystyle {\ vec {n}} (\ varphi) = (- \ cos 2 \ varphi, - \ sin 2 \ varphi) ^ {T}}

{\ displaystyle {\ vec {n}} (\ varphi) = (- \ cos 2 \ varphi, - \ sin 2 \ varphi) ^ {T}}

și raza de curbură $3\cos \varphi$ ${\ displaystyle 3 \ cos \ varphi}$ ${\ displaystyle 3 \ cos \ varphi}$ . Prin urmare, reprezentarea evoluatului este:

x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ cos 2 \ varphi = \ cdots = 3 \ cos \ varphi -2 \ cos ^ {3} \ varphi,}

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ varphi + \ cos 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ cos 2 \ varphi = \ cdots = 3 \ cos \ varphi -2 \ cos ^ {3} \ varphi,}

y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi ,

{\ displaystyle y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ sin 2 \ varphi \ = \ cdots = 2 \ sin ^ {3} \ varphi,}

{\ displaystyle y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ sin 2 \ varphi \ = \ cdots = 2 \ sin ^ {3} \ varphi,}

care, așa cum se poate observa cu referire și la ecuațiile descrise anterior, este o nefroidă pe jumătate din lățimea celei anterioare și rotită cu 90 ° față de aceasta.

Implicat

Deoarece înfășurătoare unui nephroid este ea însăși o nephroid, The developat unui nephroid este de asemenea. Nefroidul original din imagine este involutul celui mai mic.

Inversia unui nefroid

În această imagine vedem inversarea unui nefroid în verde, în roșu, în jurul unei circumferințe, în albastru.

Inversiunea

x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {4a ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \ quad y \ mapsto {\ frac {4a ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {4a ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \ quad y \ mapsto {\ frac {4a ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

prin circumferința centrală $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ și raza $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ reprezintă ecuația nefroidă

(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}

pe curba de gradul șase având ecuația:

(4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}

{\ displaystyle (4a ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {3} = 27a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) y ^ { 2}}

{\ displaystyle (4a ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {3} = 27a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) y ^ { 2}}

(Vezi figura).

Notă

^ ^a ^b Lorenzo Roi,La nefroide , pe lorenzoroi.net , Lorenzo Roi. Adus la 30 iunie 2021 .
^ (EN) Eric W. Weisstein, nefroid , în MathWorld , Wolfram Research.
^ Plicuri, evolutie, involut ( PDF ), în Dincolo de busolă , Grădina lui Arhimede. Adus la 30 iunie 2021 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre nefroid

linkuri externe

Nephroid , pe geogebra.org , GeoGebra. Adus la 30 iunie 2021 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[roi-1] Lorenzo Roi,La nefroide , pe lorenzoroi.net , Lorenzo Roi. Adus la 30 iunie 2021 .

[2] (EN) Eric W. Weisstein, nefroid , în MathWorld , Wolfram Research.

[unifi-3] Plicuri, evolutie, involut ( PDF ), în Dincolo de busolă , Grădina lui Arhimede. Adus la 30 iunie 2021 .

[1]

[2]

[3]