Caustică (matematică)

Caustic reflectorizant generat de un cerc și de raze paralele

În geometria diferențială și optica geometrică , un caustic este învelișul razelor reflectate sau refractate de un colector . Este legat de conceptul de caustic în optică . Sursa razei poate fi un punct (numit radian) sau raze paralele de la un punct la infinit, caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.

Mai general, mai ales atunci când este aplicat geometriei simplectice și teoriei singularității , un caustic este ansamblul valorilor critice ale cartografierii lagrangiene ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; unde i : L ↪ M este o imersiune lagrangiană a unui submanifold lagrangian L într-o varietate simplectică M și π : M ↠ B este o fibrare lagrangiană a varietății simplectice M. Caustic este un subset al spațiului de bază B al fibrării Lagrangiene. ^[1]

Catacaustice

O catacustică este cazul reflectorizant.

Cu un radian, este ortotomia evoluată a radianului.

Cazul razelor plane, paralel cu sursa: să presupunem că vectorul de direcție este $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ și că curba oglinzii este parametrizată ca $(u(t),v(t))$ ${\ displaystyle (u (t), v (t))}$ ${\ displaystyle (u (t), v (t))}$ . Vectorul normal într-un punct este $(-v'(t),u'(t))$ ${\ displaystyle (-v '(t), u' (t))}$ ${\ displaystyle (-v '(t), u' (t))}$ ; reflectarea vectorului de direcție este (normalul necesită o normalizare specială)

2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}

{\ displaystyle 2 {\ mbox {proj}} _ {n} dd = {\ frac {2n} {\ sqrt {n \ cdot n}}} {\ frac {n \ cdot d} {\ sqrt {n \ cdot n}}} - d = 2n {\ frac {n \ cdot d} {n \ cdot n}} - d = {\ frac {(av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2} , bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2})} {v '^ {2} + u' ^ {2}}}}

{\ displaystyle 2 {\ mbox {proj}} _ {n} dd = {\ frac {2n} {\ sqrt {n \ cdot n}}} {\ frac {n \ cdot d} {\ sqrt {n \ cdot n}}} - d = 2n {\ frac {n \ cdot d} {n \ cdot n}} - d = {\ frac {(av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2} , bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2})} {v '^ {2} + u' ^ {2}}}}

Făcând componentele vectorului reflectat găsit la mine să trateze o tangentă

(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).

{\ displaystyle (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) = (yv) (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) .}

{\ displaystyle (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) = (yv) (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) .}

Folosind cea mai simplă formă de plic

F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})

{\ displaystyle F (x, y, t) = (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - (yv) (av '^ {2} -2bu'v '-au' ^ {2})}

{\ displaystyle F (x, y, t) = (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - (yv) (av '^ {2} -2bu'v '-au' ^ {2})}

=x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')

{\ displaystyle = x (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - y (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) + b ( uv '^ {2} -uu' ^ {2} -2vu'v ') + a (-vu' ^ {2} + vv '^ {2} + 2uu'v')}

{\ displaystyle = x (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - y (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) + b ( uv '^ {2} -uu' ^ {2} -2vu'v ') + a (-vu' ^ {2} + vv '^ {2} + 2uu'v')}

F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')

{\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x (bu'u '' - a (u'v '' + u''v ') - bv'v' ') - 2y (av'v '' -b (u''v '+ u'v' ') - au'u' ') + b (u'v' ^ {2} + 2uv'v '' - u '^ {3} -2uu 'u' '- 2u'v' ^ {2} -2u''vv'-2u'vv '') + a (-v'u '^ {2} -2vu'u' '+ v' ^ {3 } + 2vv'v '' + 2v'u '^ {2} + 2v''uu' + 2v'uu '')}

{\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x (bu'u '' - a (u'v '' + u''v ') - bv'v' ') - 2y (av'v '' -b (u''v '+ u'v' ') - au'u' ') + b (u'v' ^ {2} + 2uv'v '' - u '^ {3} -2uu 'u' '- 2u'v' ^ {2} -2u''vv'-2u'vv '') + a (-v'u '^ {2} -2vu'u' '+ v' ^ {3 } + 2vv'v '' + 2v'u '^ {2} + 2v''uu' + 2v'uu '')}

ceea ce poate fi inestetic, dar $F=F_{t}=0$ ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ dă un sistem liniar în $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ și astfel este elementar să se obțină o parametrizare a catacausticii. Ar fi nevoie de regula lui Cramer .

Exemplu

Vectorul de direcție este (0,1), iar oglinda este $(t,t^{2}).$ ${\ displaystyle (t, t ^ {2}).}$ ${\ displaystyle (t, t ^ {2}).}$ Atunci

u'=1

{\ displaystyle u '= 1}

{\ displaystyle u '= 1}

u''=0

{\ displaystyle u '' = 0}

{\ displaystyle u '' = 0}

v'=2t

{\ displaystyle v '= 2t}

{\ displaystyle v '= 2t}

v''=2

{\ displaystyle v '' = 2}

{\ displaystyle v '' = 2}

a=0

{\ displaystyle a = 0}

a = 0

b=1

{\ displaystyle b = 1}

b = 1

F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t

{\ displaystyle F (x, y, t) = (xt) (1-4t ^ {2}) + 4t (yt ^ {2}) = x (1-4t ^ {2}) + 4ty-t}

{\ displaystyle F (x, y, t) = (x-t) (1-4t ^ {2}) + 4t (y-t ^ {2}) = x (1-4t ^ {2}) + 4ty-t}

F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1

{\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - 8tx + 4y-1}

{\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - 8tx + 4y-1}

Și $F=F_{t}=0$ ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ ${\ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ are soluție $(0,1/4)$ ${\ displaystyle (0,1 / 4)}$ ${\ displaystyle (0,1 / 4)}$ ; adică lumina care intră într-o oglindă parabolică paralelă cu axa sa este reflectată prin focalizare.

Notă

^ VI Arnold , AN Varchenko și SM Gusein-Zade , Clasificarea punctelor critice, caustice și fronturi de undă: Singularități ale hărților diferențiate, Vol 1 , Birkhäuser, 1985, ISBN 0-8176-3187-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Caustica

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Caustic , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Arnold-1] VI Arnold , AN Varchenko și SM Gusein-Zade , Clasificarea punctelor critice, caustice și fronturi de undă: Singularități ale hărților diferențiate, Vol 1 , Birkhäuser, 1985, ISBN 0-8176-3187-9 .

[1]