Teoria singularității
- Pentru alte utilizări geometrice, consultați Punctul singular al unei curbe . Pentru alte utilizări științifice și non-științifice, consultați Singularitatea .
În matematică , teoria singularității studiază spații care sunt aproape, dar nu chiar, multiple . O sfoară poate servi ca exemplu de soi unidimensional dacă grosimea sa este neglijată. O singularitate poate fi creată prin ridicarea acesteia, aruncarea pe podea și aplatizarea acesteia. În unele părți sfoara plată se va încrucișa într-o formă aproximativă de X. Punctele de pe podea unde face acest lucru sunt un fel de singularitate, punctul dublu: o bucată de podea corespunde mai mult decât o bucată de sfoară. Poate că șirul se va atinge chiar și fără trecere, ca un „ U ” subliniat. Acesta este un alt tip de singularitate. Spre deosebire de punctul dublu, nu este stabil în sensul că o mică apăsare va fi suficientă pentru a ridica partea de jos a „U” de la „subliniat”.
Cum pot apărea singularitățile
În teoria singularităților se studiază fenomenul general al punctelor și al seturilor de singularități, ca parte a conceptului care multiplele (spații fără singularități) pot dobândi puncte speciale, singulare prin diverse căi. Proiecția este o modalitate, foarte evidentă în termeni vizuali atunci când obiectele tridimensionale sunt proiectate în două dimensiuni (de exemplu într-unul din ochii noștri); privind la statuia clasică, pliurile draperiei sunt printre cele mai evidente trăsături. Singularitățile de acest tip includ caustice , foarte familiare precum modelele de lumină de pe fundul unei piscine .
Alte moduri în care se prezintă singularitățile sunt prin degenerarea structurii soiurilor. Aceasta implică descompunerea parametrizării punctelor; este important în relativitatea generală , unde o singularitate gravitațională , în care un câmp gravitațional este suficient de puternic pentru a schimba însăși structura spațiu-timpului , este identificată cu o gaură neagră . În schimb, o ruptură în structura unui colector este o anomalie topologică în care niciun câmp - încorporat în colector - nu poate converge. Prezența simetriei poate fi un motiv bun pentru a lua în considerare orbifoldurile , care sunt soiuri care au dobândit „unghiuri” într-un proces de pliere care seamănă cu încrețirea unei fețe de masă .
Singularitatea în geometria algebrică
Singularitatea curbelor algebrice
Din punct de vedere istoric, singularitățile au fost observate pentru prima dată în studiul curbelor algebrice . Punctul dublu la (0,0) al curbei
iar cuspida de dincolo
sunt calitativ diferite, după cum tocmai am văzut în schiță. Isaac Newton a făcut un studiu detaliat al tuturor curbelor cubice , familia generală căreia îi aparțin aceste exemple. În formularea teoremei lui Bézout s- a remarcat că astfel de puncte singulare trebuie numărate cu multiplicitate (2 pentru un punct dublu, 3 pentru o cuspidă), pentru a ține cont de intersecțiile curbelor.
A fost apoi un scurt pas pentru a defini noțiunea generală a unui punct singular al unei varietăți algebrice ; adică să admitem dimensiuni superioare.
Poziția generală a singularităților în geometria algebrică
Astfel de singularități în geometria algebrică sunt, în principiu, cele mai ușor de studiat, deoarece sunt definite prin ecuații polinomiale și, prin urmare, în termeni de sistem de coordonate . Se poate spune că sensul extrinsec al unui punct singular nu este pus în discuție; doar că, în termeni intrinseci , coordonatele din spațiul ambiental nu traduc în mod direct geometria varietății algebrice la punctul respectiv. Studii intensive de astfel de singularități în cele din urmă a condus la Heisuke Hironaka lui teorema fundamentală privind rezoluția singularități (în geometria birational în caracteristica 0). Aceasta înseamnă că procesul simplu de „ridicare” a unei bucăți de sfoară de la sine, prin utilizarea „evidentă” a unei încrucișări într-un punct dublu, nu este neapărat înșelător: toate singularitățile geometriei algebrice pot fi recuperate ca specie de foarte colaps general (prin procese multiple). Acest rezultat este adesea folosit implicit pentru a extinde geometria afină la geometria proiectivă : este destul de tipic ca o varietate afină să dobândească puncte singulare pe hiperplan la infinit, atunci când închiderea sa este luată în spațiul proiectiv . Rezoluția spune că astfel de singularități pot fi tratate mai degrabă ca un fel (complicat) de compactificare , care se termină cu o varietate compactă (adică, pentru topologie puternică, mai degrabă decât topologie Zariski ).
Teorie netedă și catastrofe
Aproape în același timp cu opera lui Hironaka, teoria catastrofelor a lui René Thom primea multă atenție. Aceasta este o altă ramură a teoriei singularității, bazată pe lucrarea anterioară a lui Hassler Whitney asupra punctelor critice . Aproximativ vorbind, un punct critic al unei funcții netede este în cazul în care setul de nivel dezvoltă un punct singular în sens geometric. Această teorie se ocupă cu funcții diferențiabile în general, mai degrabă decât cu cele polinomiale. Pe de altă parte, sunt luate în considerare doar fenomenele stabile . Se poate argumenta că, în natură, orice lucru distrus de modificări minuscule nu este menit să fie observat; vizibilul este grajdul. Whitney a arătat că, cu un număr redus de variabile, structura stabilă a punctelor critice este foarte limitată, în termeni locali. Thom s-a bazat pe acest lucru și pe lucrările sale anterioare pentru a crea o teorie a catastrofelor care trebuia să explice schimbarea discontinuă a naturii.
Viziunea lui Arnold
Deși Thom a fost un matematician proeminent, versiunea la modă ulterioară a teoriei catastrofelor elementare propagată de Christopher Zeeman a provocat o reacție, în special din partea lui Vladimir Arnold . [1] S-ar putea ca el să fi fost în mare parte responsabil pentru aplicarea termenului de teorie a singularității în zona care include contribuția geometriei algebrice, precum și la cea care rezultă din lucrarea lui Whitney, Thom și a altor autori. El a scris în termeni care i-au evidențiat dezgustul față de accentul prea mediatizat acordat unei mici părți a teritoriului. Lucrarea fondatoare asupra singularităților netede este formulată ca construcție de relații de echivalență pe puncte singulare și pe germeni funcționali . Din punct de vedere tehnic, aceasta implică acțiuni de grup ale grupurilor Lie pe spații cu jet ; în termeni mai puțin abstracte examinăm seria Taylor până la modificarea variabilei, identificând singularitățile cu suficiente derivate . Aplicațiile, potrivit lui Arnold, pot fi văzute în geometria simplectică , ca o formă geometrică a mecanicii clasice .
Dualitate
Un motiv important pentru care singularitățile provoacă probleme în matematică este acela că, cu un eșec al structurii multiple, invocarea dualității lui Poincaré eșuează, de asemenea. Un avans important a fost introducerea cohomologiei intersecțiilor , care a apărut inițial din încercările de restabilire a dualității prin utilizarea straturilor. Numeroase conexiuni și aplicații au apărut din ideea originală, de exemplu, conceptul de fascicul pervers în algebră omologică .
Alte semnificații posibile
Teoria de mai sus nu se leagă direct de conceptul de singularitate matematică ca valoare în care o funcție nu este definită. Pentru aceasta, vezi de exemplu singularitatea izolată ,singularitatea esențială, singularitatea eliminabilă . Teoria monodromului ecuațiilor diferențiale , în domeniul complex, în jurul singularităților, intră efectiv într-o relație cu teoria geometrică. Aproximativ vorbind , monodromia studiază modul în care o hartă de acoperire poate degenera, în timp ce teoria singularității studiază modul în care o varietate poate degenera; iar aceste câmpuri sunt legate.
Notă
- ^ Arnold 1992 .
Bibliografie
- VI Arnold, Teoria catastrofei , Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-3540548119 .
- E. Brieskorn și H. Knorrer, Curbe algebrice plane , Birkhauser-Verlag, 1986, ISBN 978-3764317690 .
